1994年全国大学生数学建模逢山开路问题.docx

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1994年全国大学生数学建模逢山开路问题

The2edhomeworkofmathematicalmodeling

TEAM:

14#304dormitory

Persons:

04231107FanJingjing04231114JiangLan04231115LiLinjian04231116LiXia

March21,2006

CollageofMathematicalScience,BNU

ModelinginconstructionMathematicalModeling

For:

Prof.ZengandTALee.

逢山修路问题

一，摘要

本题旨在通过对复杂地形的探索与分析，以及对资金费用的考虑，探索出一条逢山开路的最佳路线。

最终找到一条最优路线建设方案，使花费最低。

我们的主要思路如下：

从山脚经居民点到矿区，需要经过一个峡谷，并且有一条小溪，到达居民区，之后经过一条山脉到矿区。

经过小溪的地方我们要修桥，因为考虑到山的坡度问题以及修桥的高价费用问题，我们需要寻找一条最适路线，由于公路有坡度的限制（

），我们必须选择可行的一条道路通向山谷，并且尽量花费最少。

修桥的地方我们也要考虑到坡度的可行性，以及结合水面最宽处与峡谷深度的那个函数，找出河面比较窄的点来修桥达到资金花费最少。

之后考虑山峰修一条隧道，由已知条件，我们应尽量控制隧道长度在300米以内，因为超过300米花费就是一倍！

通过对隧道长度，公路坡度，以及矿区高程的因素的考虑，我们选定了一条路线通过修隧道过山峰，再至矿区。

最后，我们通过用matlab作图，拟合函数计算路线长度，以及应用公路学以及城市规划的一些原理分析，提出了一种花费最小化的可行做法。

关键词：

隧道，桥，高程，坡度，资费

二，模型假设

我们认为逢山开路主要从路线及价钱考虑，寻找一种可行的路线同时又较为省钱，为这个问题的最佳方案。

为简化该问题，我们先做出几点假设：

（1）、假设山体充分光滑。

（2）、不考虑路面宽度。

（3）、溪流的的最深处在x+y=4800，（2400≤x≤4800）上，且该直线为溪流的中线。

（4）、桥梁的长宽度为溪流的宽度。

根据对整个地形图及公路走向的认识，我们决定将公路分为四段来修：

一是从起点（0，800）到小溪流，二是修桥及到居民点一端，三是从居民点到山峰这段，最后就是越过山到达矿区。

我们先建立一个空间三维的直角坐标系，x、y坐标同题目中一致，z坐标则表示对应给出的x、y坐标的点的高程。

根据题中所给数据，我们将该地区的大致图形绘制如下：

下面是路段工程成本及对路段坡度α（上升高程与水平距离之比）的限制如下表：

工程种类

一般路段

桥梁

隧道

工程成本/（元/米）

300

2000

1500（长度≤300米）

3000（长度﹥300米）

对坡度的限制

α＜0.125

α=0

α＜0.100

第一段公路属于一般路段，由于这一段路的终点是桥梁，故要确定这一段路首先要确定桥梁的具体位置。

三，模型设计

（一）、桥梁位置的选取

我们已先假设溪流的中心连线在o-xy面上的投影为直线段x+y=4800（2400≤x≤4800）上，先假设桥梁的长度为小溪的宽度，小溪的宽度与（溪流最深处的）x的坐标关系可近似表示为：

由此可知，小溪的宽度随x的增加呈递增的关系。

再从小溪左右公路对坡度要求，我们暂时确定小溪的位置在点

之间，因为小溪的直线方程从

点开始为：

，我们先假设在小溪中心高程z=800的地方修桥。

在这样的高程上，我们找到小溪上对应的点为

，由此算出溪流的宽度：

。

因为桥的坡度为零，从这方面考虑，则桥的两个落点只能在点

这两点与A点的两条直线上确定，为了方便，我们做一个垂直于o-xy面，

含直线

的剖面如下图，

为桥的两个落点，为了满足桥的宽度最接近小溪宽度，通过计算，我们求得

，则桥的实际高程为855，桥的实际宽度为82米。

倒此，我们解决的桥梁问题。

（二）、第一段山路的优化设计

由题所给数据及上面对桥梁位置的找寻，我们可以知道这段路的始点为M（0，800，650），终点为

。

通过对整个数据的观察及计算，我们需要在x=400,x=800的位置分别寻找高程z=700，750的点，为了简便计算，我们假设在x=400与x=800的地方，山形在两点间呈直线，那么我们可以得到这样两个点

我们用分段直线连接

，这里

记该段曲线的长度为

。

在y=400这个平面上，我们在x=1200到x=2400直接修路是可行的，于是根据题中所给数据，我们拟合一条山体曲线，即公路的曲线如下图所示（由于横纵坐标的选取间隔不一样，故看起来较为陡峭，实际不然）：

该曲线的函数为：

z=-2.0642e-8*x^3+3.125e-5*x^2+0.19167*x+570，x在1200到2400之间，记该段曲线的长度为

。

现在解决该段曲线最后一段，通过对数据的观察，我们认为该段曲线应该要经过

这点。

通过对坡的计算，发现这样走是可行的。

我们就直接用几段线段来连接这几点，记该部分曲线的长度为

。

则第一段公路的长度为

4124.2

（三）、桥与居民区之间的路段优化

这段是从点

开始到居民点

结束，通过对开始点高程和结束点高程的考虑，由于高程偏高，故不能直接走，需要从高程较接近的路线绕道居民点。

我们认为应该先从点（3200，1600，700）与点（3200，2000，1100）之间寻找一个高程在870左右的点，经过计算我们确定这个点为（3200，1770，870），再经由点（3600，1600，900），最后至居民点

。

通过对高度的考虑及周围点的坐标变化情况，在这几个点之间用折线连接可行，记这段公路的长度为

，通过计算有：

=1180.97。

（四）、隧道的选取及居民区到隧道一段路段的优化

因为整个公路的终点为

，其高程比居民点前一段公路的高程高出许多，因此从居民点到隧道及出隧道以后的路段呈缓慢上升趋势。

再通过对山峰两边高程的考虑，我们的想法是将修筑的隧道的高程应该在950到1200之间，再加上对隧道坡度及一般路段的坡度的考虑，我们先决定在以点（4400.2800，1500）为顶点的山峰上修筑高程在1100左右的隧道。

由于居民点到隧道这段路缓慢上升，即高程在允许的情况下缓慢增加。

居民点的高程为950，我们通过计算分别找到这样一些点（4012，2400，1002），（4047.06，2800，1050），最终确定隧道入口点的坐标为（4400，2927，1090），因为这座山峰近似图如下所示：

求得出口点坐标（4400.3446.1100），隧道长度为

519.1米，整个隧道坡度为0.02在允许的范围内，故在这个地方修筑隧道是可行的。

故该方案可行，在该方案下路段长度

米。

（五）、出隧道后到矿区路段的优化

出隧道后到矿区这一段路的高程也是缓慢增加的，我们的考虑是从隧道出口的高程1100开始一点点增加高程，使之最后到达矿区。

为了达到这一目的，我们在隧道出口和矿区之间选取了这样一些点作为公路的必经之处：

（4000，3491，1159）、（3600，3600，1200）、（3200，3685，1246）。

跟据隧道出口点和计算出的这三个点，我们拟合了一条公路走向近似曲线如图所示：

从点（3200，3685，1246）到矿区（2000，4000，1320）之间，我们通过计算发现这段路可近似用直线表示，故该段直线的方程为：

。

求得该直线的长度为1240.86米。

则出隧道到矿区的路段长度

2644.24米。

（六）、整段路程总合及所需资金计算

在整个路段中，一般路段的长度

米。

桥梁长度为82米。

隧道长为519.1米。

故最终所需资金为：

7950.65*300+82*2000+[300*1500+（519.1-300）*3000]=410.13（万元）

四，模型分析

由于我们对一些函数的不确定，一部分的路线近似用直线代替，通过线性差值法计算出一些高程，从宏观来说，是可以这样近似看待的。

用matlab拟合函数来计算点的位置以及确定修桥修隧道位置，使数据更加精确。

五，参考文献

刘来福曾文艺编著《数学模型与数学建模》北京师范大学出版社

谭浩强著《C程序设计》高等教育出版社

张志涌等《精通matlab6.5版》北京航空航天大学出版社

六，附件

一些用matlab拟合函数的图形及算法，如下：

1．第一段，海拔800-780的线性拟合：

先用二次的多项式曲线拟合：

h1=[800,850870850];

x1=[1200160020002400];

plot（x1,h1,'o'）

holdon;

p2=polyfit（x1,h1,2）;

xx=linspace（1200,2400）;

plot（xx,polyval（p2,xx）,'g'）

见图：

二次多项式曲线拟合

再用三次的拟合一次：

figure

（2）

plot（x1,h1,'o'）

holdon;

p3=polyfit（x1,h1,3）;

plot（xx,polyval（p3,xx）,'g'）

见图：

三次多项式曲线拟合

比较得知，二次的拟合较为接近，而曲线尚有两个点未能通过，三次的拟合已经十分接近了，通过给定的全部的点。

因此，采用三次拟合。

由刚才的计算，得知:

p3=[-2.0642e-83.125e-50.19167570.0000]

即：

Whenxisin[1200,2400]h=-2.0642e-8*x^3+3.125e-5*x^2+0.19167*x+570

2.计算海拔在1010到880之间，纵坐标在4000到4400之间，海拔约为1000的点的横坐标。

线形拟合计算

为增加准确度，将海拔1380到1050及对应横坐标都纳入拟合范围

类似的：

figure（3）

h2=[138010108801050];

x2=[3600400044004800];

plot（x2,h2,'o'）

holdon

q3=polyfit（x2,h2,3）;

xx=linspace（3600,4800）;

plot（xx,polyval（q3,xx）,'r'）

见图：

找海拔为1000米的那个拟合图

拟合情况非常好，MATLAB计算出q3=[1.5625e-007-0.0011250.855610]

鉴于是已知海拔求横坐标，是反求自变量，我们采取在图上采点找近似值的方法获取数据

gridon

打上网格后，获取数据x=4012,h=1002

见图：

找到1002的横坐标的图

3.

（1）找横为4000高为1150左右的点

从x=4000,y=2800~4000，拟合一个高度h关于y的曲线

figure（4）

h3=[10701550980780];

y1=[2800320036004000];

plot（y1,h3,'o'）

holdon

f3=polyfit（y1,h3,3）;

yy=linspace（2800,4000）;

plot（yy,polyval（f3,yy）,'r'）

gridon

xlabel（'y'）

ylabel（'h'）

采点，取h=1150左右的点y=3491,h=1159

（2）同样的方法在x=3200,h=1600~950,拟合一个高度h关于y的曲线

figure（5）

h4=[160013001080950];

y2=[3200360040004400];

plot（y2,h4,'o'）

holdon

f3=polyfit（y2,h4,3）;

yy=linspace（3200,4400）;

plot（yy,polyval（f3,yy）,'r'）

gridon

xlabel（'y'）

ylabel（'h'）

采点得y=3685,h=1246

见图：

找海拔约为1250的那个点的图

（3）下面根据刚才找出的点，算出隧道出口到矿区的公路拟合路线及其近似长度

首先，将曲线投影到XOY平面上，计算出射影线段的长度

将点（3200,3686）,（3600,3600）,（4000,3491）,（4400,3225）（注明：

这个3225是凡静静算的）

拟合成XOY平面上的曲线，求长，再用空间关系求出公路近似长

x3=[3200360040004400];

y3=[3686360034913225];

plot（x3,y3,'o'）

holdon

r3=polyfit（x3,y3,3）;

xx=linspace（3200,4400）;

plot（xx,polyval（r3,xx）,'r'）

见图：

出隧道口到3200，高1250左右那个点的拟合图如下所示

r3=[-3.4896e-0070.0036969-13.23819626]

得

y=-3.4896e-007*x^3+0.0036969*x^2-13.238*x+19626

A（2400,400,850）B（2800,800,830）C（3036,1836,855）的拟合

分别将AB，BC用二次曲线拟合，使它们在XOY上的投影是直线

为此，变量设为t=（x^2+y^2）^0.5：

如下计算：

AB：

考虑到：

[（2800-2400）^2+（800-400）^2]^0.5=565.7

figure

t1=[0565.7];

hh1=[850830];

plot（t1,hh1,'o'）

holdon

tt=linspace（0,565.7）;

g1=polyfit（t1,hh1,2）;

plot（tt,polyval（g1,tt）,'g'）

见图：

多加的一段拟合

计算出：

g1=[-6.2497e-0050850]

hh1=-6.2497e-005*x^2+850

BC：

考虑到：

[（3036-2800）^2+（1836-800）^2]^0.5=333.8

类似地

figure

t2=[0333.8];

hh2=[830855];

plot（t2,hh2,'o'）

holdon

tt=linspace（0,333.8）;

g2=polyfit（t2,hh2,2）;

plot（tt,polyval（g2,tt）,'g'）

见图：

多加的第二段拟合

计算出：

g2=[0.000224370830]

hh2=0.00022437*x^2+830

304组员：

04231107凡静静04231114姜岚04231115李林娟04231116李夏

For:

Prof.ZengandTALee.

2006.3.21