三角形中做辅助线的技巧及典型例题.docx
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三角形中做辅助线的技巧及典型例题.docx
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三角形中做辅助线的技巧及典型例题
三角形中做辅助线的技
巧及典型例题
Documentnumber:
NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
三角形中做辅助线的技巧
口诀:
三角形
图中有角平分线,
可向两边作垂线。
也可将图对折看,
对称以后关系现。
角平分线平行线,
等腰三角形来添。
角平分线加垂线,
三线合一试试看O
线段垂直平分线,
常向两端把线连。
线段和差及倍半,
延长缩短可试验。
线段和差不等式,
移到同一三角去。
三角形中两中点,
连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
-X由角平分线想到的辅助线
口诀:
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行
线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
角平分线具有两条性质:
J对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。
1从角平分线上一点向两边作垂线;
2利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。
通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对
称图形。
至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件C.
与角有关的辅助线
(一)、截取构全等
如图1-1?
乙AOC二乙BOC,
DE、DF,则有△OED竺△OFD,
如取0E二OF,并
从而为我们证明
连接
线
AA
上的点,/FAE二/DAE。
求证:
AF二AD+CF。
已知:
如图2-7,在RtAABC中,rACB=90,CD丄AB,
D,AE平分乙CAB交CD于F,过F作FH,证:
BD二2CE。
分析:
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角
垂足为
的垂
形。
段、角相等创造了条件。
如图1-2,AB2AC2AC3CACO
3.已知:
如图2-5,ABAC=rCAD,AB>AD,CE
±AB,
丄
AE=2(AB+AD).求证:
乙D+/B二180。
4.已知:
如图2-6,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC
例3•已知:
如图3-3在Z\ABC中,ADSAE分别乙BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD,交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于
求证:
AH二ME。
3.已知CE、AD是AABC的角平分线,乙B二60。
,求证:
AOAE+CD
4•已知:
如图在AABC中,乙A二90。
,AB=AC,BD是/ABC的平分线,求证:
BC二AB+AD
二.由线段和差想到的辅助线
口诀:
线段和差及倍半,延长缩短可试验。
线段和差不等式,移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:
1、截长:
在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;
2、补短:
将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或
廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不
例1、已知如图1-1:
D、E为内两点,求
A
C
图1一2
等关系证明,如:
证:
AB+AOBD+DE+CE.
证明:
(法一)
将DE两边延长分别交AB、AC于M、X,
在ZkAMN中,AM+AN>MD+DE+NE;
(1)
在△BDM中,MB+MD>BD;
(2)
在ACEN中,CN+NE>CE;(3)
由⑴+⑵+⑶得:
AM+AN+MB+MD+CN+NE〉MD+DE+NE+BD+CE
AB+AOBD+DE+EC
(法二:
图1-2)
延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G,在ZXABF和Z\GFC和Z\GDE中有:
AB+AF〉BD+DG+GF(三角形两边之和大于第三边)…
(1)
F图2—1
GF+FOGE+CE(同上)
(2)
DG+GE>DE(同上)(3)
由⑴+⑵+⑶得:
AB+AF+GF+FC+DG+GE〉BD+DG+GF+GE+CE+DE
/.AB+AOBD+DE+ECo
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接
两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理:
例如:
如图2-1:
已知D为AABC内的任一点,求证:
乙BDC>乙BAC。
西:
因为乙BDC与/BAC不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅肋线构造新的三角形,使乙BDC处于在外角的位置,乙BAC处于在内角的位置;
证法一:
延长BD交AC于点E,这时/BDC是AEDC的外角’
/.ABDOZDEC,同理乙DEC>乙BAC,/.ZBDOZBAC
证法二:
连接AD,并廷长交BC于F,这时/BDF是AABD的
外角,.•.乙BDF>乙BAD,同理,ZCDF>ZCAD,/.ZBDF+
/CDF>乙BAD+/CAD,即:
ZBDC>ZBACO
注意:
利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。
有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如:
ZN乙3二
理证明,
厶2、
角形全等
例如:
如图3-1:
已知AD为AABC的中线,且小Z4,求证:
BE+CF〉EF。
殛:
要证BE+CF>EF,可利用三角形三边关系定
须把BE,CF,EF移到同一个三角形中,而由已知乙1二
厶3二厶4,可在角的两边截取相等的线段,利用三对应边相等,把EN,FN?
EF移到同个三角形中。
证明:
在DN上截取DN二DB,连接NE,NFt则DfDC,在ADBE和Z\NDE中:
DN二DB(辅助线作法)
乙1二厶2(已知)
ED二ED(公共边)
AADBE^ANDE(SAS)
・・・BE二NE(全等三角形对应边相等)
同理可得:
CF二NF
在AEFN中EN+FN>EF(三角形两边之和大于第三边)
・・・BE+CF>EF。
注意:
当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。
三、截长补短法作辅助线。
例如:
已知如图6-1:
在AABC中,AB>AC,P为AD上任一点
求证:
AB-AOPB-PC。
西:
要证:
AB-AOPB-PC,想到利用三角形三边关系,定理证之,因为欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再连接PN,则PC二PX,又在/XPyB中,PB-PN 即: AB-AC>PB-PCO 证明: (截长法) 在AB上截取AN二AC连接P\,在△AP\和△APC中 [AN二AC(辅肋线作法) [乙1二厶2(已知) AP二AP(公共边) /.AAPN^AAPC(SAS),「.PC二PN(全等三角形对应边相等) •.在ABPN中,有PB-PN BP-PC 证明: (补短法) 延长AC至M,使AM二AB,连接PM, 在ZkABP和ZXAMP中 (AB二AM(辅助线作法) 厶1二厶2(已知) AP二AP(公共边) /.AABP^AAMP(SAS) .•.PB二PH(全等三角形对应边相等) 又•••在APCM中有: CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) /.AB-AC>PB-PCO 例1.如图,AC平分乙BAD,CE丄AB,且ZB+ZD=180°,求证: AE=AD+BEO 例3已知: 如图,等腰三角形ABC中,AB二AC,Za二108。 ,BD平分ZABC。 求证: BC二AB+DC。 例4如图,已知RtAABC中,ZACB=90°fAD是乙CAB的平分线,DH丄AB于乩且AM二M 例: AABC中,AD是ABAC的平分线‘且BD二CD,求证AB二AC 方法1: 作DE丄AB于E,作DF丄AC于F,证明二次全等 方法2: 辅助线同上,利用面积 方法3: 倍长中线AD 方式2: 间接倍长 作CF丄AD于F, N, 作BE丄AD的延长线于E 方式1: 延长AD到E, 使DE=AD, 连接be 延长MD到 使DN二MD, 连接BE 连接CD 【经典例题】 例1: Z\ABC中,AB二5,AC二3,求中线AD的取值范围 提示: 画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边 例2: 已知在ZXABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF二EF, 求证: BD=CE 方法1: 过D作DG〃AE交BC于G,证明ADGF^ACEF 方法2: 过E作EG〃AB交BC的延长线于G,证明AEFG^ADFB 方法3: iiD作DG丄BC于G,过E作EH丄BC的延长线于H 证明ABDG^AECH 在BC DF二AC. 例3: 已知在AABC中,AD是BC边上的中线,E是AD F,求证: AF二EF 提示: 倍长AD至G,连接BG,证明ABDG^ACDA 三角形BEG是等腰三角形 例4: 已知: 如图,在AABC中,AB^AC,D、E 上,且DE二EC,过D作DF//B4交AE于点F, 求证: AE平分ABAC 提示: 方法1: 倍长AE至G,连结DG 方法2: 倍长FE至H,连结CH 例5: 已知CD二AB,ZBDA=ZBAD,AE是Z\ABD的中线,求证: ZC二乙BAE 提示: 倍长AE至F,连结DF 证明AABE^AFDE(SAS) 进而证明AADF竺AADC(SAS) 【融会贯通】 点F。 试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并乎明络溺買论、提示: 延长AE、DF交于G! 匕% 证明AB二GC、AF二GF 所以AB二AF+FC AB于E,DF 笔14题囹 2、如图,AD为AABC的中线,DE平分ZBD4交 平分ZADC交AC于F.求证: 提示: 方法1: 在DA上截取DG=BD,连结EG、FG 证明ABDE^AGDEADCF^ADGF 所以BE二EG、CF二FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2: 倍长ED至H,连结CH、FH 证明FH二EF、CH二BE C CMAB于汕AT平分BAC交示: 过T作T\丄AB于' 平分乙BAD各乙ADE,求 利用三角形两边之和大于第三边 3、已知: 如图,ABC中,C二90, CM于D,交BC于T,过D作DE提证明ABTN^AECD 1・如图,AB〃CD,AE、DE分别 证: AD二AB+CD。 CE 是过A的一条直线,且BC在AE的异侧, 四.由中点想到的辅助线 口诀: 三角形中两中点.连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质(直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题的方法。 (一)、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 £ 即如图1,AD是4ABC的中线,则Sg二w(因为AABD与AACD是等底同高的)。 例1・如图2,△ABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE二AD,DF是ADCE的中线。 已知AABC的而积为2,求: ACDF的面积。 解: 因为AD是AABC的中线,所以Sy二丄Sg二丄X2二1,又因CD是AACE的中线,故S®二S®二22 1, 因DF是ACDE的中线,所以SaccF-S®二丄XI二丄。 222 AACDF的而积为丄。 2 (二)、由中点应想到利用三角形的中位线 例2.如图3,在四边形ABCD中,AB二CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、Ho求证: ZBGE二ZCHE。 证明: 连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF, TME是ABCD的中位线, •••ME〃丄CD,/.ZMEF=ZCHE, =2 THF是△ABD的中位线, •••MF//-AB,•••ZMFE=ZBGE, =2 VAB=CDfAME=MF,化ZMEF二ZMFE, (三).由中线应想到延长中线 例3•图4,已知△ABC中,AB二5,AC二3,连BC上的中线AD二2,求BC的长。 解: 延长AD到E,使DE二AD,则AE二2AD二2X2二4。 在AACD和AEBD中, •••AD=ED,ZADC二ZEDB,CD二BD, AAACD^AEBD>r.AC二BE, 从而BE二AC二3。 在△ABE中,因AE: +BE: : =43+3: =25=AB\故ZE二90°, •: BD=J厨十话二肿十尹=J13>故BC二2BD二2J13。 BC边上的中线。 求 例4・如图5,已知4ABC中,AD是ZBAC的平分线,AD又是证: △ABC是等腰三角形。 证明: 延长AD到E,使DE二AD。 仿例3可证: △BED9ACAD, 故EB二AC,ZE=Z2, 又Z1=Z2> AZ1=ZE, •••AB二EB,从而AB二AC,即△ABC是等腰三角形。 (四)、直角三角形斜边中线的性质 (09崇文二模)以SABC的两边肋、M为腰分别向外作等腰RtAABD和等腰Rt MCE,ZBAD=ZCAE=90。 连接眩於、”分别是恭、必的中点•探究: 刖与眩的位置关系及数量关系• (1)如图当为直角三角形时,与加的位置关系是, 线段与加的数量关系是; (2)将图①中的等腰RtAABD绕点A沿逆时针方向旋转*(0〈&〈90)后,如图{②所示, (1)问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由• (二)、截长补短 1.如图,AA3C中AB二2AC,AD平分^AC且AD=BD,求证: C 丄AC 2: 如图,AC〃BD,EA,EB分别平分乙C E,求证;AB二AC+BD 3: 如图,已知在MBC内, AB,ZDBA,CD过 Q° 占 cZBAC=60* ZC=40°,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是ZBAC,ZABC的角平分线。 求 证: BQ+AQ二AB+BP 4: 如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分厶3C,求证: 人^+^C=18O(, (08海淀一模) 例题讲解: -X利用转化倍角,构造等腰三角形 当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时,我们就可以通过转化倍角寻找到等腰 三角形. 如图①中, 若ZABC=2" 如果作劭平分Z川咒则△宓是等腰三角形; 如图②中, 若乙ABC=2乙C、 如果延长线⑷到A使勿二別连结砂则△宓是等腰 三角形; 如果以。 为角的顶点,G为角的一边,在形外作乙ACD二 如图③中, 若ZB=2ZACB、 当一个三角形中出现角平分线和平行线时,我们就可以寻找到等腰三角形. 如图①中, 若血平分ABAC,AD//EC,贝^ACE是等腰三角形; 如图②中, 血平分ABAC,DE//AC,则△宓是等腰三角形; 如图③中, 血平分ABAC,CE//AB,则是等腰三角形; 长线于点点垂 CBDFC A 〃平份Z场GEF//AD.则必是等腰三角形. 如图④中, 3、如图,△ AB二AC、e 乍EFLBC、J 取点只过点 i°e 4、如图,A^BC中,肋平分ZSAQE、尸分别在励、AD、且DE空CD、EF二AC. 足为点宀 求证: EF//AB.E 三、利用角劎瓚+善线,构造筝 A B, A D 厂4 DBC 寸,我们就可以寻找到報三角形•如图1中, KI1 若AD平分ZBAC,AD丄DC,则厶址。 是等腰三角形. 5、如图2,已知等腰Rt△遊中,AB=AC 延长线于2求证: BF=2CD. 四: 其他方法总结 1.截长补短法 ZBAC=90°,疔平分ZABQCD丄BD交BF的 6、如图,已知: 正方形ABCD中,/BAC的平分线交BC于E, 求证: AB+BE二AC. 2.倍长中线法 题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内。 E 7、如图(7)AD^AABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE二EF.A 求证: AC=BF 时作等腰宜角三角 形,如图,求证EF二 3.平行线法(或平移 若题设中含有中点 F 8、已知AABC,AD是BC边上的中线‘分别以AB边、AC边为蚩兔 有时可作出斜边的中线.B 9、AABC中,ZBAC=60°,ZC=40°AP平分Z.BAC交BC于匕BQ平分乙ABC交AC于Q求 BP淡号决•医I (2) 证: AB+BP二BQ+AQ. 说明: ⑴本题也可以在AB截取AD二AQ,连0D, 构造全等三角形,即“截长补短法”• ①如图⑴,过0作0D〃BC交AC于D,则厶AD0竺 ⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下: 如图⑵,过0作DE〃BC交AB于D,交AC于E. 则△ADOMAAQO,△ABOMAAEO来解决• D ②如图(3),过P作PD〃BQ交AB的延长线于D,则厶APD空AAPC来豁 ④如图⑷,过F作PD〃BQ交AC于D,则厶ABP^AADP来解决. BpC 10、已知: 如图,在AABC中,/A的平分线AD交BC于D,且AB=AD,作掘丄超备严的延 长于M. 求证: AM二! (AB+AC) 2 巩固练习 M D C 1、(2009年浙江省绍兴市)如图,D£分别为△ABC的AC,3C边的中点,将此三角形 B.48° C.52° D.58° 2(2009柳州)如图所示,图中三角形的个数共有() A.1个B.2个C.3个D.4个 3、(2009宁夏)如图,△ABC的周长为32,且AB=AC,AD丄BC于D,△4CD的周长为 24,那么AD的长为 4、 (09年达州)长度为2cms3cm、4cm、3cm的四条线段,从中任取三条线段能组成三角形的概率是 5、 如图,在△磁中,肋丄兀于2且AABC=2AC.证: CD二A&rBD. 6、 E 磁中,ABAC.的孚0,过点0作DE//AC,分别交M、 AB 誘殳肋、CE、眩的数齧关系,并说明你的猜想理由. 如割 处才但J2一旦试猜 沿DE折叠,使点C落在朋边上的点P处•若ZCDE=48\则ZAPD等于() 7、(2009年长沙)如图‘E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,BE//DF、求证: AF=CE. 8、AD为AABC的中线,求证: AB+ AC>2ADO 9、已知D为ZXABC内的任一点,求证: Z.BDC〉乙BAC。 (1)连接G2 求证: 卜ADZ'ABE; (2)连接尸C 观察并猜测厶FCN的度数并说明理由; (3)如图 (2) 将图⑴中正方形月砲改为矩形月氏"Ag BBb(纸b为常 10、(2009年宁德市)如图⑴,已知正方形月砲在直线妣V的上方,虑在直线MV上,F是%上一点,以月尸为边在直线・,作正方形AEFG. 数),疋是线段虑上一动点(不含端点50,以月尸为边在直线航V的上方作矩形M曰E 厶FCN的大小是否总保持变 使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点尸由万向。 运动时, 畝电知工如图10在四边形 N宓9中,BC>ABy 作底边上的高,利 维模式是全等变换 071 AD^DQ功平分Z^ABCO 求证: 厶BA1片厶 2、已知,如图2. 乙1二乙2,尸为朋•上一点,且刃丄庞于点0ARrBO2BD° 求证: 厶BA片厶 3、已知,如图3,在△月恭中,Zr=2Z5.Zl=Z2O求证: A&^AGCD。
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