分类讲解数算常考题型.docx
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分类讲解数算常考题型
分类讲解数算常考题型
抽屉原理:
桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理的一般含义为:
“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
”
一.抽屉原理最常见的形式
原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
原理12都是第一抽屉原理的表述
第二抽屉原理:
把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。
二.应用抽屉原理解题
抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1:
400人中至少有两个人的生日相同.
解:
将一年中的366天视为366个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知:
至少有两人的生日相同.
又如:
我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同.
“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。
”
“从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同。
”
一个布袋中有35个同样大小的木球,其中白、黄、红三种颜色各有10个,另外还有3个蓝色球、2个绿色球,试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有4个是同一色的球?
抽屉原理的解法:
首先找元素的总量(此题35)
其次找抽屉的个数:
白、黄、红、蓝、绿5个
最后,考虑最差的情况。
每种抽屉先m-1个球。
最后的得数再加上1,即为所求
一副扑克牌有四种花色,每种花色各有13张,现在从中任意抽牌。
问最少抽几张牌,才能保证有4张牌是同一种花色的
元素总量13*4
抽屉4个
m=4
抽屉数*(m-1)=12
12+1=13
从一副完整的扑克牌中.至少抽出( )张牌.才能保证至少6张牌的花色相同?
元素总量=54
抽屉=6(大小王各为一个抽屉)
M=6
4*5+1+1+1=23
袋子中有红、橙、黄、绿四种颜色的小球若干个,每个人从中任取1个或2个。
那么至少需要多少个人去取,才能保证有3个人取的小球是完全一样的。
A.13 B.24 C.27 D.29
------------------------------------------------------------
先算抽屉个数(有多少种可能)
取1个球,4种选法;
取2个球,颜色相同有4种选法,颜色不同有C42=6种选法;
一共有4+4+6=14种选法(14个抽屉)
M=3
根据抽屉原理,需要抽屉个数*(m-1)+1=14*2+1=29个人去取,才能保证有3个人取的完全一样
↑↓
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双龙-陵少4楼 10-10-2820:
31
多次相遇问题
两车分别从A、B两地出发,并在A、B两地间不间断往返行驶的多次相遇问题,关键就是速度比和路程的倍数关系
第一次相遇,两人共走了1S
第二次相遇,两人共走了3S
第三次相遇,两人共走了5S
..............
第N次相遇,两人共走了2*N-1个S,经过了2*N-1个相遇时间
“为什么第二次相遇走了3个相遇时间?
为什么不是2个相遇时间?
”。
下面我来推导下这个问题
A------------------------C----------D-------------------B
设C为第一次相遇的地点,D为第二次相遇的地点
第一次甲走的:
AC 乙走的是BC 甲乙第一次相遇1个相遇时间t内共走了1S.
第二次相遇时,甲走了AC+CB+BD------------------①
乙走了BC+CA+AD------------------②
①+②=3S(甲乙共走了3S)
甲乙第一次相遇共走了1S,1t
甲乙第二次相遇共走了3S,因为速度不变,所以走的时间为3t
推广下成公式:
第N次相遇,甲乙共走了(2N-1)个S,花了(2N-1)个相遇时间t
甲乙两车分别从A、B两地出发,并在A、B两地间不间断往返行驶,已知甲车的速度是15千米/小时,乙车的速度是每小时35千米,甲乙两车第三车相遇地点与第四次相遇地点差100千米,求A、B两地的距离
A、200千米B、250千米C、300千米D、350千米
-------------------------------------------------
画个草图
A------------------------C--------D---------------------B
C表示第三次相遇的地方,D表示第四次相遇的地方。
速度比是15:
35=3:
7
全程分成10份(其中甲走了3份,乙走了7份)
第三次甲行的路程是:
5*10*3/10=15份(相当于1.5S)
第四次甲行的路程是:
7*10*3/10=21
两次相距5-1=4份,对应100KM
所以10份对应的就是250KM
给你说下21份和15份
A-----O----O-----O----O----O----O----O---O----O---B
← C
D→
D和C分别表示第三次相遇和第四次相遇
箭头表示方向
第一次相遇时距离是S1,第二次相遇距离是S2
如果S1、S2相对的是一个地点则为单岸型,否则为双岸型
单岸型公式:
S=(3S1+S2)/2
双岸型公式:
S=3S1-S2
两艘轮船甲、乙分别从南北两岸相向开出,离北岸260千米处第一次相遇,继续行驶,返回时又在南岸200千米处相遇,求河宽。
卡卡西解析:
画图:
南------------------------C--------------D--------------------北
同样C表示第一次相遇,D表示第二次相遇。
根据:
“离北岸260千米处第一次相遇”,所以追踪乙的轨迹为
北C+C南+南D,观察发现比1S多走了南D段
所以:
3*260-200=S
甲乙两人分别从AB两地同时相向而行,他们第一次相遇处距A地700米,两个各自到达B,A后又立即返回,在距B地400米处第二次迎面相遇,AB两地相距()米
A:
1700 B:
1800 C:
2000 D:
2100
-------------------------------------
属于单岸型:
3*700-400=1700
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双龙-陵少5楼 10-10-2820:
31
方阵问题核心公式:
(1)方阵总人(物)数=最外层每边人(物)数的平方;
(2)方阵最外一层总人(物)数比内一层总人(物)数多8(行数和列数分别大于2);
(3)方阵最外层每边人(物)数=(方阵最外层总人数÷4)+1;
(4)方阵最外层总人数=[最外层每边人(物)数-1]×4;
(5)去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1。
某学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少人?
( )
A.272 B.256
C.225 D.240
---------------------------------------
本题考查方阵问题。
方阵最外层每边人数为60÷4+1=16,所以这个方阵共有162=256人。
故选B。
参加中学生运动会团体体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一列和一行,则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人?
A286 B287 C288 D289
----------------------------------------
根据公式5
33=2X-1
X=17
17^2=289
备注:
缺空心方阵的题目
↑↓
作者:
双龙-陵少6楼 10-10-2820:
32
工程问题
基本数量关系:
工作总量=工作效率*时间
抓住单独的工作效率或合作的工作效率是解题的关键。
工程问题比较难的题型主要有两种
1、 合作的过程中有人休息的(一般假设不休息来算)
2、 轮流工作的(一般用周期来算)
其他的工程问题一般都比较简单,我在这里就不分析了!
下面主要讲解下上面提到的2种情况
1、一件工作,甲单独做需要10天完成,乙单独做需要30天完成。
两人合作,期间甲休息
了2天,乙休息了8天(不在同一天休息),从开始到完工共用了多少天?
()
A.11B.15C.16D.20
------------------------------------
甲休息的2天,乙单独做;同理,乙休息的8天甲单独做
所以甲8天的+乙2天的+合作的=1
甲和乙合作,工作效率为:
1/10+1/30=4/30
8/10+2/30+X/30/4=1
X=1
2+8+1=11
2、一件工作,甲单独做12小时完成,乙单独做9小时完成。
如果按照甲先乙后的顺序轮流做进行,完成这件工作需要几小时
-----------------------------------
甲12小时完成,乙9小时完成,所以他们的工作效率分别为1/12和1/9
轮流做的题,我们就用周期的办法来解决
把甲、乙各做一个小时看做一个周期,一个周期他们完成的工作量是(1/12+1/9)=7/36
1/(7/36)=5….1/36
即合作了5个周期后还剩下1/36,所以甲再做1/36/1/12=1/3个小时就可以完成了。
所以总的需要5*2+1/3个小时
3、一份稿件,甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。
现在三人合打,但甲因中途另有任务提前撤出,结果用12小时才完成。
那么甲只打了几小时?
----------------------------------
我们先考虑乙和丙,他们12个小时能打1/2+4/10=9/10
所以甲打了1/10/1/20=2小时
4、一项工程甲队独做24天完成,乙队独做30天完成,甲乙两队合作8天后,余下的由丙队做,又做了6天才完成。
这个工程由丙队单独作需几天完成
----------------------------------
设总数为120,那么甲每天做5,乙每天做4
8*(5+4)=72
120-72=48
48/6=8
120/8=15
5、一项工程,甲队独做20天完成,乙队独做30天完成,现在他们两队一起做,其间甲队休息了4天,乙队休息若干天,从开始到完工共用了16天,问乙队休息了多少天?
----------------------------------
设总量为60,甲每天3,乙2
甲休息的4天,乙单独做,乙休息的X天,甲单独做
所以有4*2+3X+5*(12-X)=60
X=4
6、修一段公路,甲队独做要用40天,乙队独做要用24天,现在两队同时从两端开工,结果在距中点750米处相遇。
这段公路长多少米?
---------------------------------
效率相当于是速度
路程一定,速度比是时间比的反比,所以V甲:
V乙=3:
5
多2份对应2*750
所以总的就是4*2*750=6000
7、一项工程,甲乙两队合作需12天完成,乙丙两队合作需15天完成,甲丙两队合作需20天完成,问由甲乙丙三队合作需几天完成?
---------------------------------
1/12+1/15+1/20=1/5
1/X+1/Y+1/Z=1/10
所以需要10天
8、加工一批零件,甲乙合作24天可以完成,现在由甲先做16天,然后乙再做12天,还剩这批零件的2/5没有完成,已知甲每天比乙多加工3个零件,这批零件共有多少个?
-----------------------------------
甲乙合作12天完成了工作的12*1/24=1/2
甲的工效为:
(3/5-1/2)÷4=1/40
乙的工效为:
1/24-1/40=1/60
这批零件共:
3÷(1/40-1/60)=360个
9、一件工作甲先做6小时,乙接着做12小时可以完成;甲先做8小时,乙接着做6小时也可以完成。
如果甲先做3小时后由乙接着做,还需要多少小时完成?
------------------------------------
效率比为(8-6):
(12-6)=1:
3
3*3+12=21
10、甲乙丙三人合作完成一件工程,共得报酬1800元。
三人完成这项工作的情况是:
甲乙合作8天完成工程的1/3;接着乙丙又合作2天,完成余下的1/4;以后三人合作5天完成了这项工程。
按劳付酬,各人应得报酬多少元?
-------------------------------------
甲乙合作8天完成工程的1/3,所以:
1/Y+1/Z=1/12
乙丙又合作2天,完成余下的1/4:
1/Y+1/X=1/24
三人合作5天完成了这项工程:
1/Y+1/X+1/Z=1/10
算出来1/X=1/60 1/Y=1/40 1/Z=1/15
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双龙-陵少7楼 10-10-2820:
32
鸡兔同笼的解法和认识
在公务员考试里面,破瓶子题型与之类似
有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只?
-----------------------------
假设全部是兔子,那么应该有88*4=352只脚,现在只有244只,少了
352-244=108只脚,多1只鸡就要少2只脚。
所以鸡的数量就是
108/2=54 兔88-54=34
有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元。
结果得到运费379。
6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?
--------------------------------
假设没有破损的。
总运费为200*2=400元
现在少得了400-379.6=20.4元
破一只就要损失2-(-10)=12角=1.2元
所以总的破损了20.4/1.2=17只
蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。
现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀。
每种小虫各几只
------------------------------------
18*6=108
多一只蜘蛛就多了两条腿,所以蜘蛛有10/2=5只
5只蜘蛛少5对翅膀,多一只蜻蜓就多1对翅膀
所以蜻蜓比蜘蛛多2只5+2=7
所以就有蜘蛛5只,蜻蜓7只,禅6只
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双龙-陵少8楼 10-10-2820:
32
应朋友要求,再次说说牛吃草!
这次的题比较全,希望大家好好的复习!
牛吃草问题
关键有三点
1 设一头牛1天吃1份草
2 算出草增加或者减少的速度
3 算出总量
牛吃草三步法:
1、算出增长速度(大的头数*天数-小的头数*天数)/(天数差)
2、根据增长速度算出总量
3、得出答案
例题1
牧场上有一片青草,每天牧草都匀速生长,这片草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天。
问可供25头牛吃多少天?
---------------------------------------
解析:
设1头牛1天吃1份草,原有草量M,草长的速度为X
10头牛20天吃的草量=原有草量+20天长出来的草量
15头牛10天吃的草量=原有草量+10天长出来的草量
观察上面的式子发现:
原有草量M是不变的
所以:
10*20-15*10=(20-10)X
X=5
再来算原有草量:
10*20-20*5=100(或者15*10-10*5=100)
设25头牛可以吃Y天
所以
100+5Y=25Y----------------------Y=5
PS:
一般做熟悉了,直接就是
(10*20-15*10)/(20-10)=5--------------草长的速度
10*20-5*20=100---------------------------------原有量
100+5X=25X
X=5
例题2
一只船发现漏水时,已经进了一些水,水匀速进入船内,如果10人淘水,3小时淘完;如果5人淘水,8小时淘完,如果要求2小时淘完,要安排多少人?
--------------------------------------------------------------------------
此题是牛吃草问题的变型!
设每人每小时淘水量为“1”
每小时漏进船的水量为:
(5*8-10*3)/(8-3)=2
发现时船内的水量为:
5*8-2*8=24
24+2*2=2*X
X=14(人)
例题3
超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款,每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。
某天某时刻,超市如果只开设一个收银台,付款开始4小时就没有顾客排除了,问如果当时开设两个收银台,则付款开始几小时就没有顾客排队了
A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时
----------------------------------------------------------------------------------------
此题和牛吃草的题类似
一个收银台4小时接收的顾客为80*4=320
每小时排队的顾客是4*60=240
所以没开收银台时已经有320-240=80人排队
80+60X=2*80X
X=0.8
难度较大的牛吃草题:
有三块草地,面积分别是5,15,24亩,草地上的草一样厚,而且长得一样快,第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块草地可供多少头牛吃80天?
--------------------------------------------------------
设1头牛1天吃的草为“1”
(1)第一块草地中的草和30天长出来的草一共是:
10*30=300
所以一亩地中原有草及30天长出来的草为:
300/5=60
(2)同理算第二块草地
28*45/15=84
(3)因此1公亩草地每天新长出的草量:
(84-60)/(45-30)=8/5
(4)1公亩地原有草量为:
60-30*8/5=12
第三块草地原有草为12*24=288
24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072,24亩80天共有草量3072+288=3360,所有3360/80=42(头)
解法二:
10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩,根据28头牛45天吃15木,可以推出15亩每天新长草量(28*45-30*30)/(45-30)=24;15亩原有草量:
1260-24*45=180;15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛:
(180/80+24)*(24/15)=42头
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双龙-陵少9楼 10-10-2820:
32
浓度问题几种常见题型
一般的解法有以下几种
根据溶质的量不变,列方程
根据混合前两种溶液的浓度和溶液量进行十字相乘法
特殊值法
甲杯中有浓度17%的溶液400克,乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克,现
在从甲,乙取出相同质量的溶液,把甲杯取出的倒入乙杯中,把乙杯取出的
倒入甲杯中,使甲,乙两杯溶液的浓度相同,问现在两溶液浓度是多少?
()
----------------------------------
解法一:
17 23-x 400 2
x
23 x-17 600 3
2x-34=69-3x x=20.6
解法二:
假设他们全部混合
(17%*400+23%*600)/(400+600)=20.6%
现有一种预防禽流感药物配置成的甲,乙两种不同浓度的消毒溶液.若从甲中取2100克,乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3%; 若从甲中取900克,乙中取2700克.则混合而成的消毒溶液的浓度为5%.则甲,乙两种消毒溶液的浓度分别为( )
A 3%6% B 3%4% C 2%6% D 4%6%
----------------------------------------
解法一:
根据溶质不变,解二元一次方程组
2100*a+700*b=2800*0.03
900*a+2700*b=2800*0.03
0.02
0.06
解法二:
第一次混合后浓度为3%,所以一种小于3%,一种大于3%
第二次混合后浓度为5%,所以一种小于5%,一种大于5%
所以有,一种大于5%,一种小于3%。
直接秒C了
甲,乙两种含金样品熔成合金,如甲的重量是乙的一半,得到含金68%的合金;如甲的重量是乙的3.5倍,得到含金62 2/3%的合金。
则乙的含金百分数为多少?
A.72% B.64% C.60% D.56%
---------------------------------------
据题中“如甲的重量是乙的一半,得到含金68%的合金;如甲的重量是乙的3.5倍,得到含金62 2/3%的合金。
”可以看出,乙的重量所占比例要是高,则合金的含金量高,乙的重量所占比例低,则合金的含金量低,由此可以判断出,乙的含金量大于甲的含金量。
又因为,有一块合金的含金量为68%,所以必定甲乙一个大于68%,一个小于68%。
根据上一段的结论,则推出,乙的含金量一定大于68%,则只有A答案
每次加同样多的水,第一次加水浓度15
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