动态规划习题答案.docx
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动态规划习题答案
2.某公司有资金4百万元向A,B和C3个项目追加投资,各个项目可以有不同的投资额(百万元计),相应的效益如表所示。
问怎样分配资金,使总效益值最大?
##
表8-47
W(X)kk#(项目k
投资额
0
1
2
3
4
#1(A)
-
41
48
60
66
#(B)2
40
42
50
60
-
#3()C
-
64
68
78
84
解:
设S-A,B,C项目的总投资额,S-B、C项目的总投资额21S-C项目的投资额;3X-k项目的投资额;k(X-A项目的投资额,X-B项目的投资额,X-C项目的投资额)312W(S,X)-对K项目投资X后的收益:
W(S,X)=W(X)kkkkkkkkkT(S,X)-S=S-Xk
k+1kkkkf(S)-当K至第3项目允许的投资额为S时所能获得的最大收益。
kkk为获得最大利润,必须将4百万全部投资,假设有4阶段存在,有S=0,建立递归方程4f(S)=0
k4
f(S)=max{W(X)+f(S)}k=3,2,1k+1kk+1kkkX∈D(S)kkk第一步,K=3
f(S)=0
44f(S)=max{W(X)+f(S)}434333X∈D(S)333S=S-X3
34
S3
f(S)33
X*3
1
64
1
2
68
2
3
78
3
4
84
4
第二步:
)}f(S(X(S)=max{W)+fK=2322322)X∈D(S222-X=SS232
W(X)+f(S-X)
22322
S2
X=02
X=12
X=22
X=32
f(S)22
X*2
1
40+64
-
-
-
104
0
2
40+68
42+64
-
-
108
0
3
40+78
42+68
50+64
-
118
0
4
40+84
42+78
50+68
60+64
124
0,3
第三步:
)}(S(X)=maxf(S{W)+fK=1211121)DX∈(S111-XS=S1
21
)
(X-X)+f(SW11211
S1
X=01
X=11
X=21
X=31
f(S)11
X*1
4
-
41+118
48+108
60+104
164
3
S=4→S=1→S=1312↓↓↓
X*=3X*=0X*=1
312百万。
1投资C不投资B百万,3投资A.
总收益164百万元。
3.(最优分配问题)有一个仪表公司打算向它的3个营业区设立6家销售店。
每个营业区至少设一家,所获利润如表。
问设立的6家销售店数应如何分配,可使总利润最大?
利润营业区Ak(x)wAAAk3211802001210
2302220280销售
2603330225店数x
280
340
4230
解:
##,3营业区允许设立的销售店数s——对k,…k#营业区设立的销售店数——对kxkx销售店后的利润:
)——对k#营业区设立w(s,xkkkk)
(x(sw,,x)=wkkkkk=s-x)T(sx——skkk,kkk+1s3个营业区允许设立的销售店数为至第)f(s——当第kkkk时所能获得的最大利润
递归方程:
)=0
(sf44.
f(s)=max{wk(xk)+fk+1(sk+1)},k=3,2,1kkxk∈Dk(sk)
k=3时,有方程
f(s)=0
44f3(s3)=max{w3(x3)+f4(s4)}
x∈D3(s3)3s3=s2—x2
s3
f3(s3)
x3*
1
180
1
2
230
2
3
260
3
4
280
4
k=2,有方程}{f2(s2)=maxw2(x2)+f3(s3)
D2(s2)∈x2x2—s3=s2
s2
x2)
—w2(x2)+f3(s2
f2(s2)
x2*
x2=1
x2=2
x2=3
x2=4
2
210+180
/
/
/
390
1
3
210+230
220+180
/
/
440
1
4
210+260
220+230
225+180
/
470
1
5
210+280
220+260
225+230
230+180
490
1
k=1,有方程}f1(s1)=max{w1(x1)+f2(s2)
D1(s1)x1∈x1s2=s1—
s1
)
)+f2(s(x—xw1111
(sf11)
*x1
=1x1
x=21
=3x1
=4x1
6
200+490
280+470
330+440
340+390
770
3
s3=2s2=3s1=6→→↓↓↓*=2
*=3xx*=1x321家销售店,最大利润为2家、1家、3营业区设立A3、A2、A1分别
770
4.用动态规划方法求解下列模型:
maxf=10X+4X+5X321≤15
+4Xs.t.3X+5X312≤20≤X≤2X≥0,X为整数≤0Xj=1,2,3j321解:
收费C=10C=4C=5312X为货物1的装载件数1X为货物2的装载件数2X为货物3的装载件数3分3阶段
S为货物1、2、3允许的装载重量(3X+5X+4X的允许值)3121S为货物2、3允许装载的重量(5X+4X的允许值)322S为货物3允许装载的重量(4X的允许值)33
第一步:
K=3
f(S)=0
44f(S)=max{5Xf(S)|X∈D(S)}3333+4433SS-4X3
34=
S0~3
4~7
8~11
12~15
3
D(S){0}
{0,1}
{0,1,2}
{0,1,2,3}
33
SX=0X=1X=2X=3f(S)X*333333330
0~30+0
______
______
______
0
0+05+0____________4~751
0+05+08~1110+0______102
0+05+010+015+012~15153
第二步:
K=2
f(S)=max{4Xf(S)|X∈D(S)}2222+3322S=S-5X2
23.
10~15
0~4
5~9
S2
{0,1,2}
{0,1}
){0}
D(S22
划分点:
000
44
88
1212
551010
914
1318
1722
(S4Xf-5X)232+2
S20~3
=0X20+0
X=12______
=2X2______
f(S20
X)20
*2
45~7
0+50+5
______4+0
____________
55
00
89
0+100+10
4+04+5
____________
1010
00
10~1112
0+100+15
4+54+5
8+08+0
1015
00
08+00+15154+1013
0
15
0+1514~15
8+5
4+10
第三步:
K=1
f(S)=max{10Xf(S)|X∈D(S})11+132211.
S=S-3X11210Xf(S-3X)11+12
S1
X=0X=111
X=21x∈D(s)kkk
f(S)11
X*1
15
0+15
10+15)=max{30x5
20+10
30
2
顺序追踪:
最优策略为=9SS=9→S=15→312↓↓↓
*=2
X*=0X*=2X321装不装;货物32件最优装载方案为:
货物1装2件;货物2装载收费为30元5.用动态规划方法解下列0—1背包问题:
Maxf=12x+12x+9x+16x+30x;52143s.t.3x+4x+3x+4x+6x≤12;53241x=0,1,j=1,……,5j解:
本问题分为5个阶段。
令
sax+…+ax的允许值4k4kk——x第k阶段x取值,x=0,1
kkk——w(s,x)——x产生的价值:
w(s,x)=cxkkkkkkkkkT(s,x)——s=s-axkkkk+1kkkf(s)——在ax+…+ax≤s的条件下,cx+…+cx能44kkkkk44kk取得的最大值。
.
递归方程为f(s)=0
66f(s)=max{cx+f(s)},k=5,4,3,2,1
k+1kkkkk+1
k=5f(s}55
x∈D(s)
555(305
5
==
0~5000—1
30
6~12
30
0
f(s)=max{16x+f(s)}
54454k=4)
D(s∈x444s=s-4x445
s4
16x
-4xs+f(454
)4
f
(s)x*444
=1xx=044000~30+0——0+04~516+0161
16+0
6~93000+30
16+30
1
10~1246
0+30
f(s)=max{9x+f(s)}
k=343433x∈D(s)
333s=s-3x343
sx)f(s-3xs)(9x+f3333
3343
0~2
=1x=0x33
0
0+0
0——
3
0+0
99+0
1
4~5
0+16
169+0
0
6
0+30
309+0
0
7~8
0+30
9+1630
0
19
0+30
9+3039
9+30
46
0
10~120+46
*
)}
(sf(s)=max{12x+f32223k=2
x∈D(s)
222s=s-4x232
s
-4xs+f(12x
)
f(s)x
2
232x=0
2x=1
22
2
2
0~2
0+0
——
00
3
0+9
——
09
4~5
0+16
12+0
016
6
0+30
12+0
300
7
0+30
12+9
300
8300+30012+16
9390+39012+16
12+3010
4600+46
12+30
11~1246
0
0+46
*2
k=1
f(s)=max{12x+f(s)}
21121x∈D(s)
111
s=s-3xs=12
1211
sf(s)x*)(s3xf12x1-11+2111
1x=0x=111
12+39
1
51
0+4612
s=12s=9s=9s=6s=654321
x=1x*=0x*=1x*=0x*=1*51423
11.今设计一种由4个元件串联而成的部件,为提高部件的可靠性,每一元件可以由1个、2个或3个并联的单位元件组成。
关于元件K(K=1,2,3,4)配备j个并联单位元件(j=1,2,3)后的可靠性R和成本C由表给出,假设该部件的总成本允许为15个单位,试kjkj问如何确定各元件的单位元件配备数目,使系统的可靠性最高?
j
K=1K=2K=3K=4
RCCRCRCR4j3j2j3j1j4j2j1j
12
0.7420.60.9
30.80.82
35
0.7550.8
4
3
0.85
7
解:
逆序解法。
S——仪表上配备k#,…,4#元件时允许使用的费用kX——K#元件所选用的单位元件kW(S,X)——K#元件采用单位元件时的可靠性,有kkkW(S,X)=RxkkkkkT(S,X)——SSCxkkkk-kk+1=kfS——在费用限额为S元件串联时相应3#,…,k#的条件下,k)k(k
部分可获得的最大可靠性
递归方程fS=1()54fSmax{W(S,X)﹒fS},K=4,3,2,1.)k+1kk(k(k)=kk+1第一步,对K=4,
S41011
0.6×0.738
Rx440.72×0.8
F(S420.576
)X*41
0.6×0.738
=1X4
0.8×
=2X40.72
0.576
2
3
0.7
—
0.8
1
4
0.8
—
0.8
1
5
0.8
0.82
0.82
2
2
60.82
0.82
0.7
第二步:
Sf(S)X*
Rx﹒CxfS3232)31(33–33=1
X360.9×0.80.721
10.80.7270.9×
10.820.7388×0.9
1
×90.90.820.738
第三步,对K=2,
Sf(S)X*
xRx﹒fSC2222)22–3(222=2=1
XX2280.6×0.720.4321—
10.4320.69—×0.72
第四步,对K=4,fS=max{Rx﹒fS})(34(4)434SSCxS=1544–43=,4
SCxRx﹒fS1)1141–2(11X*f(S)114=3
X=2=1XX111150.7×0.5760.75×0.5760.85×0.4320.4322
SSSS=3
=6→=10→=15→1231↓↓↓↓
X*=2X*=2X*=1X*=14132
元件1为2个,元件2为2个,元件3为1个,元件4为1个,可靠性为0.432。
顺序解法:
S——仪表上配备1#,…,K#元件时允许使用的费用kX——K#元件所选用的单位元件kW(S,X)——K#元件采用单位元件时的可靠性,有kkkW(S,X)=RxkkkkkT(S,X)——SSCxkkkk-1=kk-kfS——在费用限额为S的条件下,1#,…,K#元件串联时相应kk)k(部分可获得的最大可靠性
递归方程fS=1()00fSmax{W(S,X)﹒fS},K=1,2,3,4)k)kk-1kk-1=(kk(
第一步,对K=1,fS=max{Rx}11()114<=S<=71S={4,5,6,7}1
S45671{1,2,3}{1,2}SD{1}{1,2})11(
Sf(S)X*
Rx111111=3X=1
XX=21110.7——410.7
2—0.750.750.75
2—0.750.760.75
3
0.8
0.757
0.70.8
第二步,对K=2,fS=max{Rx﹒fS})2(2(12)12SSCx2–1=226<=S<=92S={6,7,8,9}2
S2Sf(S)X*
Rx﹒fCxS2222)12–(2222=2=1
XX2260.6—×0.70.421
6
7
8
9
DS)2(2
1}{
{1}
{1,2}
{1,2}
1—0.450.6×70.75
280.750.560.8×0.70.6×
2
0.80.6
0.69××0.750.8
第三步,对K=3,fS=max{Rx﹒fS})3(()32233SSCx33–2=39<=S12
<=2.
S={9,10,11,12}2
S3Sf(S)X*
Rx﹒fCxS3333)23–(3333=1
X390.9×0.420.3781
9
10
11
12
DS)(33
{1}
{1}
1}{
{1}
1×100.90.450.405
10.911×0.560.504
1
12
×0.60.54
0.9
第四步,对K=4,fS=max{Rx﹒fS})4(34)3(44SSCxS=1544–3=4,4
Sf(S)X*
Rx﹒fSCx4444)43(4–444=2
XX=1
44150.8×0.540.82×0.4050.4321
SSSS=5
=9=12→→=15→1324↓↓↓↓
X*=1X*=1X*=2X*=21423
元件1为2个,元件2为2个,元件3为1个,元件4为1个,可靠。
0.432性为
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