完整版北师大数学七年级第三章《整式及其加减》全章复习与巩固基础.docx
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完整版北师大数学七年级第三章《整式及其加减》全章复习与巩固基础
《整式及其加减》全章复习与巩固(基础)知识讲解
【学习目标】
1、进一步理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示.
2、理解代数式的含义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,体会数学与世界的联系.
3、会求代数式的值,能解释值的实际意义,能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
4.理解并掌握单项式与多项式的相关概念;
5.理解整式加减的基础是去括号和合并同类项,并会用整式的加减运算法则,熟练进行整式的加减运算、求值;
6.深刻体会本章体现的主要的数学思想整体思想.
【知识网络】
【要点梳理】要点一、代数式
诸如:
16n,2a+3b,34,n,(a+b)2等式子,它们都是用运算符号
2
(+、-、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的,像这样的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母也是代数式.
要点诠释:
代数式的书写规范:
(1)字母与数字或字母与字母相乘时,通常把乘号写成“·”或省略不写;
(2)除法运算一般以分数的形式表示;
(3)字母与数字相乘时,通常把数字写在字母的前面;
(4)字母前面的数字是分数的,如果既能写成带分数又能写成假分数,一般写成假分数的形式;
(5)如果字母前面的数字是1,通常省略不写.
要点二、整式的相关概念
1.单项式:
由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.
要点诠释:
(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数.
(2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.
2.多项式:
几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.
要点诠释:
(1)在多项式中,不含字母的项叫做常数项.
(2)多项式中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.
(3)多项式的次数是n次,有m个单项式,我们就把这个多项式称为n次m项式.
3.多项式的降幂与升幂排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.另外,把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列.
要点诠释:
(1)利用加法交换律重新排列时,各项应带着它的符号一起移动位置;
(2)含有多个字母时,只按给定的字母进行降幂或升幂排列.
4.整式:
单项式和多项式统称为整式.
要点三、整式的加减
1.同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.
要点诠释:
辨别同类项要把准“两相同,两无关”:
(1)“两相同”是指:
①所含字母相同;②相同字母的指数相同;
(2)“两无关”是指:
①与系数无关;②与字母的排列顺序无关.
2.合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
要点诠释:
合并同类项时,只是系数相加减,所得结果作为系数,字母及字母的指数保持不变.
3.去括号法则:
括号前面是“+”,把括号和它前面的“+”去掉后,原括号里各项的符号都不改变;括号前面是“-”,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变.
4.添括号法则:
添括号后,括号前面是“+”,括号内各项的符号都不改变;添括号后,括号前面是“-”,括号内各项的符号都要改变.
5.整式的加减运算法则:
几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加、减号连接,然后去括号,合并同类项.
要点四、探索与表达规律
寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律,再用字母表示,最后加以验证.
【典型例题】类型一、代数式
1.(2016春•滨海县校级月考)做大小两个纸盒,尺规如下(单位:
cm)
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
3a
2b
2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米?
(结果用含a、b、c的代数式表示)
(2)做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米?
(结果用含a、b、c的代数式表示)
【思路点拨】
(1)根据长方体表面积计算公式计算出两个长方体表面积,再相加化简可得;
(2)根据长方体体积计算方法计算出两个长方体体积相减,化简可得.
【答案与解析】
解:
(1)根据题意,做两个纸盒需用料2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac,答:
做这两个纸盒共用料(14ab+10bc+14ac)平方厘米.
(2)根据表格中数据可知,大纸盒比小纸盒的容积大3a×2b×2c﹣abc=11abc,答:
做成的大纸盒比小纸盒的容积大11abc立方厘米.
【总结升华】本题主要考查根据实际问题列代数式的能力,准确表示出各部分的面积或体积是关键.
举一反三:
2a-b
【变式】
a+b
的意义是()
A.a与b差的2倍除以a与b的和
B.a的2倍与b的差除以a与b和的商
C.a的2倍与b的差除a与b的和
D.a与b的2倍的差除以a与b和的商
【答案】B
类型二、整式的相关概念
2.指出下列各式中的整式、单项式和多项式,是单项式的请指出系数和次数,是多项式的请说出是几次几项式.
(1)a-3
1(a+b)h
2
(2)5(3)-b
a
(4)-y
2
x
(5)3xy(6)
p
(7)
m+n
5
(8)1+a%(9)
【答案与解析】
解:
整式:
(1)、
(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)单项式:
(2)、(5)、(6),其中:
5的系数是5,次数是0;3xy的系数是3,次数是2;
多项式:
(1)、(4)、(7)、(8)、(9),其中:
x
的系数是
p
1,次数是1.
a-3是一次二项式;x
2
-
y是一次二项式;
m+n
5
是一次二项式;1+a%是一次二项式;
1(a+b)h是二次二项式.
2
2
【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式,故
a
x
-b不是整式;②π是常数而不是
字母,故
是整式,也是单项式;③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系,而单
p
项式中不能有加减.如
举一反三:
m+n
5
其实质为
m+n,
55
1(a+b)h其实质为
2
1ah+1
22
bh.
【变式1】
(1)-xy3的次数与系数的和是;
(2)已知单项式6x2y的系数是等于单项式-2xmy5的次数,则m=;(3)若manb是关于a、b的一个五次单项式,且系数为9,则-m+n=.
【答案】
(1)3
(2)1(3)-5
【变式2】多项式2y4-y3+3y2-y+1是次项式,常数项是
,三次项是.
【答案】四,五,1,
-y3
【变式3】把多项式1-3x-2x3+5x2按x的降幂排列是.
【答案】-2x3+5x2-3x+1
类型三、整式的加减运算
3.(2015•遵义)如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项,那么(a﹣b)2015=
.
【答案】1.
【解析】
解:
由同类项的定义可知a﹣2=1,解得a=3,b+1=3,解得b=2,
所以(a﹣b)2015=1.
【总结升华】考查了同类项,要求代数式的值,首先要求出代数式中的字母的值,然后代入求解即可.
举一反三:
【变式】若7xay4与-7x5yb是同类项,则a=
9
,b=.
【答案】5,4
4.计算
【答案与解析】
3x2-2(1-2x)-[5x2-(4x2-3x+6)]
解法1:
3x2-2(1-2x)-[5x2-(4x2-3x+6)]
=3x2-2+4x-(5x2-4x2+3x-6)
=3x2+4x-2-x2-3x+6
=2x2+x+4
解法2:
3x2-2(1-2x)-[5x2-(4x2-3x+6)]
=3x2-2+4x-5x2+(4x2-3x+6)
=-2x2+4x-2+4x2-3x+6
=2x2+x+4
【总结升华】根据多重括号的去括号法则,可由里向外,也可由外向里逐层推进,在计算过程中要注意符号的变化.若括号前是“-”号,在去括号时,括号里各项都应变号,若括号前有数字因数,应把数字因数乘到括号里,再去括号.
举一反三:
【变式1】下列式子中去括号错误的是().
A.5x-(x-2y+5z)=5x-x+2y-5zB.2a2+(-3a-b)-(3c-2d)=2a2-3a-b-3c+2dC.3x2-3(x+6)=3x2-3x-6D.-(x-2y)-(-x2+y2)=-x+2y+x2-y2
【答案】C
【变式2】化简:
-2a+(2a-1)的结果是().A.-4a-1B.4a-1C.1D.-1
【答案】D
类型四、化简求值
5.
(1)直接化简代入
已知x=1,y=-1,求5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)的值.
2
(2)条件求值
(烟台)若3xm+5y2与x3yn的和是单项式,则mn=.
(3)整体代入
已知x2-2y=1,那么2x2-4y+3=.
【答案与解析】
解:
(1)5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)
=10x2y-15x-8x+6x2y
=16x2y-23x
当x=,y=-1时,
2
⎛1⎫2
12331
原式=16⨯ç⎪
⎝⎭
⨯(-1)-23⨯=-4-
22
=-.
2
(2)由题意知:
3xm+5y2和x3yn是同类项,所以m+5=3,n=2,解得,m=-2,n=2,所以mn=(-2)2=4.
(3)因为2x2-4y+3=2(x2-2y)+3,而x2-2y=1
所以2x2-4y+3=2⨯1+3=5.
【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简,然后找到化简结果与已知条件之间的联系.
举一反三:
【变式1】(2015•娄底)已知a2+2a=1,则代数式2a2+4a﹣1的值为()
A.0B.1C.﹣1D.﹣2
【答案】B
【变式2】已知-m+2n=5,求5(m-2n)2+6n-3m-60的值.
【答案】5(m-2n)2+6n-3m-60=5(m-2n)2+3(2n-m)-60
-m+2n=2n-m=5
所以,原式=5⨯52+3⨯5-60=80.
类型五、探索与表达规律
6.将一张长方形的纸对折,如下图所示可得到一条折痕(图中虚线).继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到条折痕.如果对折n次,可以得到条折痕.
【思路点拨】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍,折痕比所分成的部分数少1,求出第4次的折痕即可;
再根据对折规律求出对折n次得到的部分数,然后减1即可得到折痕条数.
【答案】15,2n-1
【解析】
解:
由图可知,第1次对折,把纸分成2部分,1条折痕,第2次对折,把纸分成4部分,3条折痕,
第3次对折,把纸分成8部分,7条折痕,
所以,第4次对折,把纸分成16部分,15条折痕,
…,
依此类推,第n次对折,把纸分成2n部分,2n-1条折痕.故答案为:
15;2n-1.
【总结升华】本题是对图形变化规律的考查,观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键.
类型六、综合应用
7.已知多项式(2mx2-x2+3x+1)-(5x2-4y2+3x)是否存在m,使此多项式与x无关?
若不存在,说明理由;若存在,求出m的值.
【答案与解析】
解:
原式=(2m-1-5)x2+(3-3)x+4y2+1
=(2m-6)x2+4y2+1
要使原式与x无关,则需该项的系数为0,即有2m-6=0,所以m=3
答:
存在m使此多项式与x无关,此时m的值为3.
【总结升华】一个多项式不含某项或说与某项无关,都是暗含此多项式中该项的系数为0.
【巩固练习】
一、选择题
1.(2016•富顺县校级模拟)在-3,π
式中,是单项式的个数()
2-1,-2x-2,-1x2y,-
p
a-1
,-六个代数
2
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.(2015•厦门)已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是()
A.﹣2xy2B.3x2C.2xy3D.2x3
1
3.
有下列式子:
2
x+yz,b
2
,3x2
-2x-3,abc,0,y
x
,x,
a+bab
,对于这些式
子下列结论正确的是().
A.有4个单项式,2个多项式
B.有5个单项式,3个多项式
C.有7个整式
D.有3个单项式,2个多项式
4.对于式子-1.2⨯104x2y,下列说法正确的是().A.不是单项式
B.是单项式,系数为-1.2×10,次数是7
C.是单项式,系数为-1.2×104,次数是3
D.是单项式,系数为-1.2,次数是35.下面计算正确的是()
A.3x2-x2=3B.3a2+2a3=5a5
1
C.3+x=3xD.-0.25ab+ba=0
4
6.2a-(5b-c+3d-e)=2a□5b□c□3d□e,方格内所填的符号依次是().A.+,-,+,-B.-,-,+,-
C.-,+,-,+D.-,+,-,-
7.某工厂现有工人a人,若现有工人数比两年前减少了35%,则该工厂两年前工人数为(
).
a
A.
1+35%
B.(1+35%)aC.
a
1-35%
D.(1-35%)a
8.若2y2+3y+7的值为8,则4y2+6y-9的值是().A.2B.-17C.-7D.7
二、填空题
9.比x的15%大2的数是.
10.(2015•中江)单项式﹣x2y5的次数是.
2
11.-+3x2
2
+
7是次项式,最高次项的系数是.
12.化简:
2a-(2a-1)=.
13.如果a2+ab=4,ab+b2=-1,那么a2-b2=.
14.一个多项式减去3x等于5x2-3x-5,则这个多项式为.
15.(2016春•永春县校级月考)若
与﹣3ab3-n的和为单项式,则m+n=
.
16.如图所示,外圆半径是R厘米,内圆半径是r厘米,四个小圆的半径都是2厘米,则图中阴影部分的面积是平方厘米.
三、解答题
17.(2014秋•镇江校级期末)合并同类项
①3a﹣2b﹣5a+2b
②(2m+3n﹣5)﹣(2m﹣n﹣5)
③2(x2y+3xy2)﹣3(2xy2﹣4x2y)
18.已知:
A=2x2+6x-3,B=1-3x-x2,C=4x2-5x-1,当x=-3时,求代数
2
式A-3B+2C的值.
19.计算下式的值:
(2x4-4x3y-2x2y2)-(x4-2x2y2+y3)+(-x4+4x3y-y3)
x=1,y=-1,甲同学把x=1错抄成x=-1,但他计算的结果也是正确的,你能说
444
明其中的原因吗?
20.某农场有耕地1000亩,种粮食、棉花和蔬菜.其中蔬菜用地a亩,粮食用地比蔬菜用地的6倍还多b亩,求棉花用地多少亩?
当a=120,b=4时,棉花用地多少亩?
【答案与解析】一、选择题
1.【答案】A
【解析】解:
﹣3,﹣x2y是单项式.注意-2x-2是分式,
-
是根式.故选:
A.
2.【答案】D.
【解析】此题规定了单项式的系数和次数,但没规定单项式中含几个字母.
A、﹣2xy2系数是﹣2,错误;B、3x2系数是3,错误;C、2xy3次数是4,错
误;
D、2x3符合系数是2,次数是3,正确;故选D.
3.【答案】A
【解析】单项式有b,abc,0,x;多项式有1x+yz,3x2-2x-3,其中y,
a+bab
22x
不是整式.
4.【答案】C
【解析】此单项式的系数是以科学记数法形式出现的数,所以系数为-1.2×104,次数应为x与y的指数之和,不包括10的指数4,故次数为3.不要犯“见指数就相加”的错误.所以正确答案为C.
5.【答案】D6.【答案】C
【解析】因为括号前是“-”号,所以去括号时,括号里各项都变号,故选C.
7.【答案】C
【解析】把减少前的工人数看作整体“1”,已知一个数的(1-35%)是a,求这个数,则
a
是
8.【答案】C
1-35%
,注意列式时不能用“÷”号,要写成分数形式.
【解析】2y2+3y+7=8,2y2+3y=1,4y2+6y=2(2y2+3y)=2⨯1=2,故
4y2+6y-9=-7.
二、填空题
9.【答案】15%x+2;
10.【答案】7.
11.【答案】三,三,
-1;
2
【解析】多项式的次数取决于次数最高项的次数,确定系数时不要忽视前面的“-”号.
12.【答案】1;
【解析】先根据去括号法则去括号,然后合并同类项即可,2a-(2a-1)=2a-2a+1=1.
13.【答案】5;
【解析】用前式减去后式可得a2-b2=5.
14.【答案】5x2-5;
【解析】要求的多项式实际上是(5x2-3x-5)+3x,化简可得出结果.
15.【答案】4;
【解析】解:
∵
与﹣3ab3-n的和为单项式,
∴2m﹣5=1,n+1=3﹣n,
解得:
m=3,n=1.故m+n=4.
故答案为:
4.
16.【答案】(R2-r2-16);
【解析】阴影部分的面积=大圆面积-最中间的圆的面积-4个小圆的面积.
三、解答题
17.【解析】
解:
(1)原式=(3a﹣5a)+(﹣2b+2b)=﹣2a;
(2)原式=2m+3n﹣5﹣2m+n+5=(2m﹣2m)+(3n+n)+(﹣5+5)=4n;
(3)原式=2x2y+6xy2﹣6xy2+12x2y=(2x2y+12x2y)+(6xy2﹣6xy2)=14x2y.
18.【解析】
⎧A=2x2+6x-3,
⎪2
解:
∵⎨B=-x-3x+1,
⎪C=4x2-5x-1.
⎧A=2x2+6x-3,
∴⎪-3B=3x2+9x-3,
⎪2C=8x2-10x-2.
⎩
∴A-3B+2C=13x2+5x-8
当x=-时,
2
A-3B+2C=13⨯(-3)2+5⨯(-3)-8=13⨯9-15-8=117-30-8=133.
2242444
19.【解析】
解:
(2x4-4x3y-2x2y2)-(x4-2x2y2+y3)+(-x4+4x3y-y3)
2x4-4x3y-2x2y2-x4
-2y3
2x2y2
y3-x4+4x3y-y3
∵化简结果与x无关
∴将x抄错不影响最终结果.
20.【解析】
解:
棉花用地:
1000-a-(6a+b)=(1000-7a-b)亩.当a=120,b=4时,原式=1000-7×120-4
=156(亩).
答:
棉花用地(1000-7a-b)亩.当a=120,b=4时,棉花用地为156亩.
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- 整式及其加减 完整版 北师大 数学 年级 第三 整式 及其 加减 复习 巩固 基础