材料力学作业.docx
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材料力学作业
2-4木架受力如图所示,已知两立柱横截面均为绘左、右立柱的轴力图;
(2)求左、
100mm<100mm的正方形。
试求:
(1)
右立柱上、中、下三段内横截面上的正应力。
解:
(1)求立柱各节点的受力
为了求出ACEGa柱(左立柱)和BDFH立柱(右立柱)中的内力和应力,首先对各杆受力进行分析如下图2-4a所示,
Fi=10KN
值。
取AB为研究对象,
mA(F)0,
F11
Fb2
并求出数
由平衡方
F2=6KN
F3=8KN
F
Fa
g
H
XZXZ
1m
Fb
F10
1m
联合①和②解得,
z
1m
1m
图2-4
Fa
FcJ
a
FeI
Fg
A
1
B
F1=10KN
A
B+Fb
F2=6KN
F'B
IC
1Fd
♦D
A
D
C
F3=8KN
ie
F’e
C
F
1m
T
1m
r
1m
G
H
图2-4a
FaFb5KN。
又由牛顿第三定律得,FaFa
5KN,
FbFb5KN。
Fh
同理可得,FcFc9KN,FdFd
3KN;FeFe4KN,
FfFf12KNo
(2)绘左、右立柱的轴力图
取左立柱(ACE竝柱)为研究对象。
采用截面法,
画受力图如图
2-4b所示,
Fi=5KN
求得NAC
Fa
5(KN);
NAC
图4-2b
NFHFBFD
Ff
NceFa
NegFaFc
Fc
Fe
同理又取右立柱(BDFH立柱)
NBDFB
5(KN);
14(KN);
410(KN)o
为研究对象。
采用截面法求得
NBD
5312
FbFd53
14(KN)o
画轴力图如图左立柱所示和如图右立柱所示。
图左立柱
Nac
5
3
103N
左上
A
100
2
100mm
Nce
14
103N
左中
A
100
100mm2
Neg
10
103N
左下
A
100
100mm2
2(KN);
左、右
下
上
上
力:
0.5MPa;
1.4MPa;
1MPao
A
C
E
G
图右立柱
(3)求立柱上、中、段内横截面正应力由轴向正应力计算
N得
A得,
左立柱中、下正应
右立柱上、中、
Nbd
5
3
103N
A
100
100mm2
Ndf
2
103N
A
100
2
100mm
Nfh
14
103N
A
100
2
100mm
F正应力:
右上
右中
右下
0.5MPa;
0.2MPa;
1.4MPa。
2-9图示的构架中,AB为刚性杆,B两点的位移。
CD杆的刚度为EA试求:
(1)CD杆的伸长;
(2)C
图
CD杆的伸长
Icd为:
lCD
Ncd丨CD
EA
4Fa/cos30
EA
8^3Fa
3EA°
图2-9a
关系如
所
(2)C、B两点的位移
ACB杆位移图2-9b示。
解:
(1)
CD杆的伸长
取ACB刚性杆为研究对象,画受力图如图
2-9a所示。
由平衡条件
mA(F)0
Ncdsin30aF2a0
NCD4F。
lCD/sin302lCD
图2-16
C2B4lCDo
BD杆皆为拉杆,由平衡条件
杆,
求强度安全系数nA2,并要求刚性杆只能向下平移而不能转动,竖向位移又不允许超过1mm试计算AC杆和BD杆所需的横截面面阿积。
材料的路力学性能如下:
AC杆:
E=200MPads=200MPadb=400MPa
BD杆:
E=200MPads=400MPadb=600MPa
解:
(1)求AC杆和BD杆的轴力取AB杆为研究对象,AC杆和
AAC
NACIAC
[I]Eac
40103
2103
1200
4105mm2;
ABD
NBDlBD
[I]Ebd
101030.8103
1200
4104mm2o
所以Abd
10Aaco
(3)由强度条件设计
AC杆和BD杆的横截面面积
nN-
[]亠-Ai—,则
nsi
N
强度条件:
i—
A
Aac四竺240103400mm2;AbdnNBD210103
sAC
200
sBD
400
50mm。
综上刚度与强度要求考虑,
22
ABD50mm,Aac500mm。
2-19图示结构中各杆的刚度EA相同,试求各杆的轴力。
解:
取节点
C为研究对象,画受力图如图2-19(b)a所示,列平衡方程为
NCAsin45NCBsin45
COS45NCBCOS45
Nce
④
联立①、
Nca
lCA
IcD
NcalCA
EA
Ncal
EAcos45
lCE
lED
Ncel
EA
(F
Nce)l
EA
②、③和④得
Ncb
Nce
NCD
0.207F
(+),
0.293F(-),
0.707F(+)。
2-21图示结构中钢杆
横截面面积均为A=200mrr,长度l=1m,
E=200GPa杆3因制造不准而比其余两根短了5=0.8mm试求将杆3安装在刚性梁上后三杆的轴力。
1、2、3的
2-21
解:
取刚性梁为研究对象,画受力图如图
m1(F)0,F2aF32a0
2-21a所示,列平衡方程:
FiF2F30
构
所示,
Fi
F2
F3
图2-21a
件变形后如图2-21b
又列变形协调方程:
l2(I2I1
理程为
Fil
EA
F2I
EA
13
F31
EA
联立①、
②、③和④得
F1
F35.33(KN)(+);F210.66(KN)(-)。
3-4两块钢板搭接如图所示。
已知两板的宽度均为b=180mm厚度分别为11=16mm
t2=18mm铆钉直径d=25mm所有构件的材料的许用应力均为:
[t]=100MPa,[dc]=280MPa,
[d]=140MPa。
试求:
(1)接头的许用载荷;
(2)若铆钉的排列次序相反(即自左向右,第一列是两只,第二列是三只铆钉),则接头的许用载荷为多大?
解:
假设每颗铆钉受力一样。
(1)
由剪切强度条件
求接头的许用载荷
5[]d2
4
5100252
图3-4
245
3
10N。
由挤压强度条件
Pc
C
Ac
c]得
F5[c]dt1
28025
16560
103N。
考虑拉压强度。
1和板2的轴力图如图
3-4a所示。
由板1求允许载荷:
Aq
(b3d)t1
F[](b
3d)t1140(180325)
3
1623510N;
又由板2求允许载荷:
Fl[
3F/5
(b3d)t2
](b3d)t2
2F/
3F/
图3-4a
3F/5
(b3d)t1
F|[
又由板2求允许载荷:
](b3d)t1
140(180
5140(180
3
25)
25)
18441
10IN
(b2d)t2[]
所以许用载荷[F]=2I5KNo
(2)若铆钉的排列次序相反(即自左向右,第一列是两只,第二列是三只铆钉),则接头的许用载荷
剪切强度和挤压强度计算同前。
考虑拉压强度。
板1和板2的轴力图
所示。
由板1求允许载荷:
如图
3-4a
(b2d)t1
16
[](b
2d)t1140(180225)1629110
39210IN
N
A(b3d)t2
所以许用载荷[F]=245KN。
3-
3F/
8矩形截面(30mm<5mm的低碳钢拉伸试件如图所示。
试件两端开有圆孔,孔内插有销钉,载荷通过销钉传递至试件。
试件和销钉材料相同,其强度极限bb=400MPa许用应力[(T]=160MPa,[T]=100MPa,[bc]=320MPa。
在试验中为了确保试件在端部不被破坏,试设计试件端部的尺寸a、b和销钉的直径do
2F/
图3-4a
解:
(1)求所需拉力F
由FbA中400
(30
5)
60103N。
(2)求销钉直径由剪切强度条件
QF
AT
4
得,
4FJ460103
V
100
27.6(mm);
由挤压强度条件
Pc
Ac
F_
dt
c]得,dtT
c]
60103
P37-5(mm)
所以销钉直径取
(3)求边尺寸由由剪切强度条件
[d]=40mm。
a和b
AT^[]得,
2t[
60103
2
100
60(mm)。
由由拉压强度条件
t(bd)[]
得,
F
t[]
60
匹40115(mm)。
5160
4-1
圆轴受力如图所示
M1
1KN
M20.6KNm,M30.2KNm,
M40.2KNm。
(1)作轴的扭矩图。
(2)
若外力偶矩
M2的位置互换,扭矩图有何变化
解:
(1)作轴的扭矩图
如图4-1a所示。
图
4-1
(2)若外力偶矩、M2的位置互换,则轴中最大扭矩为
Tmax
600Nm,原来最大的扭
矩为ITmaxI1000Nm。
4-10两段直径均为d=100mm的圆轴用法兰和螺栓连接成传动轴,如图所示。
已知轴受
扭时最大切应力TMa=70MPa,螺栓的直径d1=20mm并布置在D=200mm的圆周上,设螺
解:
(1)求圆轴上的扭矩
求螺栓允许剪力
求螺栓个数
nFs
所以所需螺栓个数取为
2M
FsD
8个。
2严1077.3(个)
1.885104200
//////
4-12如图所示两端固定的圆轴,受外力偶矩TB=Tc=10KN.m的作用。
设材料的许用切应力[T]=60MPa,试选择轴的直径。
解:
(1)求约束力偶矩
受力图见图
4-12a所示。
列平衡
mx
图4-12
mATbTc
mD0
列变形协调方程:
DA
BA
CB
DC0
BA
TBA.a
GIP
mA.a
GIp
CB
tcb.a
GIP
Tb.a
GIp
mAa
GIP
DC
联立①、②、
mA
2Tb
3
Tc
^KN
3
m;mD
tdc.a
GI
Tb
—KNm
3
(2)求轴的
直径
图4-12b
所示,
确定危险
图4-12b
由强度条件
Tmax
16rmax
max
J166.67106
60
82.7(mm
mA
0Vb」
l
0q(x)dxx
0,
Va
Vb
l
0q(x)dx
0,
q(x)
联立①、
②、③解得
Va
Vb
(2)求指定截面的剪力和弯矩用直接求内力法:
Q1Va
乎20KN
M1Va
Q2Vb
q0l
24
o
5-1试求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩。
解:
(1)求约束力
2.5KN,
M2Vb
1q。
丨21
1也丄2丄鬧_丨
2T232V222232
qol2
2415KNm;
Q3VB
翌10KN,M3Vb00。
6
5-
(3)作内力图由内力方程作内力图,
2列出图示梁的剪力方程、弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。
解:
(1)求约束力
mA
0
Fa
Vc2a
F3a
0,
①
Y
0V
AVc
;F0
J
②
联立①、②解
乍得
Va
FJ,Vc2F
to
(2)求各段内力方程
AB段:
Q(x)
Va
F
(0x
a),
M(x)
Va
xFx
(0
xa)
;
BC段:
Q(x)
Va
F
(ax
2a),
M(x)
Va
xFa
Fx1
Fa(
a
x2a);
CD段:
Q(x)
F
(2a
x3a)
M(x)
F
(3ax)
Fx
3Fa
(2a
x3a)
o
如图5-2d)-a所示。
图5-2d)-a
5-4根据分布载荷、剪力及弯矩三者之间的关系,试作图示梁的剪力图和弯矩图。
解:
(1)求约束力
(2)作内力图
作内力图如图5-4f)-a所示。
图5-4f)-a
5-5用叠加法作图示梁的弯矩图。
解:
(1)求约束力
仅F力作用:
mA0
aVb
2a
Va
FVb
0,
联立①、②解得
Va
f.
Vb
If。
弯矩图见图5-4c)-a所示。
仅mo作用:
mA0
aVb
2a0,
VaVb
0,
1
8J,Vb
图5-4c)-a
图5-4c)-b
图5-4c)-c
在F和m作用下的弯矩图见图5-4c)-c
5-7试作图示梁的剪力图和弯矩图。
解:
(1)求约束力首先考虑附属部分BCD
联立③、④解得
Va
仁弯矩图见图5-4c)-b所示。
所示。
me0
qa
aVba0,
Vb
qa
Vc0,
联立①、②解得
Vb
qa
J,
Vc2qa
to
然后考虑主体部分
AB:
Vb
mA
联立③、④
Vb
Ma
Va
aqa一
2
Vba
0,
qaVb
、⑤解得Ma
0,
0.5qa(
顺时针转),va0o
(2)作内力图
见图5-7d)-a所示。
图5-7d)-a
6-
试求梁内最大拉应力及最大压应力之值,并说
9梁所受载荷及其截面形状如图所示。
明各发生在何处。
解:
(1)求梁的约束力
由对称结构承受对称载荷可知,V\=Vb=40KN(f)。
(2)求截面形心和惯性矩
以底部为参考z’轴,形心在y轴上,则
SZ
yC2
50200150150502596.43(mm);
5020015050
IZIZ1IZ2
3
5020050
12
200
(15096.43)2
150503
12
50
(96.43
25)2
1.0186108mm4
10KN/m
40KN
10KN/m
2m
Xb
trrn(
2m
2m
4
f
0
3
图6-9
(3)求弯矩确定危险面
画弯矩图如图6-9a所示。
最大弯矩Mma)=20KN・m最小弯矩皿庐―20KN-m
所以最大拉应力在最小弯矩处,即A、B截面;最大压应力在最大弯矩处,即C截面。
(3)求梁内最大拉应力及最大压应力之值
6-13如图所示的ACB梁为NO0工字钢,其抗弯截面模量W=49cm,许用应力为
160MPa。
(1)
[]1160MPaOCD杆是直径d10mm圆截面钢杆,其许用应力为[]2
(1)试求许可均布载荷[q];
(2)为了提高此结构的承载能力,可改变哪一根杆件的截面尺寸?
多大的尺寸为宜?
此时
的许用载荷[q]又为多大?
Fcd
解:
(1)计算约束反力。
丫0,VaFcd
解得:
0.75^1,Fcd
选梁为研究对象,受力分析如图所示。
列平
1]!
丨1丄[丄【
ornTwtg
3q0
列平衡方程
Bbx
J
3q0
2m
■丄・
1m
画出梁的弯矩图如图所示。
最大的弯矩为
Mmax
根据圆杆CD的强度条件确定许可载荷
CD
Fcd42.25q…~AE[]2
0.012
解得
根据梁的强度条件确定许可载荷
max
MmaxI0.5q
WW
[]l,
综合考虑杆和梁的强度条件,可知许可均布载荷
q的值为
3
q4.191O3N/m。
(2)提高结构的承载能力
为了提高此结构的承载能力,可改变CD杆件的截面尺寸,使许可均布载荷
[q]15.68103N/m,其尺寸计算如下:
mA(Fi)0,2
Fcd1.53[q]0-
号。
Fcd2.25[q]2.25
由CD干拉压强度条件
15.68103
Fcd
max
35.31O3(N)。
DJ%'V
6-19一钢梁受力如图所示。
材料的
19.4103m。
[d]=160MPa,[T]=100MPa。
试选择工字钢的型
20KN/m
UHH
Tmmj
40KN.m
—
解:
(1)求约
束反力
2m
1m
-*■__
—►
C
图6-19
1m
Va
Vb
2020
mA(Fi)0,220
1Vb
3400
解得:
VA40(KN)(),VB
(2)作内力图确定危险截面
最大剪力在A截面为Qmax
40KN
;最大弯矩在C截面以右为Mmax
40KN
(3)选择工字钢型号
由正应力强度条件
Mmax
max
Wz
40
106
160
2.5
105mm3。
结合I20b的Wz
2.502105mm
3
,可暂选此梁工字钢型号为I
20b。
校核I20b工字钢梁的剪应力强度:
Q/KN
20b可查
Iz2.502
b=9mm
S;1.461
综合
考虑梁的
107mm4
105mm3
正应力强
度和剪应
力强度要
M/KN.m
图6-19a
求,此梁可选I20b。
6-21两根截面尺寸为b=20cmh=20cm的木梁相互重叠,左端固定,右端自由。
受集中力F=15KN如图所示。
求:
(1)两根梁连接成整体时,梁接缝上的切应力为T及剪力
于多少?
(2)若两根梁用螺栓连接,螺栓的许用切应力[T]=80MPa。
试求螺栓的截面积Ao
rn
1'
11
1■
.1
ht
LJ
根梁连接
成整体
时,梁接
:
(1)两
缝上的切
应力为T
及剪力Fs
FSbl028200
4000225103N。
(2)若两根梁用螺栓连接,
求螺栓的截面积A
由螺栓的剪切强度条件
FS
」[]得,
A
A电竺卫1
[]80
2.8125
.^,3,2,
10(mm)。
EI为常数。
7-2用积分法求图示简支梁跨中点的挠度和两端的转角。
设梁的抗弯刚度
反力
解:
(1)求约束
图7-2
Va
Vb0
mA(Fi)0,
m0
VbI0
解得:
Va¥(),Vb
亍()。
(2)用积分法求挠度方程和转角方程
挠曲线近似微分方程:
ElwM(x)
VaX
mox
l
积分El
Elw
2
moxC
l2
Elw
mo
T6
CxD
边界条件:
x=0,w=o;x=l
w=0。
把边界条件代入①、
②式得
mol
0。
又把C
D之值代入①、②式得
El
2
mox
l2
mol
Elw
3
mox
molx
6
(3)求简支梁跨中点的挠度和两端的转角
C)3
简支梁跨中点的挠度:
w
(2)
mo'2molI
(2))
mol2
16EI
简支梁跨两端的转角:
(0)
moO2
古(l2
mol)
6)
mol
6EI
mol2
(l)古(l2
mol
6)
mol
。
3EI
7-7用叠加法求图示外伸梁自由端的挠度和转角。
解:
米用
叠加法
外伸梁自
由端的挠度:
wcBq
3
qa
24EI
3
qa
24EI
5qa4
8EI
wcF
Fa3
3EI
3
qaa
3EI
Bma
maa3EI
qaaa
3EI
外伸梁自由端的转角:
CBq
3
qa
24EI
3
qa
24EI
3
19qa
24EI
CF
Fa2
2EI
2
qaa
2EI
Bm
ma
3EI
qaaa。
3EI
7-8图示梁AB的右端由钢拉杆BC支承,承受均布载荷集度q4kN/m。
已知梁的截
面为200mm<200mm的正方形,材料的弹性模量E110GPa;拉杆的横截面面积
2
A250mm,材料的弹性模量
直方向的位移5。
解:
静力分析,求出支座A点
解得:
FAyFBq4(KN
本题既可用积分和也可用积分法:
厶[mk
拉杆BC的伸一竺_巴
E2A
梁AB的弯矩方程为M(X)
挠曲线的近似微分方程E1Iw
E1Iw
E1Iw
边界条件:
当
q4
一X
24
0时,
qx
6
FAy
代入上式得,
1.493103
当X1m时,
7.45104
叠加法:
w1w2
E2
200GPa,
C,
L
勺药束丿
更力及拉杆
)。
功口法求
14
i图示梁
B
FbI
4103
E2A
20010
q2
FAyX
2
M
(X)qX2
2
3FAyX2C
2
/
3
X3CxD。
;当X
2m时,'
D=0,故EJw
m0.745mm。
1I
f丄Fb
3
试求拉杆的伸长^I及梁的中点D处在竖
BC所受的
」受的力。
列平衡
"t1mIDIB
D截面的扌挠度。
*1I
_2m__I
3103
250
FAyX
说明:
AB梁不变形,
起AB梁中点的位移叠加。
q
24
X4
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- 材料力学 作业