华东理工大学本科生线性代数册.docx
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华东理工大学本科生线性代数册
华东理工大学
线性代数
作业簿(第一册)
学院专业班级
学号姓名课教师
1.1矩阵的概念
1.填空:
⑴矩阵A=_aj-9i-j23二.
⑵设
0]-3
0,D=
100010
B=0100,C=23
0010_.04
其中对角阵为三角阵有解:
对角阵为D;三角阵有A,C,D.
1.2矩阵的运算
1.已知两矩阵A=F2yI,b=|2UU"相等,求x,y,z,u的值.
]z-8一]12x」
解:
由矩阵相等即对应元素相等,可得
x=2u
2y=u
z=1
-8=2x
进而得x--4,y--1,z=1,u--2.
2.已知2:
012--_32111=。
,求矩阵%.
解:
依题意,由
■4
3
1
'_3
3.如果矩阵Amn与Bts满足AB二BA,则m,n,t,s应满足的条件为()■
(A)n=t;(B)m=s;(C)m=n=t=s;(D)n=t=m=s.
解:
C.
4.填空:
4317
(1)1—23”=;
'57oh1」
(2)1,2,3】2=;
山
1
(3)21-1,2】=.
:
3j
解:
原式
222
=aiiXi822X2033X3(ai2a2i)X1X2(印3a3i)X1X3(823832)X2X3
一—
—一
—
解:
记A=
22
厂
,则A2=
2
2
<31
<3
1
-22一
1
一2
2一
-
-
2008
2007
一
——
一—
2
2
22
22
迈
1
亚1
-2
2一
1
-22一
i
一22一
-
1
翌
1\669
T)
2
2
1
=-A.
IL2
2
6.某公司为了技术革新,计划对职工实行分批脱产轮训,已知该公司现有2000人正在脱产轮训,而不脱产职工有8000人,若每年从不脱产职工中抽调30%的人脱产轮训,同时又有60%脱产轮训职工结业回到生产岗位,设职工总数不变,令
0.6
o.X「
试用A与X通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况,并据
此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人•
解:
一年后职工状况为:
AXJ680。
]
[3200一
不脱产职工6800人,轮训职工3200人.
两年后职工状况为:
aF800La2x=[66801
[3200一[3320一不脱产职工6680人,轮训职工3320人.
010
7.已知矩阵A=001,试求与A可交换的所有矩阵.
卫00一
解:
由可交换矩阵的定义,知道所求矩阵必为3阶方阵,不妨设
'a
其为B=d
于是有
AB二
■0
0
卫
01「a
1
0丄g
c]-df=jgi」P
fl
i
0
def
001
=
0de
.ghi一
•°00一
i
0gh一
b
1
c
a
BA=
d
由AB=BA,即得
由相应元素相等,
则得
fl
i
■0
0
卫
bl
=g=h=0,a=e=i,b=f,
ab
于是B=0a
00
cl
b(a,b,c均为任意常数)即为与A可交换的
a
所有矩阵.
8.设f(x)=x3-3x■3x■2,以f(A)表示矩阵多项式,即
32
f(A)二A-3A3A2I
0〕
-1,试求f(A).
1
解:
"0-10T
f(A)=A3—3A2+3A+2I=(A—I)3+31=00-1+31=31
L000一
⑵A2-B2.
解:
(1)ATBT_BTAt=2_43
|(1-2-1
■0°LJ5—5〕=]-155|
b0J1-3010」〔30-10一
10.设A是对称矩阵,B是反对称矩阵,则()是反对称矩阵.
(A)AB-BA;(B)ABBA;(C)(AB)2;(D)BAB.
解:
B.
12.设A是反对称矩阵,B是对称矩阵,试证:
AB是反对称矩
阵的充分必要条件为AB二BA.
证:
必要性由(AB)-=-AB及(AB)…=BA”〉B(-A)=-BA即得AB=BA.
充分性由(AB)-=BA-=B(-A)二-BA二-AB,知AB是反对称阵,最后一个等号是利用了条件AB=BA.
T
13.设矩阵A二I-2二一,其中I为n阶单位阵,〉为n维列向量,a匕
试证A为对称矩阵,且A2=1.
证:
TT
2
(、皿)=|_2A
axtaxt
taa1ttaa1t
a_=(i-2——y-2(——)=i
axtakx
(:
-:
):
-
-442~=I.
:
二(?
■:
)
故A是对称矩阵,且
2
A乂-2二)(|-2二)"
1.3逆矩阵1.设n阶矩阵A、B、C满足ABC=1,贝U必有()
(A)ACB=I;(B)CAB二I;
(C)BAC=I;(D)CBA=I.
解:
B
「nn
证:
由A?
=41,即可得An穴)2=(4乜2=21,n为偶数
iAn」A=(4l)2A=2n」A,n为奇数
及A(—A)=I,亦即A,=—A.
44
3.已知n阶矩阵A满足A2•2A-3I=O,求:
A~1,(A-2I)J,
(A4I)」.
解:
依题意,有A(A2I)3I,即A(A2I)I,故
3
11
A4(A2l);(A21)'A,
33
再由已知凑出(A•4I)(A-21)=-51,即得
a1
(A4I)(A-21).
5
4.设A、B、AB-I为同阶可逆阵,试证:
(1)A-B-可逆;
1--j-1
(2)A-B」-A1也可逆,且有A-B,-AJ二ABA-A.
证:
⑴A-B」二ABB」-B」=(AB-I)B」二A-B」可逆.
(2)解法一:
A®'—A」二A—B二'一A—B」JA—B」A」
1__1
=A-B」I-IBfABA-B」
=(ABA_A)」
1
二A_B」」_A」可逆,且A_B」二—A」:
=ABA_A.
解法二:
由
(1)得A-B」'二B(AB-I),,因此
〔(A—B」)」—A」“ABA—A)=「B(AB—I)」—A~〕(ABA—A)
11
二B(AB-I)(AB-I)A-AA(BA-I)=BA-BAI=1
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- 华东 理工大学 本科生 线性代数