重要的求极限的方法总结.docx
- 文档编号:25900192
- 上传时间:2023-06-16
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:89.14KB
重要的求极限的方法总结.docx
《重要的求极限的方法总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《重要的求极限的方法总结.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
重要的求极限的方法总结
一一些些求极限的基本方法(转)
Contents
这部分我不把函数和数列分开了,毕竟有着数列极限和函数极限的关系:
limf(x)=A⇔.∀|xn|→∞(n→∞)⇒limf(xn)=AΣ
1主部原则
即保留幂函数主部,也就是说x→∞时,最高次幂为主部,x→0时最低次幂为主部。
对于a,bƒ=0,n>ki,m>si有:
axn+Σpixki
x→0bxm+qixsi
i
x→0b
这两个式子的证明是容易的,只需用到化无穷小的小技巧。
举例说明:
lim
2x2+x
2
=lim
2x22
2=
x→∞3x−2
x→∞3x3
对于上下最高(最低)指数不相等的就更简单了,忽略之后必为0或无穷。
再举个例子:
m√x−1x=(1+t)mn
(1+t)n−1
nt+n(n−1)t2+···n
2
lim√====lim
=lim2=
x→1
nx−1
t→0(1+t)m−1
t→0mt+m(m−1)t2+···m
2初等性质
上面一条就是最常用的基本性质,(忽略某些0项)其他的还有:
(1)a
→a,b
→b⇒ka
→ka,ab
ana
→ab,→
nnn
1
nn
n
1
(2)an→0⇒a→∞,an→∞⇒a→0
(3)an→0,|bn| 1 0≤x−[x]<1,→0(x→+∞)⇒lim x−[x]=0 α<1时 xx→+∞x lim((n+1)α−nα)=limnαÅ(1+1)α−1ã≤limnαÅ(1+1)−1ã=0 有时将式子化无穷小是有益的,比如: 有时将式子化无穷小是有益的,比如: .»√…1+.1+»1 再者: Σpian+1 I=lim n→∞ 证明: 不妨设a1=max{ai},则 Σpian =max{ai} an+1Σpi ain+1a1 Ää In=n 1 Σpi ain→a1 a1 3分解因式和补充因子 对于limf(x)=0,limg(x)=0,怎样找到limf(x) x→a x→a x→ag(x) 对于f,g是多项式的情况,f,g必可因式分解,那么只需约去(x-a)项即可得到极限。 举例说明: lim x3+x2−2x−8 =lim (x2+3x+4)(x2)7 = 再者: x→2 x−4 x→2 (x+2)(x−2)2 lim x→2 (x2+3x+4)(x−2)2(x+2)(x−2) =lim x→2 (x2+3x+4)(x2) =0 (x+2) 经常碰到一些根式,可以用补充因子的方法处理: √2x+1−3√2x+1−3 √2x+1+3√x−2+√2 2x+1−9√x−2+√2 2√2 lim√√=lim√ √√√√ =lim √= x→4 x−2−2 x→4 x−2−2 x−2+2 2x+1+3 x→4 x−2−2 2x+1+33 所以记住一些典型因式分解是有意义的,例如: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) n−1 ab=(ab)ab−− k=0n−1 a+b=(a+b) (1)ab−−,n=2N+1 k=0 4等价无穷小代换及级数展开 根据等价无穷小的定义可以推出,只有在乘积情况下因子可以替换为等价无穷小,在加和情况 下不能使用。 常见的等价无穷小: sinx∼x∼tanx∼arcsinx∼arctanx 2 √1+x−1∼x 1−cosx∼2x 举例说明: lim m√x1 √n =lim x/mn = x→1 x−1 x→1x/nm 级数展开最常使用的就是切线近似,例如Bernoulli不等式,这是常用的工程近似: (1+x)n−1∼nx 另一个重要形式就是Taylor级数,形式如下: n(k) k! f(x)=Σf(a)(x−a)k+o((x−a)n) k=0 常配合第一条选择项数。 举例说明: x3 tanx−x x+x−x1 tanx=x++···⇒lim =lim3= 3x→0x3x→0x33 所以说记住常用的级数展开是有意义的,例如(x=0处展开): x3x5 sinx=x− ++ 6120 x2x4 cosx=1− 将无穷小符号写出有时是有好处的: Çå1 ++ 224 Åã1 1+ lim x→0 Å ex+e2x+···+enx n x =lim x→0 ã1 (ex−1)+···+(enx−1)x n Åã1 5重要极限和指对转化 重要极限确实很有普适,而且方便快捷,推荐遇到指数型或正弦时率先考虑这两个法则。 通过第二重要极限可以推出两个实用的结论: ax1 x→lna(x→0) g(x)A limf(x)→0,limf(x)g(x)→A⇒lim(1+f(x))=e 第二个结论避免了复杂的指数操作。 举例两个例子说明: 1 lim(2sinx+cosx)x=limexp Å2sinx+cosx−1ã =limexp Å2sinx+ cosx−1ã =lime 2=e2 x→0 x→0 xx→0 xxx→0 ∼− 这里运用了一个小结论limlnxx1 x→1 .ΣΣ1.Σ Σ1 =limexp x→0 1ni=1 x i=limexp xx→0 1ni=1 lnaiΣ n =nai i=1 关于普通的指对转化,也举个例子: limaxxa=limexp(xlna+alnx) x→∞x→∞ 6迫敛准则 x→∞ ∞a>1 (有张著名的“夹逼准则”的图片已经路人皆知,我就不拿出来了) 迫敛法的技巧性较高,变化也很丰富,我只展示几个: 证明: n an=√ k=1 1 n2+k→1 n 111nΣ1 √≤√√≤√≤1 再者: n2+nn2+k≤n⇒ n2+n k=1 n2+k An= 11+22++nn nn→1 证明: 1 n1+n2+···+nnnn 1 =nn< n−1 nn−1 还有一个常用的式子,也可通过迫敛法证明: aan+1√Aan 证明: 这里只证A>0情况,由调和平均-几何平均-代数平均不等式可知: n aa aa1+a2+···+an 举例说明这个结论的应用: nn! ≤ (n+1)! nn Ånãn1 lim n→∞ n=lim nn→∞(n+1) n+1n! =lim n→∞ = n+1e 再举一个: 若an为等差数列.则有: lim n√na1···an2 证明: 设: n→∞a1+···+ane nna1···an bn≡(a +···+an)n 1 b(n+1)aÅ(n+1)(a+···+a)ãn 2aÅ2a+(n−1)dãn2 7Stolz定理 此定理对于解决含有求和的极限十分好用,其形式如下: 对于递增正序列b aaa n+1−nn →+∞,且→A,则→A. n 举例说明: bn+1−bnbn Σn1 再举一个: n→∞ lnnn→∞ln(n+1)−lnn n→∞n+1ln(1+1)n n 设0 lim n→∞ n(1−nan)=1lnn 证明: 易知an单调递减,且an→0,则: 1 an+1 1 −an 1 =1 1−an 那么: 所以 1ΣÅ1 1ã 11 1 lim n(1−nan)=lim 1n(1−nan)=lim an−n n→∞ lnn n→∞nanlnn n→∞ lnn 11 nÄ1−1ä na 8单调有界判据 单调有界判据一般只能说明极限存在,求出极限则需要其他手段(例如不动点),我们之前涉及的几乎都是通项表达,而现在开始我们会遇到一些递归表达。 该判据有两个条件,即单调和有界,一般来说,单调较容易判断,而有界常需要用到不等式放 缩,数学归纳法等方法,技巧性较高。 首先我们回顾一下利用不动点求解递归方程: 若an+2=pan+1+qan,则求解x2=px+q得x1ƒ=x2(否则满足等差关系),那么an= xnC1+xnC2其他可解递归方程自行复习。 12 做一道简单题: a1 =√2,a2 =2+an ,则递增显然,另外 0 又因为若极限存在且为A,则A2=2+A,即A=2 再来一个通项表达的例子: 注意到1+x≤ex kY=0 1+1<∞ 2k k=0 1 exp 2k =exp∞ k=0 1 2k 例题1: 若an+1 − an 1 >−n2,|an | 收敛。 证明: 注意到 1111 an+1−an>−n2>−n(n−1)=−n−1+n 故{an−1/(n−1)}单调有界,所以an收敛。 an 例题2: 若A>0,a1≥1,an+1=A−1,则an收敛。 证明: i)注意到 a−a 11an−an−1 =−+= n+1n ana n−1 ana n−1 故单调性只取决于a2−a1,显然单调。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 重要 极限 方法 总结
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)