北师大版七年级下数学第17讲利用三角形全等测距离教师版王琪.docx

北师大版七年级下数学第17讲利用三角形全等测距离教师版王琪.docx

《北师大版七年级下数学第17讲利用三角形全等测距离教师版王琪.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版七年级下数学第17讲利用三角形全等测距离教师版王琪.docx（38页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师大版七年级下数学第17讲利用三角形全等测距离教师版王琪

利用三角形全等测距离

利用三角形全等测距离

1.利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。

2.运用全等三角形解决实际问题的步骤：

（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；

（2）根据实际问题抽象出几何图形；

（3）结合图形和题意分析已知条件；

（4）找到解决问题的途径。

1．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（　　）

A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去

解：

第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．

故选：

C．

2．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？

应该带（　　）

A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块

解：

1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．

故选B．

3．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

解：

如图，∠A、AB、∠B都可以测量，即他的依据是ASA．

故选B．

4．如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（　　）

A．大于100mB．等于100mC．小于100mD．无法确定

解：

∵AC=DB，AO=DO，∴OB=OC，

又∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，

∴AB=CD=100m．

故选B．

5．如图，是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中△ABC的周长为24cm，CF=3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为（　　）

A．45cmB．48cmC．51cmD．54cm

解：

∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，∴BC=EF．

在△ABC和△DEF中，

，∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴C△DEF=C△ABC=24cm．∵CF=3cm，

∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC﹣CF=24+24﹣3=45cm．

故选A．

6．玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（　　）

A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②③去

解：

带③去符合“角边角”可以配一块同样大小的三角板．

故选C．

7．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配．

A．①B．②C．③D．①和②

解：

带①去可以根据“角边角”配出全等的三角形．

故选A．

8．要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出BD=10，ED=5，则AB的长是（　　）

A．2.5B．10C．5D．以上都不对

解：

∵AB⊥BD，ED⊥AB，∴∠ABC=∠EDC=90°，

在△ABC和△EDC中，

，∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB=ED=5．

故选C．

9．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距高，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使得CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

A．SASB．SSSC．ASAD．AAS

解：

∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABD=∠EDC=90°，

在△EDC和△ABC中，

，∴△EDC≌△ABC（ASA）

故选：

C．

10．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：

根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SASB．SSSC．AASD．ASA

解：

在△ADC和△ABC中，

，∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．

故选：

B．

11．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（　　）

A．AADB．SASC．ASAD．SSS

解：

∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°，

在△ACB和△ACD中，

，∴△ACB≌△ACD（SAS），

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

故选B．

12．山西中学阶段考试要求提出继续加大考查“活动建议”力度，目的是考查学生运用所学知识解决问题的能力，体现实践创新．某实践活动小组成员要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．SSSD．AAS

解：

∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC=∠EDC=90°，

在△EDC和△ABC中，

，∴△EDC≌△ABC（ASA）．

故选B

13．如图，把两根钢条AB，CD的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得AC之间的距离，就可知工件的内径BD．其数学原理是利用△AOC≌△BOD，判断△AOC≌△BOD的依据是（　　）

A．SASB．SSSC．ASAD．AAS

解：

∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起，∴OA=OB，OC=OA，

∵∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD，

用的是SAS的判定定理．

故选A．

14．小明沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙0点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息如下：

如图，AB∥OE，OE∥CD，AC与BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为点D，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠BOA=∠DOCB．AB∥CD

C．∠ABD=90°D．与∠AOE相等的角共有2个

解：

A、∠BOA和∠DOC是对顶角，因此∠BOA=∠DOC正确，故此选项不合题意；

B、∵AB∥OE，OE∥CD，∴AB∥CD，正确，故此选项不合题意；

C、∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，

∵OD⊥CD，∴∠ADO=90°，∴∠DBA=90°，正确，故此选项不合题意；

D、∵AB∥OE，∴∠BAO=∠AOE，

∵CD∥EO，∴∠OCD=∠AOE，

∵∠AOE=∠1，∴与∠AOE相等的角有3个，原题说法错误，故此选项符合题意，

故选：

D．

15．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且左边的滑梯与地面的夹角∠ABC=35°，则右边的滑梯与地面的夹角∠DFE=（　　）

A．60°B．55°C．65°D．35°

解：

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），

∴∠DEF=∠ABC=35°，∴∠DFE=90°﹣35°=55°．

故选：

B．

16．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（　　）

A．29米B．58米C．60米D．116米

解：

在△ABC和△DEC中，

，△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB=DE=58米，

故选：

B．

17．小明家所在的小区有一个池塘，如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后他测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．

（1）你能说明小明这样做的根据吗？

（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？

解：

（1）证明：

在△ACB和△ECD中

∵

，∴△ACB≌△ECD（SAS），

∴DE=AB；

（2）如图，连接AD，AD=200米，AC=120米，

∴AE=240米，∴40米＜DE＜440米，∴40米＜AB＜440米．

18．如图，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？

解：

连接AB，由题意知AC=DC，BD=EC，

在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴DE=AB

故量出DE的长，就是A，B两点间的距离．

19．为参加学校举行的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB=CD，AC=DB，AC，BD交于点E．你认为小明扎的风筝两脚的大小相同吗？

（即∠B=∠C吗），试说明理由．

∠B=∠C；

证明：

连接AD，

∵在△ADB和△DAC中

，∴△ADB≌△DAC（SSS），

∴∠B=∠C．

20．“三月三，放风筝”，如图是小明同学制作的风筝，他根据AB=AD，CB=CD，不用度量，他就知道∠ABC=∠ADC，请你用学过的知识给予说明．

解：

如图：

连接AC，

∵AB=AD，CB=CD，AC为公共边，∴△ABC≌△ADC，∴∠ABC=∠ADC．

基础演练

1．如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时，△ACB≌△ECD，ED=AB，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．SSSD．AAS

解：

∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴∠ABC=∠EDC=90°，

又CD=BC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC

符合两角一边对应相等，所以利用的判定方法为ASA．

故选B．

2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：

根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

解：

在△ADC和△ABC中，

，∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．

故选：

D．

3．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（　　）

A．①B．②C．③D．①和②

解：

带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．

故选C．

4．下列说法正确的是（　　）

A．全等三角形是指形状相同的两个三角形

B．全等三角形的周长和面积分别相等

C．全等三角形是指面积相等的两个三角形

D．所有的等边三角形都是全等三角形

解：

A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；

B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；

C、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；

D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．

故选B．

5．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．SSSD．HL

解：

∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC=∠EDC=90°，

在△EDC和△ABC中，

，∴△EDC≌△ABC（ASA）．

故选B．

6．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

解：

根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．

故选：

C．

7．如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使CD=BC，再在过D的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE=AB．测得DE的长就是A、B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

解：

∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴∠ABC=∠EDC=90°，

在△ABC和△EDC中，

，∴△ABC≌△EDC（ASA）．

故选B．

8．如图，将两根等长钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　）

A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边

解：

∵AA′、BB′的中点O连在一起，∴OA=OA′，OB=OB′，

又∵∠AOB=∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′的理由是“边角边”．

故选B．

9．如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去．

A．①B．②C．③D．④

解：

第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的；

第②、③只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．

最省事的方法是应带④去，

故选：

D．

10．如图，要量湖两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

解：

因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：

CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．

故选：

C．

巩固提高

11．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图所示），可以说明△ABC≌△EDC，得AB=DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）

A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角

解：

因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：

CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．

故选：

B．

12．如图，两棵大树间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为lm/s，小华走的时间是（　　）

A．13B．8C．6D．5

解：

∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，

∵ABE=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠DEC，

在△ABE和△DCE中

，∴△ABE≌△ECD（AAS），

∴EC=AB=5m，∵BC=13m，∴BE=8m，

∴小华走的时间是8÷1=8（s），

故选：

B．

13．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=CD，BC=DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：

根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SSSB．ASAC．AASD．SAS

解：

在△ADC和△ABC中，

，∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．

故选：

A．

14．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．SSSD．HL

解：

因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：

CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．

故选：

B．

15．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？

应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（　　）

A．2；SASB．4；ASAC．2；AASD．4；SAS

解：

由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．

故选：

B．

16．如图所示，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是（　　）

A．SSSB．SASC．AASD．ASA

解：

小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，

他根据的定理是：

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．

故选：

D．

17．在一藏宝图中，点A（2，4），已知A与B关于y轴对称，点C与点A关于x轴对称．

（1）写出B、C的坐标；

（2）已知藏宝地点在D，且△ACD与△ABC全等，你能找到宝藏地D吗？

写出D所有可能的坐标．

解：

（1）如图，B（﹣2，4），C（2，﹣4）；

（2）如图所示D（﹣2，﹣4），（6，4），（6，﹣4）．

18．如图，一块三角形模具的阴影部分已破损．

（1）如果不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的模具△A′B′C′，需要从残留的模具片中度量出哪些边、角？

请简要说明理由．

（2）作出模具△A′B′C′的图形（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．

解：

（1）只要度量残留的三角形模具片的∠B，∠C的度数和边BC的长，

因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；

（2）△A′B′C′如图所示．

19．小明、小亮各有一段长为40cm的铁丝，将铁丝首尾相连围成一个长方形．

（1）请问他俩围成长方形一定全等吗？

（2）如果围成的长方形一定全等，则长方形的长和宽分别是多少？

如果围成的长方形不一定全等，请再添加一个条件，使得他俩围成的长方形全等，并求出长方形的长和宽（写出解题过程）．

解：

（1）不一定；

设长方形的长和宽分别为xcm，ycm，由题意得：

（x+y）×2=40，化简得：

x+y=20，

围成的长方形的长和宽之和是20cm，那么长和宽的值有好多情况，故他俩围成长方形不一定全等；

（2）添加条件：

围成的长方形的长是宽的3倍；

设长方形的长和宽分别是xcm，ycm，由题意得：

，解得：

，

答：

长方形的长和宽分别是15cm，5cm．

20．某次数学课上，老师出示了一道题，如图1，在边长为4等边三角形ABC中，点E在AB上．

．点D在CB的延长线上，且ED=EC，求CD的长．

（1）尝试探究

在图1中，过点E作EF∥BC，交AC于点F．先确定线段，AE与BD的大小关系是　　，然后求出CD的长为　　．

（2）类比延伸

如图2，在原题条件下，若

（n＞0），△ABC边长为m，则CD的长为　　（用含n，m的代数式表示）试写出解答过程．

解：

（1）∵EF∥BC，△ABC是等边三角形，∴△AEF是等边三角形．

∴AE=EF=AF，∴BE=CF．

∵ED=EC，∴∠D=∠ECB，

∵EF∥BC，∴∠ECB=∠FEC，∴∠FEC=∠D，

∵∠AFE=∠ABC=60°，∴∠EBD=∠CFE，

在△BDE和△FEC中，

，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴EF=BD

又∵AE=EF，∴AE=BD．∴BD=AE=

AB=

，

则CD=BC+BD=4+

=

；

（2）同

（1）作EG∥BC，

则BD=AE=

AB=

．∴CD=BC+BD=m+

=

．

故答案是：

AE=BD，

；

．

1．如图，小华书上的三角形被墨水弄污了一部分，他能在作业本上作一个完成一样的三角形，其根据为（　　）

A．SSSB．ASAC．SASD．AAS

解：

根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．

故选：

B．

2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去，这样做根据的三角形全等判定方法为（　　）

A．SAS．B．ASA．C．AAS．D．SSS．

解：

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．

故选：

B．

3．如图，有一块三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三块，现要到玻璃店重新划一块与原来形状、大小一样的玻璃，只需带第（　　）块到玻璃店去．

A．①B．②C．③D．②或③

解：

由图可知，带③去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形．

故选C．

4．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（　　）

A．①B．②C．③D．④

解：

②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第①块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件