数值分析作业三次样条插值.docx
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数值分析作业三次样条插值
数值分析作业-三次样条插值(总14页)
数值计算方法作业
实验名称
实验三次样条插值函数(P126)
三次样条插值函数的收敛性(P127)
实验时间
姓名
班级
学号
成绩
实验三次样条差值函数
实验目的:
掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。
实验函数:
x
F(x)
求f和f的近似值
实验内容:
(1)编程实现求三次样条插值函数的算法,分别考虑不同的边界条件;
(2)计算各插值节点的弯矩值;
(3)在同一坐标系中绘制函数f(x),插值多项式,三次样条插值多项式的曲线比较插值结果。
实验三次样条差值函数的收敛性
实验目的:
多项式插值不一定是收敛的,即插值的节点多,效果不一定好。
对三次样条插值函数如何呢?
理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的,通过本实验可以证明这一理论结果。
实验内容:
按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点,并不断增加插值节点的个数。
实验要求:
(1)随着节点个数的增加,比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况,分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较;
(2)三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。
作为工业应用的例子,考虑如下例子:
某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线,其中一段数据如下:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
算法描述:
拉格朗日插值:
其中
是拉格朗日基函数,其表达式为:
牛顿插值:
其中
三样条插值:
所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数,它在节点Xi(a 式中Mi= . 因此,只要确定了Mi的值,就确定了整个表达式,Mi的计算方法如下: 令 则Mi满足如下n-1个方程: 常用的边界条件有如下几类: (1)给定区间两端点的斜率m0,mn,即 (2)给定区间两端点的二阶导数M0,Mn,即 (3)假设y=f(x)是以b-a为周期的周期函数,则要求三次样条插值函数S(x)也为周期函数,对S(x)加上周期条件 对于第一类边界条件有 对于第二类边界条件有 其中 那么解就可以为 对于第三类边界条件, ,由此推得 ,其中 ,那么解就可以为: 程序代码: 1拉格朗日插值函数 functionf=lang(X,Y,xi) %X为已知数据的横坐标 %Y为已知数据的纵坐标 %xi插值点处的横坐标 %f求得的拉格朗日插值多项式的值 n=length(X); f=0; fori=1: n l=1; forj=1: i-1 l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j)); end; forj=i+1: n l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j)); end;%拉格朗日基函数 f=f+l*Y(i); end fprintf('%d\n',f) return 2牛顿插值函数 functionf=newton(X,Y,xi) %X为已知数据的横坐标 %Y为已知数据的纵坐标 %xi插值点处的横坐标 %f求得的拉格朗日插值多项式的值 n=length(X); newt=[X',Y']; %计算差商表 forj=2: n fori=n: -1: 1 ifi>=j Y(i)=(Y(i)-Y(i-1))/(X(i)-X(i-j+1)); elseY(i)=0; end end newt=[newt,Y']; end %计算牛顿插值 f=newt(1,2); fori=2: n z=1; fork=1: i-1 z=(xi-X(k))*z; end f=f+newt(i-1,i)*z; end fprintf('%d\n',f) return 3三次样条插值第一类边界条件 functionS=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi) %X为已知数据的横坐标 %Y为已知数据的纵坐标 %xi插值点处的横坐标 %S求得的三次样条插值函数的值 %dy0左端点处的一阶导数 %dyn右端点处的一阶导数 n=length(X)-1; d=zeros(n+1,1); h=zeros(1,n-1); f1=zeros(1,n-1); f2=zeros(1,n-2); fori=1: n%求函数的一阶差商 h(i)=X(i+1)-X(i); f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i); end fori=2: n%求函数的二阶差商 f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1)); d(i)=6*f2(i); end d (1)=6*(f1 (1)-dy0)/h (1); d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);%¸赋初值 A=zeros(n+1,n+1); B=zeros(1,n-1); C=zeros(1,n-1); fori=1: n-1 B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1)); C(i)=1-B(i); end A(1,2)=1; A(n+1,n)=1; fori=1: n+1 A(i,i)=2; end fori=2: n A(i,i-1)=B(i-1); A(i,i+1)=C(i-1); end M=A\d; symsx; fori=1: n Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))... +M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3); digits(4); Sx(i)=vpa(Sx(i));%三样条插值函数表达式 end fori=1: n disp('S(x)='); fprintf('%s(%d,%d)\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1)); end fori=1: n ifxi>=X(i)&&xi<=X(i+1) S=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(xi-X(i))^3; end end disp('xiS'); fprintf('%d,%d\n',xi,S); return 4三次样条插值第二类边界条件 function[Sx]=Threch2(X,Y,d2y0,d2yn,xi) X为已知数据的横坐标 %Y为已知数据的纵坐标 %xi插值点处的横坐标 %S求得的三次样条插值函数的值 %d2y0左端点处的二阶导数 %d2yn右端点处的二阶导数 n=length(X)-1; d=zeros(n+1,1); h=zeros(1,n-1); f1=zeros(1,n-1); f2=zeros(1,n-2); fori=1: n%求一阶差商 h(i)=X(i+1)-X(i); f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i); end fori=2: n%求二阶差商 f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1)); d(i)=6*f2(i); end d (1)=2*d2y0; d(n+1)=2*d2yn;%赋初值 A=zeros(n+1,n+1); B=zeros(1,n-1); C=zeros(1,n-1); fori=1: n-1 B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1)); C(i)=1-B(i); end A(1,2)=0; A(n+1,n)=0; fori=1: n+1 A(i,i)=2; end fori=2: n A(i,i-1)=B(i-1); A(i,i+1)=C(i-1); end M=A\d; symsx; fori=1: n Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))... +M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3); digits(4); Sx(i)=vpa(Sx(i)); end fori=1: n disp('S(x)='); fprintf('%s(%d,%d)\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1)); end fori=1: n ifxi>=X(i)&&xi<=X(i+1) S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(xi-X(i))^3; end end disp('xiS'); fprintf('%d,%d\n',xi,S); return 5插值节点处的插值结果 clear clc X=[,,,,]; Y=[,,,,]; xi=; %xi=; disp('xi='); %disp('xi='); disp('拉格朗日插值结果'); lang(X,Y,xi); disp('牛顿插值结果'); newton(X,Y,xi); disp('三次样条第一类边界条件插值结果'); Threch1(X,Y,,,xi);%,分别为两端点处的一阶导数 disp('三次样条第二类边界条件插值结果'); Threch2(X,Y,0,,xi);%0,分别为两端点处的二阶导数 6将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上 clear clc X=[,,,,]; Y=[,,,,]; a=linspace(0,,21); NUM=21; L=zeros(1,NUM); N=zeros(1,NUM); S=zeros(1,NUM); B=zeros(1,NUM); fori=1: NUM xi=a(i); L(i)=lang(X,Y,xi);%拉格朗日插值 N(i)=newton(X,Y,xi);%牛顿插值 B(i)=normcdf(xi,0,1);%原函数 S(i)=Threch1(X,Y,,,xi);%三次样条函数第一类边界条件 end plot(a,B,'--r'); holdon; plot(a,L,'b'); holdon; plot(a,N,'r'); holdon; plot(a,S,'r+'); holdon; legend('原函数','拉格朗日插值','牛顿插值','三次样条插值',2); holdoff 7增加插值节点观察误差变化 clear; clc; N=5; %第一问 Ini=zeros(1,1001); a=linspace(-1,1,1001); Ini=1./(1+25*a.^2); fori=1: 3%节点数量变化次数 N=2*N; t=linspace(-1,1,N+1);%插值节点 ft=1./(1+25*t.^2);%插值节点函数值 val=linspace(-1,1,101); forj=1: 101 L(j)=lang(t,ft,val(j)); S(j)=Threch1(t,ft,,,val(j));%三样条第一类边界条件插值 end plot(a,Ini,'k')%原函数图象 holdon plot(val,L,'r')%拉格朗日插值函数图像 holdon plot(val,S,'b')%三次样条插值函数图像 str=sprintf('插值节点为%d时的插值效果',N); title(str); legend('原函数','拉格朗日插值','三次样条插值');%显示图例 holdoff figure end 8车门曲线 clear clc X=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; Y=[,,,,,,,,,,]; dy0=; dyn=; n=length(X)-1; d=zeros(n+1,1); h=zeros(1,n-1); f1=zeros(1,n-1); f2=zeros(1,n-2); fori=1: nh(i)=X(i+1)-X(i); f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i); end fori=2: nf2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1)); d(i)=6*f2(i); end d (1)=6*(f1 (1)-dy0)/h (1); d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);A=zeros(n+1,n+1); B=zeros(1,n-1); C=zeros(1,n-1); fori=1: n-1 B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1)); C(i)=1-B(i); end A(1,2)=1; A(n+1,n)=1; fori=1: n+1 A(i,i)=2; end fori=2: n A(i,i-1)=B(i-1); A(i,i+1)=C(i-1); end M=A\d; x=zeros(1,n); S=zeros(1,n); fori=1: n x(i)=X(i)+; S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x(i)-X(i))+M(i)/2*(x(i)-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x(i)-X(i))^3; end plot(X,Y,'k');holdon; plot(x,S,'o'); title('三次样条插值效果图'); legend('已知插值节点','三次样条插值'); holdoff 实验结果: 1计算插值节点处的函数值 xi=时 Xi=时 2将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上 增加插值节点观察误差变化 从上面三张图可以看出增加插值节点并不能改善差之效果 车门曲线
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- 关 键 词:
- 数值 分析 作业 三次 样条插值