数学建模报告数学规划求解模型过程.docx
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数学建模报告数学规划求解模型过程
2012——2013学年第二学期
XX学院数理系
实验报告
课程名称:
数学模型
实验工程:
数学规划模型求解过程
实验类别:
综合性□设计性□验证性□
专业班级:
10级数学与应用数学〔1〕班
姓名:
汪勤学号:
**********
实验地点:
35#611
实验时间:
2013年4月25日
指导教师:
闫教师成绩:
一.实验目的:
了解线性规划的根本内容及求解的根本方法,学习MATLAB,LINDO,LINGO求解线性规划命令,掌握用数学软件包求解线性规划问题;了解非线性规划的根本内容,掌握数学软件包求解非线性规划问题。
二.实验内容:
1、加工奶制品的生产方案问题
一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品,1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求,生产的A1、A2能全部售出,且每公斤A1获利24元每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供给,每天正式工人总的劳动时间为480小时,并且设备甲每天至多能加工100公斤A1,设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产方案,使每天获利最大,并进一步讨论以下3个附加问题:
(1)假设用35元可以购置到1桶牛奶,应否作这项投资?
假设投资,每天最多购置多少桶牛奶?
(2)假设可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多是每小时几元?
(3)由于市场需求变化,每公斤A1的获利增加到30元,应否改变生产方案?
2、奶制品的生产销售方案问题
第1题给出的A1,A2两种奶制品的生产条件、利润及工厂的“资源〞限制全都不变。
为增加工厂的获利,开发了奶制品的深加工技术:
用2小时和3元加工费,可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1,也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2,每千克B1能获利44元,每千克B2能获利32元。
试为该厂制订一个生产销售方案,使每天的净利润最大,并讨论以下问题:
(1)假设投资30元可以增加供给1桶牛奶,投资3元可以增加1小时劳动时间,应否作这些投资?
假设每天投资150元可赚回多少?
(2)每公斤高级奶制品B1,B2的获利经常有10%的波动,对制订的生产销售方案有无影响?
假设每公斤B1的获利下降10%,方案应该变化吗?
(3)假设公司已经签订了每天销售10千克A1的合同并且必须满足,该合同对公司的利润有什么影响?
3、货机装运
某架货机有三个货舱:
前仓、中仓、后仓。
三个货舱所能装载的货物的最大质量和体积都有限制,如下列图所示。
并且为了保持飞机的平衡,三个货舱中实际装载货物的质量必须与其最大容许质量成比例。
前仓
中仓
后仓
质量限制/t
10
16
8
体积限制/
6800
8700
5300
现有四类货物供该货机本次飞行装运,其有关信息如下列图,最后一列指装运后所获得的利润。
质量/t
体积/
利润/
货物1
18
480
3100
货物2
15
650
3800
货物3
23
580
3500
货物4
12
390
2850
应如何安排装运,使该货机本次飞行获利最大?
4、原油采购与加工
问题:
某公司用两种原油〔A和B〕混合加工成两种汽油〔甲和乙〕。
甲、乙两种汽油含原油的最低比例分别为50%和60%,每吨售价分别为4800元和5600元。
该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨,还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。
原油A的市场价为:
购置量不超过500吨时的单价为10000元/吨;购置量超过500吨单不超过1000吨时,超过500吨的局部8000元/吨;购置量超过1000吨时,超过1000吨的局部6000元/吨。
该公司应如何安排原油的采购和加工?
模型a非线性规划模型
模型b线性规划模型
5、选课策略
问题:
某学校规定,运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。
这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下列图所示。
课程编号
课程名称
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学;运筹学
微积分;线性代数
4
数据构造
3
数学;计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学;运筹学
微积分;线性代数
6
计算机模拟
3
计算机;运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学;计算机
微积分;线性代数
模型a选课门数最少
模型b选课门数最少,学分最多
三.实验方案〔程序设计说明〕
第1题:
模型建立:
设每天用
桶牛奶生产A1,用
桶牛奶生产A2.设每天获利为
元.
桶牛奶可生产3
千克A1,获利24
3
,
桶牛奶可生产4
千克A2,获利16
4
,那么建立以下数学模型:
第2题:
模型建立:
设每天销售
千克A1,
千克A2,
千克B1,
千克B2,用
千克A1加工B1,
千克A2加工B2;设每天净利润为
,那么根据题意建立如下数学模型:
第3题:
模型建立:
用
表示第i种货物装入第j个货舱重量〔吨〕,货舱j=1,2,3分别表示前仓、中仓、后仓.Ci表示第i种货物所得的利润〔元/吨〕,Di表示第i种货物所占的空间。
决策目标Z是最大利润,建立以下数学模型:
约束条件包括以下四个方面:
(1)供装载的四种货物的总重量的约束,即
(2)三个货舱的重量限制,即
(3)三个货舱的空间限制,即
(4)三个货舱装入重量的平衡约束,即
第4题:
模型建立:
设原油A的购置量为
,根据题目所给数据,采购的支出
可表为
如下的分段线性函数〔以下价格以千元/t为单位〕:
模型a非线性规划模型
设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为
和
,原油B用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为
和
,那么总的收入为
.所以目标函数—利润为
约束条件包括加工两种汽油用的原油A、原油B库存量的限制,和原油A购置量的限制,以及两种汽油含原油A的比例限制,分别表示为
模型b线性规划模型
令
分别表示以10千元/t、8千元/t、6千元/t的价格采购原油A,那么新的数学模型如下:
第5题:
模型建立:
用
表示选修表2中按编号顺序的9门课程〔
表示不选;i=1,2….,9〕.问题的目标为选修的课程总数最少,即
模型a选课门数最少
根据题意建立以下数学模型:
模型b选课门数最少,学分最多
根据题意建立以下数学模型:
四.实验步骤或程序〔经调试后正确的源程序〕
第1题程序编写:
model:
max=72*x1+64*x2;
[milk]x1+x2<50;
[time]12*x1+8*x2<480;
[cpct]3*x1<100;
end
第2题程序编写:
model:
max=24*x1+16*x2+44*x3+32*x4-3*x5-3*x6;
4*x1+3*x2+4*x5+3*x6<600;
4*x1+2*x2+6*x5+4*x6<480;
x1+x5<100;
x3=0.8*x5;
x4=0.75*x6;
end
第3题程序编写:
model:
max=3100*(x11+x12+x13)+3800*(x21+x22+x23)+3500*(x31+x32+x33)+2850*(x41+x42+x43);
x11+x21+x31+x41<=10;
x12+x22+x32+x42<=16;
x13+x23+x33+x43<=8;
480*x11+650*x21+580*x31+390*x41<=6800;
480*x12+650*x22+580*x32+390*x42<=8700;
480*x13+650*x23+580*x33+390*x43<=5300;
(x11+x21+x31+x41)/10=(x12+x22+x32+x42)/16;
(x12+x22+x32+x42)/16=(x13+x23+x33+x43)/8;
x11+x12+x13<=18;
x21+x22+x23<=15;
x41+x42+x43+x43<=12;
end
第4题模型b程序编写:
model:
max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;
x-x1-x2-x3=0;
x11+x12-x<500;
x21+x22-x<1000;
0.5*x11-0.5*x21>0;
0.4*x12-0.6*x22>0;
x1-500*y1<0;
x2-500*y2<0;
x3-500*y3<0;
x1-500*y2>0;
x2-500*y3>0;
bin(y1);bin(y2);bin(y3);
End
第5题模型a程序编写:
model:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9;
x1+x2+x3+x4+x5>2;
x3+x5+x6+x8+x9>3;
x4+x6+x7+x9>2;
2*x3-x1-x2<0;
x4-x7<0;
2*x5-x1-x2<0;
x6-x7<0;
x8-x5<0;
2*x9-x1-x2<0;
end
bin(x1);bin(x2);bin(x3);bin(x4);bin(x5);bin(x6);bin(x7);bin(x8);bin(x9);
第5题模型b程序编写:
model:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9;
max=5*x1+4*x2+4*x3+3*x4+4*x5+3*x6+2*x7+2*x8+3*x9;
x1+x2+x3+x4+x5>2;
x3+x5+x6+x8+x9>3;
x4+x6+x7+x9>2;
2*x3-x1-x2<0;
x4-x7<0;
2*x5-x1-x2<0;
x6-x7<0;
x8-x5<0;
2*x9-x1-x2<0;
end
bin(x1);bin(x2);bin(x3);bin(x4);bin(x5);bin(x6);bin(x7);bin(x8);bin(x9);
五.程序运行结果
第1题运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3360.000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X120.000000.000000
X230.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13360.0001.000000
MILK0.00000048.00000
TIME0.0000002.000000
CPCT40.000000.000000
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X172.0000024.000008.000000
X264.000008.00000016.00000
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
MILK50.0000010.000006.666667
TIME480.000053.3333380.00000
CPCT100.0000INFINITY40.00000
所以这个线性规划的最优解为
〔即用20桶牛奶生产A1,30桶牛奶生产A2〕。
最大利润为3360元。
第2题运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3460.800
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X10.0000001.680000
X2168.00000.000000
X319.200000.000000
X40.0000000.000000
X524.000000.000000
X60.0000001.520000
RowSlackorSurplusDualPrice
13460.8001.000000
20.0000003.160000
30.0000003.260000
476.000000.000000
50.00000044.00000
60.00000032.00000
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X124.000001.680000INFINITY
X216.000008.1500002.100000
X344.0000019.750003.166667
X432.000002.026667INFINITY
X5-3.00000015.800002.533333
X6-3.0000001.520000INFINITY
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
2600.0000120.0000280.0000
3480.0000253.333380.00000
4100.0000INFINITY76.00000
50.0INFINITY19.20000
60.0INFINITY0.0
最优解为
,最优值为
。
第3题运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
121515.8
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
19
VariableValueReducedCost
X110.000000400.0000
X120.00000057.89474
X130.000000400.0000
X2110.000000.000000
X220.000000239.4737
X235.0000000.000000
X310.0000000.000000
X3212.947370.000000
X333.0000000.000000
X410.000000650.0000
X423.0526320.000000
X430.000000650.0000
RowSlackorSurplusDualPrice
1121515.81.000000
20.0000003500.000
30.0000001515.789
40.0000003500.000
5300.00000.000000
60.0000003.421053
7310.00000.000000
80.0000000.000000
90.0000000.000000
1018.000000.000000
110.000000300.0000
128.9473680.000000
结果为货物2装入前仓7t、装入后仓9t;货物3装入前仓3t、装入中仓13t;货物4装入中仓3t。
最大利润为121516元。
第4题模型b运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
7200.000
Objectivebound:
7200.000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X112000.0000.000000
X212000.0000.000000
X120.0000000.000000
X220.0000000.4000000
X1500.00000.000000
X2500.00000.000000
X3500.00000.000000
X1500.0000.000000
Y11.0000000.000000
Y21.000000-600.0000
Y31.000000-1800.000
RowSlackorSurplusDualPrice
17200.0001.000000
20.0000009.600000
30.0000009.600000
4500.00000.000000
50.000000-9.600000
60.000000-10.00000
70.0000000.000000
80.0000001.600000
90.0000003.600000
100.000000-0.4000000
110.0000000.000000
最优解是购置1000t原油A,与库存的500t原油A和1000t原油B一起,共生产2500t汽油乙,利润为5000000元,高于局部最优解对应的利润。
第5题模型a运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4.857143
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
7
VariableValueReducedCost
X11.1428570.000000
X20.0000000.000000
X30.57142860.000000
X40.0000000.7142857
X50.57142860.000000
X60.71428570.000000
X70.71428570.000000
X80.57142860.000000
X90.57142860.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
14.857143-1.000000
20.28571430.000000
30.000000-1.428571
40.000000-0.2857143
50.0000000.2142857
60.71428570.000000
70.0000000.4285714
80.0000000.7142857
90.0000000.4285714
100.0000000.3571429
结果为
其他变量为0。
对照课程编号,它们分别是微积分、线性代数、最优化方法、计算机模拟、计算机编程、数学实验,共6门课程,总学分为21。
第5题模型b运行结果:
VariableValue
X11.000000
X21.000000
X31.000000
X41.000000
X51.000000
X61.000000
X71.000000
X81.000000
X91.000000
RowSlackorSurplus
10.000000
21.000000
3-1.000000
4-1.000000
5-1.000000
61.000000
71.000000
81.000000
91.000000
101.000000
110.000000
六.实验总结
?
数学建模?
是大学阶段我们需要掌握的一门重要课程,在根据题意建模的过程中,需要多种数学软件辅助进展,本实验中运用了Matlab软件、LINGO软件以及MathType软件,以下对各个实验题目进展注释说明:
〔1〕第1题在产品利润、加工时间等参数均可设为常数的情况下,建立了线性规划模型。
线性规划模型的三要素是:
决策变量、目标函数和约束条件。
线性规划模型可以方便地使用LINGO软件求解,得到内容丰富的输出,而且利用其中的影子价格和灵敏度分析,可对模型结果作进一步的研究,它们对实际问题常常是十分有益的。
〔2〕与第1题相比,第2题多了两种产品B1、B2,它们的销售量与A1、A2的加工量之间存在一定的等式关系,虽然可以据此消掉2个变量,但是会增加人工计算,并使模型变得复杂。
因此,我们应尽可能的利用原始的数据信息,把尽量多的计算留给计算机去作。
〔3〕在第3题中,我们似乎可以把四种货物看成四个供给点,三个货舱看成三个需求点〔或者反过来〕。
但是,题中对供需量的限制包括两个方面:
质量限制和空间限制,且有装载平衡要求。
因此它只能看成是运输问题的一种变形和拓展。
〔4〕第4题的关键是处理分段线性函数,它可建立非线性规划模型和线性规划模型两种模型,由于一般的非线性规划软件也难以输入和求解,所以我们可以将问题化为整数规划模型来求解。
〔5〕在第5题中,用0-1变量表示选择策略是常用的方法,而在讨论多目标规划问题时,需先通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标函数。
优先考虑一个目标不过是这种方法的极端情况,而把一个目标作为约束条件,解另一个目标的规划模型,也是处理多目标规划的方法。
学生签名:
年月日
七.教师评语及成绩
教师签名:
年月日
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- 数学 建模 报告 规划 求解 模型 过程