等时圆练习题.docx
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等时圆练习题
◇知识及方法◇
等时圆
Ⅰ、等时性的证明
设某一条弦与水平方向的夹角为,圆的直径为d(如右图)。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动,加速度为agsin,
位移为sdsin,所以运动时间为t0
2dsin
gsin
即沿各条弦运动具有等时性,运动时间与弦的倾角、长短无关。
Ⅱ、等时圆模型(如图所示)
图a图b
◇题型分类◇
一、应用等时圆求时间
1.伽利略的题目:
如图所示,试证明,质点从竖直平面内的圆环上的各个点沿弦的方向安装的斜面向滑到最低点D所用的时间都相等,都等于从最高点A自由下落到最低点D所用的时间,假设斜面与质点间无摩擦.
答案:
略
2.如图所示,半径分别为r和R的圆环竖直叠放(相切)于水平面上,一条公共斜弦过两圆切点且分别与两圆相交于a、b两点.在此弦上铺一条光滑轨道,且令一小球从b点以某
一初速度沿轨道向上抛出,设小球穿过切点时不受阻挡.若该小球恰好能上升到a点,则该小球从b点运动到a点所用时间为多少?
答案:
t
OA也是10cm。
杆的上端A
A点由静止开始沿钢绳无
〇自建等时圆
3.在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆,杆高到坡底B之间有钢绳,一穿心于钢绳上的物体(如图所示)从摩擦地滑下,求它在钢绳上滑行时间(g=10m/s2)
答案:
2s
解析:
如图13',把AO延长到C,使OC=OA=10c,m则点O到A、B、C三点的距离相等。
以O为圆心,OA为半径作圆,则B、C一定在该圆的圆周上,由结论可知,物体从A到B的时间与从A到C的时间相等,即
tABtAC2AC/g220/102s。
4.如图所示,在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝
AB滑至斜坡底部,又知OB=L。
求小环从A滑到B的时间。
答案:
t=2Lg
解析:
可以以O为圆心,以L为半径画一个圆。
根据“等时圆”的规律可知,从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间,所以
5.
倾角为300的长斜坡上有C、O、B三点,CO=OB=10m,在C点竖直地固定长10m的直杆AO。
A端与C点间和坡底B点间各连有光滑的钢绳,且各穿有钢球(视为质点),将两球从A点由静止开始,同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端,如图所示,则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为(取g=10m/s2)
B.
A.2s和2s
C.s和4s
s和2s
D.4s和s
答案:
A
6.(2011·江西重点中学模拟)如图(甲)是某景点的山坡滑道图片,线部分AE滑行的时间.技术人员通过测量绘制出如图竖直高度,行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动,
为了探究滑行者在滑道直(乙)所示的示意图.AC是滑道的D点是AC竖直线上的一点,且有AD=DE=10m,滑道AE可视为光滑,滑g取10m/s2,则滑行者在滑道
AE上滑行的时间为()
B.t1>t2>t3
D.t1=t2=t3
解析:
①设∠CAE=θ,则由牛顿第二定律得,滑行者的加速度为a=gcosθ;②由几何关系
得,AE=2ADcosθ;③由运动学公式得,AE=21at2,由以上两式代入数据解得t=2s,故B
正确.
、应用等时圆比较时间
7.如图所示,ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆,a、b、c、d位于同一圆周上,a点为圆周的最高点,d点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出),三个滑环分别从a、b、c处释放(初速为0),用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间,则()
A.t1 C.t3>t1>t2答案: D 解析: 选任一杆上的环为研究对象,受力分析并建立坐标如图2'所示,设圆半径为R,由 牛顿第二定律得: mgcosma① 再由几何关系,细杆长度L2Rcos② 12 设下滑时间为t,则L1at2③ 2 由以上三式得,t2R④ g 8.如图所示,位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切 于M点,与竖直墙相切于A点,竖直墙上另点B与M的连线和水平面的夹角为600,C是圆轨道的圆心D是圆轨道上与M靠得很近的点(MD远小于CD),已知在同时刻,a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点;c球由 C点自由下落到 M点; d球从 D点由静止出发沿圆轨道运动到 M 点则() A. a球最先到达 M点 B. b球最先到达 M点 C. c球最先到达 M点 D. d球最先到达 M点 答案: C 解析: 设圆轨道半径为 所以C正确。 9.圆O1和圆O2相切于点P,O1、O2的连线为一竖直线,如图4所示。 过点P有两条光滑的轨道AB、CD,两个小物体由静止开始分别沿AB、 CD下滑,下滑时间分别为t1、t2,则t1、t2的关系是() A.t1>t2 B.t1=t2 C.t1 D.无法判断答案: B解析: 因AB、CD处在两个“等时圆”上,所以正确答案为B。 〇自建等时圆 10.如图所示,底边为定长b的直角斜面中,球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端,至少 需要多少时间? 解析: 用作图求解。 如图12',以b为半径、O为圆心作一个圆,作出圆的一条竖直切线MN,于圆切于D点。 A点为所作圆的最低点。 由图可看出: 从MN上不同的点由静止滑到A点,以DA时间为最短。 (由“等时圆”可知,图中E/、D、C/各点到达A的时间相等。 )所以小球从底边b为定长的光滑直角斜面上滑下时以45°的时间为最少,而且此时间与球 11. 如图所示,在设计三角形的屋顶时,为了使雨水能尽快地从屋顶流下,并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。 试分析和解: 在屋顶宽度(2L)一定的条件下,屋顶的倾角应该多大? 雨水流下的最短时间是多少? A2B运动的 解析: 如图所示,通过屋顶作垂线AC与水平线BD相垂直;并以 L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切。 然后,画倾角不同 的屋顶A1B、A2B、A3B⋯ 从图4可以看出: 在不同倾角的屋顶中,只有A2B是圆的弦, 而其余均为圆的割线。 根据“等时圆”规律,雨水沿 时间最短,且最短时间为 12.如图所示,圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板a0、b0、.cO, 其下端都固定于底部圆心O,而上端则掴在仓库侧壁,三块滑块与水平面的夫角依谈为300、450、600。 若有三个小孩同时从a、b、c处 开始下滑(忽略阻力) ,则 () A、a处小孩最先到 O点 B、b处小孩最先到O点 C、c处小孩最先到 O点 D.ac处小孩同时到O点 答案: B 解析: 三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑,但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上,所 R1224R0 以下滑时间不一定相等。 设圆柱底面半径为R,则R=1gsinθt2,t2=4R,当θ=450cos2gsin2 时,t最小,当θ=300和600时,sin2θ的值相等。 13.如图所示,在圆锥形内部有三根固定的光滑细杆,A、B、C为圆锥底部同一圆周上的三 个点,三杆aA、bB、cC与水平底面的夹角分别为60°、45°、30°。 每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),三个滑环分别从a、b、c处由静止释放(忽略阻力),用t1、t2、t3依次 解析: 小环的加速度 a=gsinθ,位移s=,根据运动学公式 2 s=at2,则时间t= 将夹角的数值代入得t1=t3>t2,选项D正确。 14. ★两光滑斜面的高度都为h,甲、乙两斜面的总长度都为l,只是乙斜面由两部分组成,如图7所示,将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放,不计拐角处的能量损失,问哪一个球先到达斜面底端? 答案: 乙球 解析: 构想一辅助圆如图7'所示: 在AF上取一点O,使OA=OC,以O点为圆心,以OA为 机械能守恒定律可知: vCvE,vBvD,所以vBCvED。 又因为两斜面的总长度相等,s 所以sBCsDE,根据v得,tBCtED,所以有t甲t乙,即乙球先到达斜面底端。 t 三、应用等时圆求距离 15.如图所示,在同一竖直线上有A、B两点,相距为h,B点离地高度为H,现在要在地面上寻找一点P,使得A、B两点分别向P点安放的光滑木板,满足物体从静止开始分 答案: dH2Hh 别由A和B沿木板下滑道 OP。 解析: 由“等时圆”特征可知,当A、B处于等时圆周上,且P 点处于等时圆的最低点时,即能满足题设要求。 如图6'所示,此时等时圆的半径为: RO1PHh 12 所以 OP H(Hh) 四、等时圆的动态分析 16.如图1,通过空间任一点A可作无限多个斜面,若将若干个小物体从点倾角各不相同的光滑斜面同时滑下,那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是() A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定 答案: A 解析: 由“等时圆”可知,同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上,所以A正确。 17.★如图所示,AB是一倾角为θ的输送带,P处为原料输入口,为避免粉尘飞扬,在P 与AB输送带间建立一管道(假使光滑)管道与竖直方向的夹角应为多大? ,使原料从P处以最短的时间到达输送带上,则 答案: θ/2 解析: 借助“等时圆”,可以过P点的竖直线为半径作圆,要求该圆与输送带AB相切,如图所示,C为切点,O为圆心。 显然,沿着PC弦建立管道,原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。 因而,要使原料从P处到达输送带上所用时间最短,需沿着PC建立管道。 由几何关系可得: PC与竖直方向间的夹角等于θ/2。 18.★如图所示,Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆,O、 a、b、c四点位于同一圆周上,d点为圆周的最高点,c为最低点,每根杆上套着个小滑环(图中未画出),三个滑环都从图中O点无 初速释放,用tl、t2、t3分别表示滑到a、b、c所用的时间,则() A.tl=t2=t3 C.tl B.tl>t2>t3 D.t3>tl>t2 答案: B 解析: 过O点做cd的平行线,再做OA,OB,OC,的中垂线,找半径,比较半径的大小。 19.★如图所示,MA、MO、MD是竖直平面内三根固定的光滑细杆, A、B、C、D四点位于同一圆周上,A点为圆周的最高点,D为最低点,每根杆上套着个小滑环(图中未画出),三个滑环都从图中M点无初速释放,用tl、t2、t3分别表示滑到A、B、C所用的时间,则() A.tl=t2=t3 C.tl B.tl>t2>t3 D.t3>tl>t2 答案: B 五、“形似质异”问题的区分 20.还是如图10的圆周,如果各条轨道不光滑,它们的摩擦因数均为 μ,小滑环分别从a、 b、c处释放(初速为0)到达圆环底部的时间还等不等? 答案: 不相等 解析: bd的长为2Rcosθ,bd面上物体下滑的加速度为a=gcosθ-μgsinθ, tbd= 4Rcos gcosgsin =2 ggtan 。 可见t与θ有关。
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