版高中数学 第二章 函数章末复习课学案 北师大版必修1.docx
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版高中数学第二章函数章末复习课学案北师大版必修1
第二章函数
章末复习课
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核心归纳
知识点一 对函数的进一步认识
(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.它的三要素是定义域、值域和对应关系.函数的值域是由定义域和对应关系所确定的.
(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则,表示函数的定义域和值域时,要写成集合的形式,也可用区间表示.
(3)函数的表示方法有三种:
解析法、图像法和列表法.在解决问题时,根据不同的需要,选择恰当的方法表示函数是很重要的.
(4)分段函数是一种函数模型,它是一个函数而并非几个函数.
(5)函数与映射是不同的概念,函数是一种特殊的映射,是从非空数集到非空数集的映射.在映射f:
A→B中,A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像.
知识点二 函数的单调性
1.函数的单调性主要涉及求函数的单调区间,利用函数的单调性比较函数值的大小,利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键.
2.函数单调性的证明
根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明,步骤如下:
(1)取值:
任取x1,x2∈D,且x1
(2)作差变形:
Δy=y2-y1=f(x2)-f(x1)=…,向有利于判断差的符号的方向变形;
(3)判断符号:
确定Δy的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论;
(4)下结论:
根据定义得出结论.
3.证明函数单调性的等价变形:
(1)f(x)是单调递增函数⇔任意x1
(2)f(x)是单调递减函数⇔任意x1
知识点三 对幂函数的图像和性质
1.幂函数的图像
当指数α=1时,y=x的图像是直线;当α=0时,y=xα=x0=1是直线[不包括点(0,1)].除上述特例外,幂函数的图像都是曲线,如下表(p,q∈N*,q>1,且p,q互质):
α=
α<0
0<α<1
α>1
p,q都是奇数
α=
α<0
0<α<1
α>1
p是偶数,q是奇数
p是奇数,q是偶数
当α>0时,幂函数的图像都经过原点和点(1,1).在第一象限内,当0<α<1时,曲线上凸;当α>1时,曲线下凸.当α<0时,幂函数的图像都经过点(1,1),在第一象限内,曲线下凸.
2.幂函数的单调性
在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函数.
3.幂函数的奇偶性
令α=(其中p,q互质,p,q∈N*,q>1).
(1)若q为奇数,则y=x的奇偶性取决于p是奇数还是偶数.当p是奇数时,y=x是奇函数;当p是偶数时,y=x是偶函数.
(2)若q为偶数,则p必是奇数,此时y=x既不是奇函数,也不是偶函数.
规律方法 函数的奇偶性
判定函数奇偶性,一是用其定义判断,即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称,再检验f(-x)与f(x)的关系;二是用其图像判断,考察函数的图像是否关于原点或y轴对称去判断,但必须注意它是函数这一大前提.
要点一 函数的概念与性质
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手,分析函数的图像及其变化趋势,从近几年的高考形式来看,对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征,做题时应注重上述性质知识间的融合.
【例1】 已知函数f(x)=是奇函数,且f
(2)=.
(1)求实数m和n的值;
(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.
解
(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴=-=.
比较得n=-n,n=0.
又f
(2)=,∴=,解得m=2.
∴实数m和n的值分别是2和0.
(2)由
(1)知f(x)==+.
任取x1,x2∈[-2,-1],且x1 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2), =(x1-x2)·. ∵-2≤x1 ∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴函数f(x)在[-2,-1]上为增函数, ∴f(x)max=f(-1)=-,f(x)min=f(-2)=-. 【训练1】 设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(-x)=f(x),f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(2a2+a+1) 解 ∵f(x)是定义在R上的函数,且f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. 又f(x)在(-∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. 又2a2+a+1=22+>0, 2a2-4a+3=2(a-1)2+1>0, 由f(2a2+a+1) 2a2+a+1>2a2-4a+3, 得5a>2,a>. ∴a的取值范围是. 要点二 根据幂函数的图像确定对应的解析式 先根据幂函数在第一象限内的图像特征,确定幂指数α的取值区间[即在(-∞,0),(0,1),(1,+∞)中哪一个区间上取值];再根据函数在y轴左侧有无图像确定函数的定义域,进而确定α=中分母“m”是偶数还是奇数;当函数在y轴左侧有图像时,再研究其图像关于y轴(或原点)的对称性,从而确定函数的奇偶性,进而确定幂指数α=中分子“n”的奇偶性.类似地,可作出幂函数y=xα的图像,即先作出第一象限的图像,再研究在y轴左侧有无图像,有图像时,再利用函数的奇偶性作出对称图像即可. 【例2】 给定一组函数解析式: ①y=x;②y=x;③y=x-;④y=x-;⑤y=x;⑥y=x-;⑦y=x和一组函数图像.请把图像对应的解析式序号填在下图中图像下面的括号内. 解析 先区分幂指数的正负,若是正指数,再与1比较大小,若是负指数,再区分奇偶性,就可找到对应图像的函数.观察前三个图像,由于在第一象限内,函数值随x的增大而减小,则幂指数α应小于零.其中第一个函数图像关于原点对称,第二个函数图像关于y轴对称,而第三个函数的定义域为(0,+∞),所以第一个图像对应y=x-,第二个图像对应y=x-,第三个图像对应y=x-.后四个图像都通过(0,0)和(1,1)两点,故α>0.第四个图像关于y轴对称,第五个图像关于原点对称,定义域都是R,所以第四个图像对应y=x,第五个图像对应y=x.由最后两个图像知函数定义域为[0,+∞),而第六个图像呈上凸状,α应小于1,第七个图像呈下凸状,α应大于1,故第六个图像对应y=x,第七个图像对应y=x.所以按顺序分别填⑥④③②⑦①⑤. 答案 ⑥ ④ ③ ② ⑦ ① ⑤ 【训练2】 已知幂函数y=xn在第一象限内的图像如图所示,已知n取±2,±四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n的值依次为( ) A.-2,-,,2B.2,,-,-2 C.-,-2,2,D.,2,-2,- 解析 考查幂函数y=xα的指数α与图像的关系.①α>0时,当x>1时,指数大的图像在上方,当0 答案 B 要点三 抽象函数问题 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是高中数学中的一个难点,高考中经常出现关于抽象函数的试题.因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开.抽象函数问题一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性,或是求函数值、解析式等.主要处理方法是“赋值法”,通常是抓住函数特性,特别是定义域上恒等式,利用变量代换解题. 【例3】 函数f(x)对一切实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,试判断函数f(x)的单调性,并说明理由. 解 法一 设任意的x1,x2∈R,且x1 则x2-x1>0.由条件x>0时,f(x)>0, ∴f(x2-x1)>0. 又f(x1)-f(x2)=f(x1)-f((x2-x1)+x1) =f(x1)-f(x2-x1)-f(x1) =-f(x2-x1)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1) ∴函数f(x)为R上的增函数. 法二 设x1∈R,令x2=x1+a(a>0), 则x1 那么f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+a) =f(x1)-f(x1)-f(a)=-f(a). 又当a>0时,f(a)>0,∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1) 【训练3】 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}的一切实数,对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0. 求证: (1)f(x)是偶函数; (2)f(x)在(0,+∞)上是单调递增的. 证明 (1)令x1=x2=1,得f (1)=2f (1), ∴f (1)=0. 令x1=x2=-1,得f (1)=f[(-1)×(-1)] =f(-1)+f(-1), ∴f(-1)=0. ∴f(-x)=f[(-1)×x]=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数. (2)设0 则f(x2)-f(x1)=f-f(x1) =f(x1)+f-f(x1)=f. ∵x2>x1>0, ∴>1. ∴f>0,即f(x2)-f(x1)>0. ∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的. 考查方向 要点四 体现在函数中的数学思想 方向1 数形结合思想 函数的图像是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图像能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质,有助于图像正确的画出.函数图像广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点. 【例4-1】 对于任意x∈R,函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的较大者,则f(x)的最小值是______________ . 解析 首先应理解题意,“函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的较大者”是指对某个区间而言,函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中最大的一个. 如图,分别画出三个函数的图像,得到三个交点A(0,3),B(1,2),C(5,8). 从图像观察可得函数f(x)的表达式: f(x)= 答案 2 方向2 分类讨论思想 应用分类讨论思想解决问题的关键是确定分类的标准,从而使分类不重不漏. 解决该类问题的步骤: (1)确定分类讨论的对象,即对哪个参数进行讨论; (2)对所讨论的对象进行合理的分类; (3)逐个讨论;(4)归纳总结,即对各类情况进行归纳,得出结论. 【例4-2】 已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3在区间上的最大值为1,求实数a的值. 解 当a=0时,f(x)=-x-3, f(x)在上不能取得1,故a≠0. f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0)的图像的对称轴为直线x0=. ①令f=1,解得a=-, 此时函数f(x)的图像的对称轴为直线x0=-,-∈. 又因为a<0,f(x0)最大,所以f=1不符合题意.
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