学而思小学六年级奥数教师讲义版工程问题.docx

学而思小学六年级奥数教师讲义版工程问题.docx

《学而思小学六年级奥数教师讲义版工程问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学而思小学六年级奥数教师讲义版工程问题.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

学而思小学六年级奥数教师讲义版工程问题

六年级奥数第三讲工程问题

顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：

工作量二工作效率X工作时间，

工作时间=工作量+工作效率，

工作效率二工作量+工作时间。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可

以是部分工程量，常用分数表示。

例如，工程的一半表示成孑工程的三分之一表示为亍工作效率指的是干工

作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？

分析与解：

以全部工程量为单位1。

甲

队单独干需100天，甲的工作效

率是歸

同理，乙队的工作效率是丄。

两队合干的工作效率是（点+占

150100150

由澤工作量=工作效率x工作时间-,刃天的工作量是剰下的工作量是（l-|）c由“工作时间=工作量+工作效率：

剩下的工作量由乙队干还需

例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。

如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。

问：

甲队干了多少天？

分析：

将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两

队合干需多少天？

”这样一来，问题就简单多了。

黑「存⑹哙诗

213

_=_x20=12〔天）。

例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问：

甲

队实际工作了几天？

分析与解：

乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，

剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了

【一E+命必］+召=3（天）-

例4一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。

如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。

这批零件共有多少个？

分析与解：

这道题可以分三步。

首先求出两人合作完成需要的时间，

r存寺）"2〔时）。

再求岀每小时张比王多做的零件数，60-12=5（^）c

最后求出这批零件的总数』5^--^）-300（个）◎

例5一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。

如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？

分析与解；以满池水为单位1。

1时放水管可使水増加・排水管可使水

减少审同时开时可使水增加（W放水管打开1时后，池内已经有+

的水，与半池水还差（扌-£）,所以要达到半池水，还需

=—4-—-5丄（时）°

、27^5T10354vJ?

例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。

走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。

出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。

甲再出发后多长时间两人相遇？

分析：

这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。

甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。

我们将题目改述一下：

完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？

由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。

解:

（1-护15）+（存命=#+£=15（分）。

1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？

2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。

甲队先干了6天后转交给

乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。

求乙队在中间单

独工作的天数。

3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。

现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。

这条水渠由甲队单独挖需多少天？

4甲*乙二人植树，若单独完成则甲比乙所需的时间多！

若两人合干.

则完成任务时乙比甲多植50棵。

这批树共有多少棵?

5•修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。

现在两队同时从两

端开工，结果在距中点750米处相遇。

这段公路长多少米？

6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24时注满。

如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？

7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车从

乙地到甲地多用+的时间。

支哮:

两车同时开也那么相遇时快车比慢车多行

40千米。

求甲、乙两地的距离。

答案与提示练习5

解；稳X（6+10）］-^--10=14（天）o

4o3d

…c工强乙队的工作奴率为（1舜X12）74二L

3.120天。

-『

甲队单独挖需“

=120（天）°

443

解：

乙的工作效率是甲的审所以乙完成工作量的孑甲完成丰这批树

A3

共有刘+（亍-〒）—350（棵）»

r1111亠、

解;

750X2--—）x[l+（—+—）jt=6000（氷）

6.8时。

提示：

甲管12时都开着，乙管开

黑快车从乙地到甲地用4⑴舟）丸（时）e两车相遇需1+（］+!

）二专（时）,

3Do/

相遇吋快车比慢车多行全程旳（昇）所以艮乙两地相距

6877

40+——280〔千氷）o

单独修一条公路，甲工程队需100天完成，乙工程队需150天完成。

甲、

乙两工程队合修50天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？

解：

设全部工程量为“1”，则甲队的工作效率为：

，乙队的工作效率为：

，余下的工作量为：

。

故还需：

（天）。

答：

余下的工程由乙独做还需25天完成。

（综合算式为：

（天））

二、单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项

工作。

问甲实际工作了多少小时？

解法一：

甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：

（小时）。

解法二：

甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：

（小时）。

三、一件工作，甲5小时完成了全部工作的，乙6小时又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？

解：

甲的工作效率为：

，乙的工作效率为：

，余下的工作量为：

，

于是，还需（小时）。

答：

还需小时才能完成任务。

（综合算式：

（小时））四、一项工程，甲单独做9小时完成，乙单独做需12小时。

如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每天每次工作1

小时。

那么，完成这项工程共需要几小时？

解：

甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲工作1小时，乙再工作1小时，即一个循环完成工作量为，由知，最多可以有5次循环，而5次循环将完成工作量：

，还剩下的工作量，剩下的工作量甲仅需（小时）即可完成。

因此，共需（小时）完成这项工程。

五、一批零件，甲独做20小时完成，乙独做30小时完成。

如果甲、乙两人同时做，那么完成任务时乙比甲少做60个零件。

这批零件共有多少个？

解：

甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合做所需时间为：

（小时）。

甲、乙两人的工作效率之差为。

从而两人的工作量的差为。

这的工作量为60个零件，因此，共有零件（个）。

综合算式为：

（个）

答：

这批零件共有300个。

六、一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需9天完成。

若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，则甲做了多少天？

一、某工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。

甲、乙两队合做

8天后，余下的工作由丙队单独做，又做了6天才完成。

问这项工程由丙队单独

做需几天完成？

解：

（天）。

答：

余下的工程由丙队单独做需15天完成。

二、一项工程，甲队独做20天完成，乙队独做30天完成。

现由两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队也休息了若干天，这样，从开始到工程完成共用了16天。

问乙队休息了多少天？

解：

（天）。

三、一件工程，小明4小时完成了全部工作的，小军5小时又完成了剩下任务的，最后余下的部分由小明与小军合做。

问完成这项工作共用多少小时？

解：

（小时）。

答：

完成这项工作共用了小时。

四、一件工程，甲独做需24小时，乙独做需18小时。

若甲先做2小时，然后

乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做2小时，再由乙独做1小时……两人如此交替工作。

问完成任务时共用多少小时？

解：

甲做2小时，乙做1小时为一个循环。

一个循环完成工作量：

，七个循环完成工作量：

，余下的工作量由甲完成，需：

（小时）。

于是，完成这项任务共需：

（小时）。

答：

完成任务时共用小时。

五、有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时，甲比乙多做了20个零件。

问这批零件共有多少个？

解：

完成任务所需的时间为（天），此时，甲比乙多完成工作量，于是，这批零件共有（个）。

答：

这批零件共有180个。

六、单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。

若甲先独做若干天后乙单独做，则共用26天完成工作。

问甲做了多少天？

七、打印一份稿件，甲单独打需50分钟完成，乙单独打需30分钟完成。

现在甲单独打若干分钟后乙接着打，共42分钟打完。

问甲完成了这份稿件的几分之几？

一、单独修一条公路，甲工程队需100天完成，乙工程队需150天完成。

甲、乙两工程队合修50天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？

解：

设全部工程量为“1”，则甲队的工作效率为：

，乙队的工作效率为：

，余下的工作量为：

。

故还需：

（天）。

答：

余下的工程由乙独做还需25天完成。

（综合算式为：

（天））

二、单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。

问甲实际工作了多少小时？

解法一：

甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲

实际的工作时间为：

（小时）。

解法二：

甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：

（小时）。

答：

甲实际工作了3小时。

三、一件工作，甲5小时完成了全部工作的，乙6小时又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？

解：

甲的工作效率为：

，

乙的工作效率为：

，余下的工作量为：

，甲、乙的工作效率和为：

。

于是，还需（小时）。

答：

还需小时才能完成任务。

（综合算式：

（小时））

四、一项工程，甲单独做9小时完成，乙单独做需12小时。

如果按照甲、乙、

甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每天每次工作1小时。

那么，完成这项工

程共需要几小时？

解：

甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲工作1小时，乙再工作1小时，即一个循环完成工作量为，

由知，最多可以有5次循环，而5次循环将完成工作量：

，还剩下的工作量，剩下的工作量甲仅需

五、一批零件，甲独做20小完成，乙独做30小时完成。

如果甲、乙两人同时做，那么完成任务时乙比甲少做60个零件。

这批零件共有多少个？

解：

甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合做所需时间为：

（小时）。

甲、乙两人的工作效率之差为。

从而两人的工作量的差为。

这的工作量

为60个零件，因此，共有零件（个）。

综合算式为：

（个）答：

这批零件共有

300个。

六、一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需9天完成。

若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，则甲做了多少天？

一、答：

甲做了4一、甲、乙、丙三人合挖一条水渠，甲、乙合挖5天挖了水

渠的1，乙、丙合挖2天挖了余下的丄，剩下的又由甲、丙合挖5天刚好挖完，

34

问甲、乙、丙三人单独挖这条水渠分别需要多少天？

解：

甲、乙的工作效率之和为丄“5二丄，

315'

乙、丙的工作效率之和为K亠2二丄，

I3丿412

甲、丙的工作效率之和为‘1—1〕」1—丄卜5=丄。

I3八4丿10

由此可知，甲、乙、丙三人的工作效率之和为

从而甲的工作效率为1-丄1

81224

乙的工作效率为1，

丙的工作效率为-。

815120

于是，甲单独完成需24天，乙单独完成需40天，丙单独完成需120=仃丄天。

77

答：

甲、乙、丙单独完成这条水渠分别需24天、40天、17,天。

二、将一空池加满水，若同时开启12、3号进水管，则20分钟可以完成；若

同时开启2、3、4号进水管，贝V21分钟可以完成；若同时开启1、3、4号进水管，则28分钟可以完成；若同时开启1、2、4号进水管，则30分钟可以完成。

求若同时开启1、2、3、4号进水管，则需多少分钟可以完成？

若单开1号进水管，则多少分钟可以完成？

解：

1、2、3号进水管的工作效率和为丄，

20

2、3、4号进水管的工作效率和为丄，

21

1、3、4号进水管的工作效率和为丄，

28

1、2、4号进水管的工作效率和为丄。

30

相加后除3即得1、2、3、4号进水管的工作效率和：

从而同时开启12、3、4号进水管需时

1“丄=18（分）。

18

再结合前面的条件可知，1号进水管的工作效率为

111

1821126

于是，单开1号进水管需时1—126（分）。

126

答：

同时开启12、3、4号进水管，需时18分钟。

单开1号进水管需时126分钟。

单独完成一件工作，甲比规定时间提前2天完成，乙则要比规定时间推迟

3天完成。

如果先让甲、乙两人合做2天，再由乙单独完成剩下的工作，那么

刚好在规定时间完成。

问甲、乙两人合干需多少天完成？

规定时间是几天？

解：

由题设知，乙比甲多用2+3=5（天）,且甲做2天相当于乙做3天，即乙所需时间为甲所需时间的3倍，从而，甲所需时间为5」3—1；=10（天）。

2丘丿'丿

（这是差倍问题），乙所需时间为10|=15（天），

于是，甲、乙合做需时仁丄•丄=6（天）。

Q015丿'）

规定时间为10+2=12（天）（或15-3=12（天））。

答：

甲、乙合做需6天，规定时间为12天。

四、一件工作甲先做6小时，乙再接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙

接着做6小时也可以完成。

问：

如果甲先做3小时，那么乙再做几小时就可

以完成？

甲、乙单独完成分别要多少小时？

解：

比较可知，甲1小时的工作量等于乙3小时的工作量，由此，

甲单独做需：

6+12-3=10（小时）。

乙单独做需：

12+3X6=30（小时）。

若甲先做3小时，则乙还需做

12+3X（6-3）=21（小时），

或3x（10-3）=21（小时）。

答：

甲先做3小时，乙再做21小时完成；甲、乙单独完成分别需10小时、30

小时。

五、甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人轮流去做，恰好整数天完成。

若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多

用1天；若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用-天。

已

23

知甲单独做完这件工作要13天，问：

甲、乙、丙三人一起做这件工作要用多少天完成？

解：

由题设甲的工作效率为丄，而对于甲、乙、丙次序的安排，结束工作的只可

13

能为甲或乙。

分两种情况讨论：

（1）结束工作的是甲。

此时，第一种安排的收尾是甲做1天，第二种安排的收尾为乙做1天，丙做1天，第三种安排的收尾为丙做1天，甲做1天。

但这三种

23

收尾的工作量相等。

所以，比较可知，丙的工作效率为甲的2，乙的工作效率也

3

为甲的2。

从而，原计划的工作时间为

3

1+1—丄〕十「丄+丄疋2+丄x2〕x3=16总

、、13丿03133133丿7

不是整数，与题设矛盾，即这种情况不可能。

（2）结束工作的是乙。

此时，第一种安排的收尾为甲做1天，乙做1天；第二种安排的收尾为乙做1天，丙做1天，甲做1天；第三种安排的收尾为丙做1天，甲做1天，乙做1天。

但这三种收尾工作量都相等，所以，比较可知，丙的工作

3

效率为甲的1，乙的工作效率为甲的-。

从而，原计划的工作时间为

24

2/_丄_丄启〕」—丄』h=17（天）

<1313<13134132；

为整天，符合要求。

因此，甲、乙、丙一起完成这件工作需

答：

甲、乙、丙合做需57天。

六、

甲、乙、丙三人合作完成一件工程，共得报酬1800元。

已知甲、乙先合做

8天完成工程的丄，接着乙、丙合做2天完成余下的丄，最后三人合做5天完

34

成全部工程。

今按劳取酬，问甲、乙、丙三人每人可得报酬多少元？

解:

甲、乙的工作效率和为1“81，

324'

乙、丙的工作效率和为

C1'1•C1

11乂一■=■2=—，

I3丿412

或1800-390-675=735（元）

答:

天。

甲、乙、丙三人每人可得报酬390元、675元、735元。

一项工程，甲、乙两队合做需12天完成，乙、丙两队合做需15天完成，甲、丙两队合做需20天完成。

问甲、乙、丙单独完成分别需多少天？

三队合作需多少天完成?

解：

甲、乙的工作效率和为丄，

12

乙、丙的工作效率和为-，

15

甲、丙的工作效率和为丄。

20

于是，甲、乙、丙三人的工乍效率和为右右帚仝右,

即甲、乙、丙三人合做需10天。

甲、乙、丙的工作效率分别为

11_111_111_1

10一15=30，10_2^=20，10_12=60

于是，甲、乙、丙单独做分别需要30天、20天、60天。

答：

甲、乙、丙单独完成分别需要30天、20天、60天，三队合作需10天

一、某工程由一、二、三三个小队合干需8天完成；由二、三、四三个小队合干需10天完成；由一、四两个小队合干需15天完成。

问二、三队合干需多少天完成？

四小队合干需多少天完成？

解：

一、二、三小队的工作效率和为1，二、三、四小队的工作效率和为丄

810

一、四小队的工作效率和为丄。

15

于是，一、二、三、四小队的工作效率和为：

1丄丄亠2丄

8101548

由此，二、三队合干需空°=12咚（天），

1919

四个队合干需48=66（天）。

77

答：

二、三队合干需121|天，四小队合干需6号天。

二、一件工程，甲、乙合做6天能完成5。

如果单独做，那么甲完成-与

63

乙完成1所需的时间相等。

问甲、乙单独做分别需多少天？

若按甲、乙、甲、乙

2

的顺序每人一天轮流，则需多少天完成任务?

三、某工程由哥哥单独做40天，再由弟弟做28天可以完成。

现在兄弟两人合做35天就完成了。

如果先由哥哥独做30天，再由弟弟单独做，那么还要工作多少天才能完成这项工程？

解：

由比较可知，哥哥（40-35）天的工作量等于弟弟（35-28）天的工作量，即哥哥5天的工作量等于弟弟7天的工作量。

于是，弟弟还要工作35+7X[（35-30）一5]=42（天）

答：

弟弟还要工作42天才能完成这项工程。

四、甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮

流去做，恰好整数天做完，并且由乙结束工作。

若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比原计划多用1天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，贝吐匕原计划多用1天c

23

已知甲单独做完这件工作需要22天，那么甲、乙、丙三人合做要用多少天才能完成？

解：

只考虑收尾工作，

第一种安排收尾为甲1天，乙1天；

第二种安排收尾为乙1天，丙1天，甲1天；

2

第三种安排收尾为丙1天，甲1天、乙1天。

3

比较可知，丙的工作效率为甲的丄，乙的工作效率为甲的3，由此可得原计

24

划需

符合题意，因此，甲、乙、丙三人合做需:

仁丄」3.丄1胡7（天）

222242229

答：

甲、乙、丙三人合做要用9-天才能完成。

9

20小时，16小时.

工程问题1.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要

丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？

解：

1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率

9/80X5=45/80表示5小时后进水量

1-45/80=35/80表示还要的进水量

35/80-（9/80-1/10）=35表示还要35小时注满

答：

5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。

如果两队

合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。

现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？

解：

由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10=7/100，可知甲乙合作工效＞甲的工效＞乙的工效。

又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16

天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。

只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。

设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天

1/20*（16-x）+7/100*x=1

x=10答：

甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。

现在先请

甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。

乙单独做完这件工作要多少小时？

解：

由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的

工作量

（1/4+1/5）X2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。

根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。

所以1－9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量。

1/10一2=1/20表示乙的工作效率。

1*1/20=20小时表示乙单独完成需要20小时。

答：

乙单独