椭圆离心率问题.docx
- 文档编号:25895039
- 上传时间:2023-06-16
- 格式:DOCX
- 页数:45
- 大小:215.16KB
椭圆离心率问题.docx
《椭圆离心率问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《椭圆离心率问题.docx(45页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
椭圆离心率问题
、椭圆离心率的1、运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目如图,0为椭圆的中心,F为焦点,A为顶点,准线L交0A于B,P、Q在椭圆上,PD丄L于D,QFLAD于F,设椭圆的离心率为e,则①e=|②e=|Q;|③e=yAOp④e=||
评:
AQP为椭圆上的点,根据椭圆的第二定义得,①②④
2
a
IAO|=a,|OF|=c,有⑤;T丨AO|=a,|BO|=—有③。
c
22
xy
题目1:
椭圆h+—=1(a>b>0)的两焦点为Rab
的两边,则椭圆的离心率e
F2,以FF2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形
思路:
A点在椭圆外,找a、b、c的关系应借助椭圆,所以取AF2的中点B,连接BFi,把已知条件放在椭
圆内,构造△FiBE分析三角形的各边长及关系。
解:
丁|F1F2|=2c|BF|=c|BE|活c
c+3c=2a
22
Xy
变形1:
椭圆h+—=1(a>b>0)的两焦点为Fi、F2,点P在椭圆上,使△OPF为正三角形,求椭圆离
ab
心率
解:
连接PF2,则I0F2|=|OF|=|OP|,/FiPR=90°图形如上图,e^3-1
22
Xy
变形2:
椭圆尹+話=1(日比>0)的两焦点为Fi、F2,AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PFi丄X轴,
PE//AB,求椭圆离心率
解:
v|PF
F2Fi|=2c|OB|=b|OA|=a
PH//AB
IPF1|
IF2F1|a
又•/b=a2-c2
•2厂2
••a=5ce=
点评:
以上题目,构造焦点三角形,通过各边的几何意义及关系,推导有关a与c的方程式,推导离心率
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形
22
Xy
题目2:
椭圆p+—=1(a>b>0),A是左顶点,F是右焦点,B是短轴的一个顶点,/ABF=90°,求e
ab
解:
a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2
e2+e-1=0e=
2
x
变形:
椭圆r
a
+j=1(a>b>0),e=-1+25
A是左顶点,
F是右焦点,B是短轴的一个顶点,求/ABF
点评:
此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边,由余弦定理解决角的问题。
答案:
90引申:
此类e=鳥二的椭圆为优美椭圆
性质:
1、/ABF=902、假设下端点为Bi,则ABFB四点共圆。
3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结:
焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义,找各边的表示,结合解斜三角形公式,列出有关e的方程式。
22
xy
题目3:
椭圆十+L=1(a>b>0),过左焦点Fi且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点,若丨FiA|=2|
ab
BF|,求e
解:
设|BF|=m贝U|AF>|=2a-am
在厶AFF2及厶BF1F2中,由余弦定理得:
|BF>|=2a-ma2-c2=m(2a-c)
2(a2-c2)=m(2a+c)
:
2a-c
两式相除亦T
2
e=3
题目4:
椭圆
22
Xy
+b—=1(a>b>0)的两焦点为
Fi
(-c,0)、F2(c,0)
P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的
一个交点,且
/PF1F2=5/PF.Fi,求e
分析:
此题有角的值,可以考虑正弦定理的应用
解:
由正弦定理:
|FiF2|
|FiP|
|PF2|
sinFiPH=
sinFiF2P
=sinPFiF2
根据和比性质:
|FiF2|
1FiP|+|PE|
sinFiPF?
-sinFiFzP+sinPFiF?
变形得:
|FiF2|sinFiPF?
|PH|+|FiP|=sinFiF2P+sinPF尸2
2c
=2a
=e
/PFiF2=75°/PFzFi=i5°
sin90°
e=sin75°+sini5°
点评:
在焦点三角形中,使用第一定义和正弦定理可知
sinFiPF2
e=
sinFHP+sinPF丘
22
Xy
变形i:
椭圆一厂+±L=i(a>b>0)的两焦点为Fi(-c,0)、F2(c,0)
ab
P是椭圆上一点,且/FiPF2=60°,
求e的取值范围
分析:
上题公式直接应用。
解:
设/FiF2P=a,则/F2FiP=i20°-a
sinF1PF2
e=
sinF1F2P+sinPF1F2
sin60°
sina+sin(120°-a)
1
2sin(a+30°
变形2:
已知椭圆
2
x
+
4
2y4T
=1(t>0)F1F2为椭圆两焦点,
M为椭圆上任意一点(M不与长轴两端点重合)
设/PF1F2=a,
/PF2F1=3若'an令 e的取值范围 分析: 运用三角函数的公式,把正弦化正切。 解;根据上题结论 e=sin~F sinF辟 sin(a+3) 1F2P+sinPF1F2sina+sin3 2sina+3cosa+3 2sincos- 22 a+3a-3 2cos— 2sin a coscos 3. )s-sin 2 —+sin a.3 亍忙 a.3 ―sin— 1-tan a ytan =e 1-tan a3 tan— 22 11-e111 t一 31+e232 三、以直线与椭圆的位置关系为背景,用设而不求的方法找e所符合的关系式. x2y2TTT 题目5: 椭圆尹+^L=1(a>b>0),斜率为1,且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,0你0有a=(3,-1) 共线,求 法一: 设A(X1,y1),B(x2,y2) 222222 bx+ay=ab y=x-c (a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 2a2c2a2c-2b2c x’+X2=~72y1+y2=~2c=~2~r? a+ba+ba+b OAOB=(X1+X2,y刊2)与(3,-1)共线,则 -(X1+X2)=3(yi+y2)既a2=3b2e= 法二: 设 AB的中点 2 2 Xi y ① 孑+ b2 =1 2 2 X2 孑+ y2 -=1 ② yi-y2 b2 X1+X2 X1-X2 a2 y1+y2 贝U2ONtOA+OB 四、 6 /.1=-角(-3)既a2=3b2 ①-②得: 由图形中暗含的不等关系,求离心率的取值范围。 22 Xy->-> 题目6: 椭圆訂+*L=l(a>b>0)的两焦点为Fi(-c,0)、F2(c,0),满足MF•MF=0的点M总在椭圆内部,则e的取值范围 /•Ovev# 22 Xy 题目7: 椭圆p+—=1(a>b>0)的两焦点为Fi ab (-c,0)、F2(c,0),P为右准线L上一点,FiP的垂直平 分析: tMF・MF=0•••以F1F2为直径作圆,M在圆O上,与椭圆没有交点解: 二c 2.22^2 a=b+c>2c 分线恰过F2点,求e的取值范围 分析: 思路1,如图FiP与F2M垂直,根据向量垂直,找 思路2: 根据图形中的边长之间的不等关系,求 b、c的不等关系。 解法一: Fi(-c,0)F2(c,0)P( 2 ac~,yo) M( 2 a-c cy0 2,2丿 打b2 既(莎, MF=-( b2 PF•MF=0 2 a (—+c,y0) b2 -c, 2c y。 厂)=o 2 a (-+c)• b2 2T-c)+ 2y02_ =0 a2-3c2w0 •i3we<1 解法2: |F1F2I=IPHI=2c 2 a PEI—-c c 2 a 2c>-c c 3c 2 a >— c 2 ta则PF=-(—+c,y c 3c2>a2总结: 对比两种方法,不难看岀法一具有代表性,可谓通法,而法二是运用了垂直平分线的几何性质,巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。 所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现,对于它的应用方法,值得大家注意。 离心率为高考的一个重点题目,多以选择题或解答题的第一问形式岀现,望大家经过此系列题目能对 它有一些认识和掌握。 椭圆中与焦点三角形有关的问题 22 Xy 题1: 椭圆——1的焦点为F、F2,点P为其上动点,当F1PF2为钝角时,点P横坐标的取 值范围是 设计意图: 从习题入手,不陌生,并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值。 (二)问题的分析与引导 问题分解: 问题1. 椭圆X 2 y 4 1的焦点为Fi、F2,点P为其上一点,当 f1pf2为直角时,点P的横坐 标是 问题2.而此题为钝角,究竟钝角和直角有何联系 解题的关键在于点动,发现f1PF2的大小与点P的位置有关,究竟有何联系,成了大家探索的焦点。 设计意图: 把一个看似未知的问题转化为几个“已经具备的经验”可以解决的问题,是数学常规解题 策略,这个任务不可能一蹴而就,但可以水滴石穿。 性质一: 当点P从右至左运动时,F1PF2由锐角变成直角,又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由 钝角变成直角再变成锐角,并且发现当点P与短轴端点重合时,f1pf2达到最大。 3.“性质一”是为什么呢你能证明吗 提示: “这节课我们研究的是焦点三角形,在三角形中,求角的最值往往可转化为求什么的最值”学生思考后回答: 求某个三角函数的最值。 问题3: 解三角形中我们常用的理论依据是什么 问题4: 究竟转化为求哪种三角函数的最值,经大家演算、试验,悟岀“欲求 F1PF2的最大值,只 需求cosF1PF2的最小值” (面对cosF1PF2=迈旦如何求最小值,有的同学尝试后发现若用 2|PF1||PF2| 两次均值不等式,则两次不等号方向相反,达不到目的。 能否少用一次均值不等式求岀最值呢学生们发现 分子变化的部分是|PF1|2 2 |PF2|,分母变化的部分是2|PF1| |PF2|,二者的关系是 |PF1|2|PF2|2 2 |PF1||PF2| 2|PF1||PF2 |4a22|PF1||PF2|,于 2b2 是目标式可分成两部分 |PF1||PF? | 最后对|PF1||PF2 |利用均值不等式,即可大功告成。 设计意图: 在课堂教学和作业中渗透两个角及基本不等式的应用。 7: 3是我们一直致力在研究的课题,本例很好地体现了三 从而求得当|PF1||PF2|,即点 2b2 与短轴端点重合时,cosF1PF2有最小值为2" a F1PF2有最大值。 此题结果为 3.53、5 性质二: 已知椭圆方程为 22 Xy 1(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2 ab 中F1PF2,则cos 2 12e.(当且仅当动点为短轴端点时取等号) 设计意图: 进一步的挖掘, 可以让问题简单化,应用价值就更高, “看似一小步,其实一大步”! 22 题2: 已知F1、F2是椭圆笃爲1(ab0)的两个焦点,椭圆上一点P使 ab F1PF290,求椭圆离心率e的取值范围。 思路: 由焦点三角形性质二, cos90012e2. r尹 0 3p 2 x 变式1: 已知椭圆2 a 2 每1(ab0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得 b F1PF21200,求椭圆的离心率e的取值范围。 简解: 由椭圆焦点三角形性质可知cos1200 1 12e2.即—12e2 2 于是得到e的取值范围是-,1. 2 追问: 何时取等号 22 xv 变式2: 若椭圆1的两个焦点F1、 43 F2,试问: 椭圆上是否存在点P,使FfF290存 在,求出点P的纵坐标;否则说明理由。 简解: 两种做法: 方法一: 设PF1 的纵坐标的绝对值 方法二: cos90 m,PF2 yP 3,故 12e2 n,可以得到 p的纵坐标为 3或-3. n4 ,故mn6,所以 4 1 1,但椭圆离心率为,不在范围内,故不存在。 两种解法,答案不一致,原因 2直接为“问题引入2”埋下伏笔,有承上启下的作用。 设计意图: 两个练习题,层层递进,练习 (三)问题引入2(一道很普通的错题) 22 Xy 题3: P是椭圆一丄一1上的点,Fl,F2是椭圆的焦点,若FfF2—,贝UPF1F2的面 543 积等于。 多数同学: 利用椭圆定义和余弦定理列出方程组,消元,求出IPF! ||PF2|,代入面积公式。 问大家: “既然面积可求,那么|PF! |、丨PF2I也一定可求,请大家计算一下|PFi|、|PF2|的 值”。 同学们利用根与系数的关系构造一个以|PF1|、丨PF2|为根的一元二次方程,发现此方程判别式 小于0,无实根,究竟怎么回事,同学们陷入思考中。 两种解法,两种结果,谁对准错,难以定夺,同学 们自发地探索起分歧的原因。 经讨论、交流、思考,发现题目岀错,利用刚才一探索岀的规律,当点P与 短轴端点重合时,FfF2有最大值,查表求得是57,因此,给定椭圆上不存在点P,使F1PF2 3 22 问题1: 已知椭圆C: x■-1(a>b>0),Fi、F2是两个焦点,对于给定的角0,探 a2b2 求在c上存在点P,使FfF2的条件。 尽量让学生得到: 存在点P的条件可相应得到: F1BF2。 (B为椭圆短轴的一个端点) 设计意图: 要学生养成仔细审题的习惯,就必须从课堂开始训练问题2: 怎样改动,使上面不是一个错题 2 X 改动一: P是椭圆- 5 2 »1上的点,Fl,F2是椭圆的焦点,若 4 F1PF2 PF1F2 的面积等于 2 X 改动二: P是椭圆 4 y21上的点,F,F2是椭圆的焦点,若 F1PF2 PF1F2 的面积等于 问题3: 改动的依据是什么( F1PF2F1BF2,b为短轴的一个端点) 设计意图: 自己编题, 体会题目如何来,要考什么。 题4: 若F1、 2 x f2是椭圆二 a 2 y1(ab0)的两个焦点,P是椭圆上一点,且 b2 F1PF2 解: 设 PF1 m 5 PF2 n, 22- 2 2 mn2mncos F1F2 4c① 由椭圆定义得mn 2a② 〜2 2 〜2 由①得: mn 2(a c ) 2b 求椭圆的面积。 由余弦定理得沖[ 二―P 1cos 1cos F1PF2 1 -mnsin 2 2sinb2 性质三: 若Fl、F2是椭圆 则Sf1PF2 b2tan—。 2 继续看题2: 已知F2是椭圆 1 eos 2 2 x y 2 .2 a b 2 2 x y 2 .2 a b b2% 1(a 1(a 0)的两个焦点,P是椭圆上一点,且FfF2 求椭圆离心率e的取值范围。 思路二: 利用焦点三角形性质⑴,从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为B b2tan45 2c be 2 e ~2 a 0)的两个焦点 当然,若用公式去解同学们编制的题目将是易如反掌的。 如果把图形特殊化,使PF丄F1F2,我们可以得到: 性质四: 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦 )最短,通径为 2b2 y2x2 题5: 已知椭圆C1: 221(ab0)的右顶点为A(1,0),过G的焦点且垂直长轴的弦 ab 长为1.求椭圆G的方程; 这就是09年浙江省高考理科试题。 展示评分标准。 设计意图: 从高考角度岀现,进一步体现实用价值。 问题: 考察两个定点的位置还有哪些可能。 定点可以是长轴顶。 恒、中心、短轴顶点,甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点 【课堂测试】 22 r已知F<|、F是椭圆C: -2岭1(a ab b0)的两个焦点,p为椭圆C上的一点,且 PF1PF2。 若PF1F2的面积为9,则b (09上海) uuunuuuLr MF1MF20的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范 1 5B•(0,2]C-(0, D•[子⑴ x22o 3.已知椭圆—yl(a1)的两个焦点分别为Fi,F2,P为椭圆上一点,且F1PF260,则 a |PFi||PF21的值等于. 22 xV 4(选做)设椭圆飞21(ab0)的左、右焦点分别为Fi,F2,A是椭圆上的一点, ab 1 AF2F|F2,原点O到直线AF|的距离为一OF1.证明aJ2b; 3 椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义: 椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 与焦点三角形的有关问题有意地考 查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 一.焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 x2y2 例1椭圆1上一点P到焦点的距离之差为2,试判断PF1F2的形状. 1612 解: 由椭圆定义: IPF1|PF2|8,1PF1| IPF2I2.|PF1|5,|PF2I3. 2 又|FF2|4,故满足: |PF2| 22 |f1f2||pf1|,故pf1f2为直角三角形 性质一: 22 xV 已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F^F? 设焦点三角形PF1F2中 ab 则Sf1PF2 F1PF2 b2tan。 2 22 性质二: 已知椭圆方程为丫夕1(ab a2b2 0),左右两焦点分别为 F1,F2,设焦点三角形PF1f2, 若F1PF2最大,则点p为椭圆短轴的端点 证明: 设P(xo,yo),由焦半径公式可知: PF1aex,,PF1 aex, 在F1PF2中,cos PF1I2Ipf」2IF1F2I2 2|PF』PF2| (IpfJ PF2I)22 PF1IPF2 4c2 2IPFJPF2I 4a24c2,4b2 1 2b2 -22~2 aeX。 22 ax0axoa 性质三: 过椭圆焦点的所有弦中通径 b2 (垂直于焦点的弦)最短,通径为2—— a 性质四: 已知椭圆方程为 2x ~2a 1(ab0),两焦点分别为 F1,F2,设焦点三角形PF1F2中 F1PF2 则cos 2e2. 证明: 设PF1 r1,PF2 r2,则在 F1PF2中,由余弦定理得: cos 22 「1「2 F1F22 2^ 22 (Ar2)2叩24c 2^2 22 2a2c1 2^2 22 2a2c 22 2a2c112e2. r1r22 2(丁) 2a2 命题得证。 2 x (2000年高考题)已知椭圆v a 1(ab0)的两焦点分别为 F1,F2,若椭圆上存在一点P,使 得F1PF21200,求椭圆的离心率 e的取值范围。 简解: 由椭圆焦点三角形性质可知 cos12001 2e2.即11 2 2e2 于是得到e的取值范围是 v'31 J'■ 2 2 x 性质五: 已知椭圆方程为2 a 2 殳1(ab 0),两焦点分别为 F1,F2,设焦点三角形PF1F2, PF1F2 PF2F1 则椭圆的离心率e sin()sinsin PF1F2 PF2F1 由正弦定理得: F1F2 PF2 由等比定理得: F1F2 sin(180o F1F2 sin( 2c sin sin PF1PF2 sinsin PF1PF2 2a sin()sin()sinsin sin sin ...eC空) asinsin F1F2丨是丨PFI 和IPF|的等差中项. 已知椭圆的焦点是F*—1,0)、F2(1,0),P为椭圆上一点,且I (1)求椭圆的方程; ⑵若点P在第三象限,且/PFF2=120°,求tanFPF• 解: (1)由题设2IF1F2I=|PF丨+丨PFI .2a=4,又2c=2,•: b=..,3 .椭圆的方程为 =1. ⑵设/rpf=e,则/PFR=60°—e 椭圆的离心率e— 2 sin 3sin(60o sin(180°) sin120osin(60o) 整理得: 5sine=..3(1+cose) sin 1cos —故tan— 52 .3 5 tanRPF=tane= 1 25 11 圆锥曲线中(椭圆离心率)的基本范围问题 1. 2 X 已知点P在椭圆一 2 1内,F|,F2是椭圆的两个焦点 求PF1 PF2的范围. PF' PF QF I PF PQ QF' PF PQ QF' QF 2a 故2 PF1 PF2 2^2 22 2.已知点P在椭圆x21(ab0) ab 上,F1,F2是椭圆的两个焦点,求
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 椭圆 离心 问题