中考数学常考易错点331《二次函数的图象与性质》.docx
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中考数学常考易错点331《二次函数的图象与性质》
二次函数的图象与性质
易错清单
1.二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定.
【例1】 (2014·山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( ).
A.1个B.2个
C.3个D.4个
【解析】 根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=-1时,y=0,则a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.
【答案】 ∵ 抛物线的对称轴为直线x=2,
∴ b=-4a,即4a+b=0,所以①正确.
∵ 当x=-3时,y<0,
∴ 9a-3b+c<0,即9a+c<3b.所以②错误.
∵ 抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),
∴ a-b+c=0.
而b=-4a,∴ a+4a+c=0,即c=-5a.
∴ 8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.
∵ 抛物线开口向下,
∴ a<0.
∴ 8a+7b+2c>0.所以③正确.
∵ 对称轴为直线x=2,
∴ 当-1
【误区纠错】 本题考查了二次函数图象与系数的关系:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由Δ决定,Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
2.二次函数和最值问题
【例2】 (2014·浙江舟山)当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为( ).
【解析】 二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.
【答案】 二次函数的对称轴为直线x=m,
①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,
此时-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-,与m<-2矛盾,故m值不存在.
②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,
此时,m2+1=4,
【误区纠错】 本题易错点在于不知分类讨论导致漏解.
名师点拨
1.掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数.
2.能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式.
3.会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质.
4.能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点坐标等.
提分策略
1.二次函数的图象与性质的应用.
(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:
①配方法;②顶点公式法,顶点坐标为.
(2)画抛物线y=ax2+bx+c的草图,要确定五个方面,即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴交点;⑤与x轴交点.
【例1】
(1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x-h)2+k的形式;
(2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象;
(3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点,且x1 (4)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表示出来. 【解析】 (1)根据配方法的步骤进行计算. (2)由 (1)得出抛物线的对称轴,顶点坐标列表,注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点的坐标,不要弄错. (3)开口向上,在抛物线的左边,y随x的增大而减小. (4)抛物线y=x2-4x+3与直线y=2的交点的横坐标即为方程x2-4x+3=2的两根. 【答案】 (1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)+3-4=(x-2)2-1. (2)由 (1)知图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),列表如下: x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 描点作图如图. (3)y1>y2. (4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+3=2的根. 2.二次函数的解析式的求法. 二次函数的关系式有三种: (1)一般式y=ax2+bx+c; (2)顶点式y=a(x-m)2+n,其中(m,n)为顶点坐标; (3)交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;已知顶点及另一个点坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式. 【例2】 已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为,求二次函数的解析式. 【解析】 根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式. 3.二次函数的图象特征与系数的关系的应用. 二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)系数的符号与抛物线二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象有着密切的关系,我们可以根据a,b,c的符号判断抛物线的位置,也可以根据抛物线的位置确定a,b,c的符号.抛物线的位置由顶点坐标、开口方向、对称轴的位置确定,顶点所在象限由 的符号确定. 【例3】 (2014·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论: ①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2. 其中,正确结论的个数是( ). A.0B.1 C.2D.3 【解析】 由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,进而判断①; 先根据抛物线的开口向下可知a<0,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系,然后根据有理数乘法法则判断②; 一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,则可转化为ax2+bx+c=m,即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点,即可求出m的取值范围,判断③即可. 【答案】 ①∵ 二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点, ∴ b2-4ac>0,故①正确. ②∵ 抛物线的开口向下, ∴ a<0. ∵ 抛物线与y轴交于正半轴, ∴ c>0. ∵ 对称轴 ∴ ab<0. ∵ a<0, ∴ b>0. ∴ abc<0,故②正确. ③∵ 一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根, ∴ y=ax2+bx+c和y=m没有交点. 由图可得,m>2,故③正确. 故选D. 4.二次函数的图象的平移规律的应用. (1)采用由“点”带“形”的方法.图形在平移时,图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离,抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决. (2)平移的变化规律可为: ①上、下平移: 当抛物线y=a(x-h)2+k向上平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k+m;当抛物线y=a(x-h)2+k向下平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k-m. ②左、右平移: 当抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h+n)2+k;当抛物线y=a(x-h)2+k向右平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h-n)2+k. 【例4】 (2014·甘肃兰州)把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为( ). A.y=-2(x+1)2+2B.y=-2(x+1)2-2 C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2-2 【解析】 根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律: “左加右减,上加下减.” 【答案】 把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2(x-1)2+2,故选C. 专项训练 一、选择题 1.(2014·江苏句容一模)若抛物线y=mx2+(m-3)x-m+2经过原点,则m的值为( ). A.0B.1 C.2D.3 2.(2014·辽宁营口模拟)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是( ). 3.(2014·安徽安庆正月21校联考)抛物线y=ax2+bx-3经过点(2,4),则代数式8a+4b+1的值为( ). A.3B.9 C.15D.-15 4.(2013·山东德州一模)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论: ①abc>0;②a+b+c=2;③ ④b>1.其中正确的结论是( ). A.①②B.②③ C.③④D.②④ (第4题) (第5题) 5.(2013·山西中考模拟六)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图,则a的值为( ). 6.(2013·浙江湖州中考模拟试卷)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是( ). 二、填空题 7.(2014·安徽安庆正月21校联考)如图,大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒. (第7题) 8.(2014·甘肃天水模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分.其对称轴为x=-1,且过点(-3,0).下列说法: (1)abc<0; (2)2a-b=0;(3)4a+2b+c=0;(4)若(-5,y1), 是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是 .(填序号) (第8题) 9.(2014·辽宁大连二模)如图是函数y=x2+bx-1的图象,根据图象提供的信息,确定使-1≤y≤2的自变量x的取值范围是 . (第9题) 10.(2014·山东德城模拟)如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是 . (第10题) 11.(2013·江苏东台实中)已知抛物线与x轴两交点分别是(-1,0),(3,0),另有一点(0,-3)也在图象上,则该抛物线的关系式是 . 12.(2013·北京龙文教育一模)点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x-1的图象上,若x2>x1>1,则y1与y2的大小关系是y1 y2.(用“>”“<”或“=”填空) 13.(2013·河北一模)如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于点O(0,0)和A(3,2)两点,则不等式ax2+bx (第13题) 三、解答题 14.(2014·北京平谷区模拟)已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0. (1)求证: 无论m取任何实数时,方程总有实数根; (2)关于x的二次函数y1=x2-mx+m-1的图象C1经过(k-1,k2-6k+8)和(-k+5,k2-6k+8)两点. ①求这个二次函数的解析式; ②把①中的抛物线E沿x轴翻折后,再向左平移2个单位,向上平移8个单位得到抛物线 .设抛物线C2交x轴于M,N两点(点M在点N的左侧),点P(a,b)为抛物线C2在x轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN≤45°时,直接写出a的取值范围. (第14题) 15.(2014·安徽安庆二模)如图,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,P为AC中点,E为边AB上一动点,F为边BC上一点,且满足条件∠EPF=45°,记四边形PEBF的面积为S1. (1)求证: ∠APE=∠CFP; (2)记△CPF的面积为S2,CF=x. ①求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围,并求出y的最大值; ②在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形,若它们关于点P中心对称,求y的值. (第15题) 16.(2013·山东德州一模)如图,Rt△ABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为(-3,0),(0,4),抛物线y= +bx+c经过点B,且顶点在直线 上. (1)求抛物线对应的函数关系式; (2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由; (3)若点M是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标. (第16题) 参考答案与解析 1.C [解析]将(0,0)代入函数关系式即可. 2.D [解析]假设函数在D选项中正确,则m<0, ∴ -m>0,抛物线的开口向上,顶点的横坐标 . 所以D正确,别的选项这种假设均不成立. 3.C [解析]将点(2,4)代入抛物线方程,得4a+2b-3=4, ∴ 4a+2b=7. ∴ 8a+4b+1=2×7+1=15. 4.D [解析]①∵ 抛物线的开口向上, ∴ a>0. ∵ 与y轴的交点为在y轴的负半轴上, ∴ c<0. ∵ 对称轴为 ∴ a,b同号,即b>0. ∴ abc<0. 故本结论错误. ②当x=1时,函数值为2, ∴ a+b+c=2.故本结论正确. ③∵ 对称轴 解得 . 又 b>1, ∴ .故本结论错误. ④当x=-1时,函数值<0,即a-b+c<0 (1), 又a+b+c=2,将a+c=2-b代入 (1)式,得2-2b<0, ∴ b>1.故本结论正确. 综上所述,其中正确的结论是②④. 5.D [解析]由题意,知a2-2=0,且a>0. 6.C [解析]当a>0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限,故A,D不正确;由B,C中二次函数的图象可知,对称轴 且a>0,则b<0,但B中,一次函数a>0,b>0,排除B. 7.36 [解析]10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则到达顶点时是18秒,所以通过拱梁部分的桥面OC共需18×2=36秒. 8. (1) (2)(4) [解析]其对称轴为x=-1,且过点(-3,0),则另一个交点是(1,0). 当x=2时,函数值大于零,即4a+2b+c>0, ∴ (3)错误,其余的均正确. 9.2≤x≤3或-1≤x≤0 [解析]把(3,2)代入y=x2+bx-1,得b=-2,当y=-1时,x=-1或x=2,观察可知: 使-1≤y≤2的自变量x的取值范围是2≤x≤3或-1≤x≤0. 10.x<-1或x>3 [解析]观察可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0),所以不等式ax2+bx+c>0的解集是x<-1或x>3. 11.y=x2-2x-3 [解析]用待定系数法求二次函数解析式. 12.< [解析]先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1,再根据二次函数图象上的点,x>1时,y随x的增大而增大. 13.0 14. (1)在x2-mx+m-1=0中, Δ=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2. ∵ 当m取任何值时,(m-2)2≥0, ∴ 无论m取任何实数时,方程总有实数根. (2)①∵ 抛物线y1=x2-mx+m-1过点(k-1,k2-6k+8)和点(-k+5,k2-6k+8), 15. (1)∵ ∠EPF=45°, ∴ ∠APE+∠FPC=180°-45°=135°. 在等腰直角△ABC中,∠PCF=45°, 则∠CFP+∠FPC=180°-45°=135°, ∴ ∠APE=∠CFP. (2)①∵ ∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°, 在等腰直角△ABC中,AC=AB=4, 又 P为AC的中点,则AP=CP=2, 如图 (1),过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G, (第15题 (1)) ∵ E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°, ∴ 2≤x≤4. ②如图 (2)所示: (第15题 (2)) 图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称, 此时EB=BF,即AE=FC, (2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4, ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ BC=CD=DA=AB=5. ∴ C,D两点的坐标分别是(5,4),(2,0). ∴ 点C和点D在所求抛物线上.
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