第27讲 命题证明及平行线的判定定理培优课程讲义例题练习含答案.docx
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第27讲命题证明及平行线的判定定理培优课程讲义例题练习含答案
命题、证明及平行线的判定定理(提高)知识讲解
【学习目标】
1.了解定义、命题的含义,会区分命题的条件(题设)和结论;
2.体会检验数学结论的常用方法:
实验验证、举出反例、推理;
4.了解公理和定理的定义,并能正确的写出已知和求证,掌握证明的基本步骤和书写格式;
5.掌握平行线的判定方法,并能简单应用这些结论.
【要点梳理】
要点一、定义与命题
1.定义:
一般地,用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释:
(1)定义实际上就是一种规定.
(2)定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题:
判断一件事情的句子叫做命题.
真命题:
正确的命题叫做真命题.
假命题:
不正确的命题叫做假命题.
要点诠释:
(1)命题的结构:
命题通常由条件(或题设)和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一般地,命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.
(2)命题的真假:
对于真命题来说,当条件成立时,结论一定成立;对于假命题来说,当条件成立时,不能保证结论正确,即结论不成立.
要点二、证明的必要性
要判断一个命题是不是真命题,仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的,必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明.
要点三、公理与定理
1.公理:
通过长期实践总结出来,并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释:
欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理:
通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释:
证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件,“求证”是命题的结论,而“证明”则是由条件(已知)出发,根据已给出的定义、公理、已经证明的定理,经过一步一步的推理,最后证实结论(求证)的过程.
要点四、平行公理及平行线的判定定理
1.平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
要点诠释:
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质.
(2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.
(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
2.平行线的判定定理
判定方法1:
同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
判定方法2:
内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
判定方法3:
同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
要点诠释:
平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.
【典型例题】
类型一、定义与命题
1.说出下列命题的条件和结论,并判断它是真命题还是假命题:
(1)在同一个三角形中,等角对等边;
(2)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;
(3)有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似.
【答案与解析】
解:
(1)先把这个命题写成“如果……那么……”的形式:
如果在同一个三角形中,有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
条件:
同一个三角形中的两个角相等;结论:
这两个角所对的两条边相等.它是真命题.
(2)原命题可以写成:
如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.
条件:
两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等;结论:
这两个三角形全等.它是真命题.
(3)原命题可以写成:
如果两个三角形两边对应成比例,且有任意一角对应相等,那么这两个三角形相似.
条件:
两个三角形两边对应成比例,且有任意一角对应相等;结论:
这两个三角形相似.
它是假命题,反例:
如下图:
【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题,这种例子通常称为反例.
举一反三:
【变式】下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题,如果是命题的话,请指出是真命题还是假命题?
(1)三角形的三条高交于一点;
(2)解方程
;(3)1+2≠3.
【答案】
(2)不是命题;
(1)(3)是命题,其中
(1)是真命题,(3)是假命题.
【变式2】下列真命题的个数是()
(1)直线a、b、c、d,如果a∥b、c∥b、c∥d,则a∥d.
(2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直.
(3)两条直线被第三条直线所截,同位角相等.
(4)在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
类型二、公理、定理及证明
2.证明:
对顶角相等.
【思路点拨】如果题目中没有明确出“条件”和“结论”,应先写出已知、求证、证明,如果需要的话并画出图形,再证明.
【答案与解析】
已知:
如图,直线AB,CD相交于点O,∠1和∠2是对顶角.
求证:
∠1=∠2.
证明:
∵∠1和∠2是对顶角(已知),
∴OA与OB互为反向延长线(对顶角的意义).
∴∠AOB是平角(平角的定义).
同理,∠COD也是平角.
∴∠1和∠2都是∠AOC的补角(补角的定义).
∴∠1=∠2(等角的补角相等).
【总结升华】“对顶角相等”是一个定理,而不是公理.
举一反三:
【变式】证明:
相似三角形的周长比等于相似比.
【答案】
已知:
如图,△ADE∽△ABC,AE∶AC=k
求证:
C△ADE:
C△ABC=k
证明:
∵△ADE∽△ABC
∴AE:
AC=AD:
AB=DE:
BC=k
∴(AE+AD+DE):
(AC+AB+BC)=k
∴C△ADE:
C△ABC=k
类型三、平行公理及平行线的判定
3.(春•无锡)一副直角三角板叠放如图所示,现将含45°角的三角板ADE固定不动,把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α(α=∠BAD且0°<α<180°),使两块三角板至少有一组边平行.
(1)如图①,α= °时,BC∥DE;
(2)请你分别在图②、图③的指定框内,各画一种符合要求的图形,标出α,并完成各项填空:
图②中α= °时, ∥ ;图③中α= °时, ∥ .
【思路点拨】
(1)利用两直线平行同位角相等,并求得α=45°﹣30°=15°;
(2)利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可.
【答案与解析】解:
(1)图①中α=15°时,BC∥DE,
∵BC∥DE,
∴∠1=∠B=60°,
∵∠1=∠D+∠α,∠D=45°,
∴∠α=15°
α=∠CAD﹣∠CAB=45°﹣30°=15°.
(2)图②中α=60°时,BC∥DA,
∵∠BAC=30°,∠α=60°,
∴∠DAC=90°=∠C,
∴∠DAC+∠C=180°,
∴BC∥DA;
图③中α=105°时,BC∥EA.
∵∠α=105°,∠DAE=45°,
∴∠EAB=60°,
∵∠B=60°,
∴∠EAB=∠B,
∴BC∥EA.
故答案为:
(1)15;
(2)60;BC;DA;105;BC;AE.
【总结升华】本题考查了图形的旋转变化,学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转,并判断旋转角为多少度,难度不大,但易错.
举一反三:
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是().
A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°
B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°
C.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°
D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°
【答案】A
提示:
“方向相同”有两层含义,即路线平行且方向相同,在此基础上准确画出示意图.
图B显然不同向,因为路线不平行.
图C中,∠1=180°-130°=50°,路线平行但不同向.
图D中,∠1=180°-130°=50°,路线平行但不同向.
只有图A路线平行且同向,故应选A.
4.(春•太仓市期末)如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,则BE与DF有何位置关系?
试说明理由.
【思路点拨】根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°,得∠ABC+∠ADC=180°;根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等,从而证明两条直线平行.
【答案与解析】
解:
BE∥DF.理由如下:
∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠1=∠2=
∠ABC,∠3=∠4=
∠ADC,
∴∠1+∠3=
(∠ABC+∠ADC)=
×180°=90°,
又∠1+∠AEB=90°,
∴∠3=∠AEB
∴BE∥DF
【总结升华】此题运用了四边形的内角和是360°、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定,考察的知识点较多,只有熟练掌握,才能运用自如.
举一反三:
【变式1】已知,如图,BE平分ABD,DE平分CDB,且1与2互余,试判断直线AB、CD的位置关系,请说明理由.
【答案】
解:
AB∥CD,理由如下:
∵BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,
∴∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2.
又∵∠1+∠2=90°,
∴∠ABD+∠CDB=180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
【变式2】(•长春一模)如图,直线a与直线b被直线c所截,b⊥c,垂足为点A,∠1=70°.若使直线b与直线a平行,则可将直线b绕着点A顺时针旋转( )
A.70°B.50°C.30°D.20°
【答案】
解:
∵b⊥c,
∴∠2=90°.
∵∠1=70°,a∥b,
∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°﹣70°=20°.
故选D.
命题、证明及平行线的判定定理(提高)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.下列说法中是真命题的有().
①一条直线的平行线只有一条.
②过一点与已知直线平行的直线只有一条.
③因为a∥b,c∥d,所以a∥d.
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如果两个角的一边在同一直线上,另一边互相平行,则这两个角().
A.相等B.互补C.互余D.相等或互补
3.(•黔南州)如图,下列说法错误的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥cB.若∠1=∠2,则a∥c
C.若∠3=∠2,则b∥cD.若∠3+∠5=180°,则a∥c
4.一辆汽车在广阔的草原上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,那么这两次拐弯的角度可能是().
A.第一次向右拐40°,第二次向右拐140°.
B.第一次向右拐40°,第二次向左拐40°.
C.第一次向左拐40°,第二次向右拐140°.
D.第一次向右拐140°,第二次向左拐40°.
5.(春•莒县期末)如图,下列条件中不能判定AB∥CD的是().
A.∠3=∠4B.∠1=∠5C.∠1+∠4=180°D.∠3=∠5
6.(绍兴)学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图,
(1)—(4)):
从图中可知,小敏画平行线的依据有().
①两直线平行,同位角相等.②两直线平行,内错角相等.③同位角相等,两直线平行.
④内错角相等,两直线平行.
A.①②B.②③C.③④D.④①
二、填空题
7.在同一平面内的三条直线,它们的交点个数可能是________.
8.(春•高密市)如图,在下列条件中:
①∠DAC=∠ACB;②∠BAC=∠ACD;③∠BAD+∠ADC=180°;④∠BAD+∠ABC=180°.其中能使直线AB∥CD成立的是 .(填序号)
9.规律探究:
同一平面内有直线a1,a2,a3…,a100,若a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4…,按此规律,a1和a100的位置是________.
10.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°,则另一个角的度数是.
11.(春•吴兴区期末)如图,EF⊥AB于点F,CD⊥AB于点D,E是AC上一点,∠1=∠2,则图中互相平行的直线有对.
12.如图,AB⊥EF于点G,CD⊥EF于点H,GP平分∠EGB,HQ平分∠CHF,则图中互相平行的直线有.
三、解答题
13.如图,∠1=60°,∠2=60°,∠3=100°,要使AB∥EF,∠4应为多少度?
说明理由.
14.(春•泗阳)如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC交CD于E,DF平分∠ADC交AB于F.
(1)若∠ABC=60°,则∠ADC= °,∠AFD= °;
(2)求证:
BE∥DF.
15.如图,把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠,已知∠ADB=20°,那么∠BAF为多少度时,才能使AB′∥BD?
16.如图所示,由∠1=∠2,BD平分∠ABC,可推出哪两条线段平行,写出推理过程,如果推出另两条线段平行,则应将以上两条件之一作如何改变?
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A;
【解析】只有④是真命题,其它均是假命题.
2.【答案】D;
3.【答案】C;
【解析】A、若a∥b,b∥c,则a∥c,利用了平行公理,正确;
B、若∠1=∠2,则a∥c,利用了内错角相等,两直线平行,正确;
C、∠3=∠2,不能判断b∥c,错误;
D、若∠3+∠5=180°,则a∥c,利用同旁内角互补,两直线平行,正确;故选C.
4.【答案】B;
5.【答案】D;
【解析】∠3和∠5是同旁内角,同旁内角相等,不能判定两直线平行.
6.【答案】C;
【解析】解决本题关键是理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,过点P的折痕与虚线垂直.
二、填空题
7.【答案】0或1或2或3个;
8.【答案】②③;
【解析】①∠DAC=∠ACB利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC,错误;②∠BAC=∠ACD利用内错角相等两直线平行得到AB∥CD,正确;③∠BAD+∠ADC=180°利用同旁内角互补得到AB∥CD,正确;④∠BAD+∠ABC=180°利用同旁内角互补得到AD∥BC,错误;
故答案为:
②③
9.【答案】a1∥a100;
【解析】为了方便,我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100,因为a1⊥a2∥a3,所以a1⊥a3,而a3⊥a4,所以a1∥a4∥a5.同理得a5∥a8∥a9,a9∥a12∥a13,…,接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100,所以a1∥a100.
10.【答案】40°或140°;
11.【答案】2;
【解析】EF∥CD,ED∥CB.
12.【答案】AB∥CD,GP∥HQ;
【解析】
理由:
∵AB⊥EF,CD⊥EF.∴∠AGE=∠CHG=90°.∴AB∥CD.
∵AB⊥EF.∴∠EGB=∠2=90°.∴GP平分∠EGB.
∴∠1=
EGB=45°.
∴∠PGH=∠1+∠2=135°.
同理∠GHQ=135°,∴∠PGH=∠GHQ.
∴GP∥HQ.
三、解答题
13.【解析】
解:
∠4=100°.理由如下:
∵∠1=60°,∠2=60°,
∴∠1=∠2,∴AB∥CD
又∵∠3=∠4=100°,
∴CD∥EF,∴AB∥EF.
14.【解析】
解:
(1)∵∠A=∠C=90°,∠ABC=60°,
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=120°,
∵DF平分∠ADC交AB于F,
∴∠FDA=
ADC=60°,
∴∠AFD=90°﹣∠ADF=30°;故答案为120,30;
(2)BE∥DF.理由如下:
∵BE平分∠ABC交CD于E,
∴∠ABE=
∠ABC=
×60°=30°,
∵∠AFD=30°;
∴∠ABE=∠AFD,
∴BE∥DF.
15.【解析】
解:
要使AB′∥BD,只要∠B′AD=∠ADB=20°,
∠B′AB=∠BAD+∠B′AD=90°+20°=110°.
∴∠BAF=
∠B′AB=
×110°=55°.
16.【解析】
解:
可推出AD∥BC.∵BD平分∠ABC(已知).
∴∠1=∠DBC(角平分线定义).
又∵∠1=∠2(已知),∴∠2=∠DBC(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
把∠1=∠2改成∠DBC=∠BDC.
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- 第27讲 命题证明及平行线的判定定理培优课程讲义例题练习含答案 27 命题 证明 平行线 判定 定理 课程 讲义 例题 练习 答案
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