43分部积分法习题.docx
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43分部积分法习题
第4章不定积分分部积分法习题解
1.求以下不定积分:
⑴xsinxdx;
【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积,能够考虑套用分部积分公式,
应将乘积中的
sinx作为先积分部份,得
xsinxdx
xd(cosx)
----
sinxdx
cosx
c
xcosx
cosxdx
----
udvuv
vdu
xcosx
sinxc
----
cosxdx
sinx
c
⑵arcsinxdx;
【解】被积函数已经拥有udv的构造,能够考虑直接套用分部积分公式,得
arcsinxdxxarcsinx
xdarcsinx
----
udv
uv
vdu
xarcsinx
1
dx
----
整理
x
1
x2
xarcsinx
1
1
d(1x2)
----
d(1
x2)
2xdx
21x2
xarcsinx1x2c
⑶xln(x1)dx;
【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积,能够考虑套用分部积分公式,
乘积中有不行独立积分的ln(x1),则应将另一部份x作为先积分部份,得
xln(x1)dx
ln(x1)d
1
x2
----
xdx
1
x2
c
2
2
1x2ln(x
1)
1x2dln(x
1)
----
udv
uv
vdu
2
2
1x2ln(x
1)
1
x2
1
dx
----
整理
2
2
x1
1x2ln(x
1)
1
(x
1
1
)dx
----化假分式为多项式
+真分式
2
2
x
1
1x2ln(x
1)
1(1x2
x
lnx1)
c
2
2
2
1
(x2
1)ln(x
1)
1
x2
1
x
c
2
4
2
1
第4章不定积分分部积分法习题解
⑷xexdx;
【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积,能够考虑套用分部积分公式,
应将乘积中的ex作为先积分部份,得
xexdx
xd(
ex)
----
exdx
ex
c
xex
exdx
----
udvuv
vdu
xex
ex
c
----
exdx
ex
c
(x
1)ex
c
⑸excosxdx;
【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积,能够考虑套用分部积分公式,
【解法一】将乘积中的ex作为先积分部份,得
excosxdx
cosxd(
ex)
----
exdx
ex
c
excosx
exdcosx
----
udv
uv
vdu
excosx
exsinxdx
----
dcosx
sinxdx
excosx
sinxd(
ex)
----
exdx
ex
c
excosx
[
exsinx
exdsinx]
----
udv
uv
vdu
ex(sinx
cosx)
excosxdx
----
dsinx
cosxdx
即有
e
x
cos
e
x
(sinx
cosx)e
x
cosxdx
xdx
移项、整理得
2excosxdx
ex(sinx
cosx)
C1
整理得积分结果
excosxdx
1
ex(sinx
cosx)
c
2
【解法二】将乘积中的
cosx作为先积分部份,得
excosxdx
exdsinx
----
cosxdx
sinx
c
exsinx
sinxdex
----
udv
uv
vdu
exsinx
(
ex)sinxdx
----
dex
exdx
2
第4章不定积分分部积分法习题解
exsinx
exd(
cosx)
----
sinxdx
cosx
c
exsinx
ex(cosx)
(cosx)dex
----
udv
uvvdu
ex(sinx
cosx)
(
cosx)(ex)dx
----
dex
exdx
ex(sinx
cosx)
excosxdx
----
整理
x
cos
x
x
即有
e
xdxe(sinx
cosx)
e
cosxdx
将右侧的积分项移到左侧,整理得
2
excosxdx
ex(sinxcosx)
最后得积分结果
excosxdx
1
ex(sinx
cosx)
c
2
⑹x2arctanxdx;
【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积,能够考虑套用分部积分公式,
乘积中有不行独立积分的
arctanx,则应将另一部份
x2作为先积分部份,得
x2arctanxdxarctanxd1x3
----
x2dx
1x3
c
3
3
1x3arctanx
1x3darctanx
----
udv
uv
vdu
3
3
1
x3arctanx
1
x3
1
12
dx
----
darctanx
1
1
2dx
3
3
x
x
1x3arctanx
1
(x
1
x
2)dx
----
化假分式为多项式
+真分式
3
3
x
1x3arctanx
1(1x2
1
x
dx)
----
分别积分
3
3
2
x2
1x3arctanx
1
[1x2
1
1
2
d(1
x2)]
----
d(1
x2)
2xdx
3
3
2
2
1x
1x3arctanx
1[1x2
1ln(1
x2)]
c
----
1du
lnu
c
3
3
2
2
u
1x3arctanx
1x2
1ln(1
x2)
c
----
整理
3
6
6
⑺xcosxdx;
2
【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积,能够考虑套用分部积分公式,
将乘积中的cosx作为先积分部份,得
2
cosxdx
2cosxdx
2sinx
xcosxdx
xd2sinx
----
c
2
2
2
2
2
2
3
第4章不定积分分部积分法习题解
x
2
x
----
udv
uv
vdu
2xsin
sindx
2
2
x
2(
2cos
x
c----
x
dx
x
x
2cos
x
2xsin
)
sin
2sin
d
c
2
2
2
2
2
2
2xsinx
4cosx
c
----
整理
2
2
⑻lnxdx;
【解】积分式已经拥有udv的形式,能够直接套用分部积分公式,得
lnxdx
xlnx
xdlnx
----
udv
uv
vdu
xlnx
x
1
----
dlnx
1
dx
dx
x
x
xlnx
dx
----
整理
xlnx
x
c
----
dx
x
c
x(lnx
1)
c
⑼xsinxcosxdx;
【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积,能够考虑套用分部积分公式,
【解法一】将乘积中的
cosx作为先积分部份,得
xsinxcosxdx
xsinxdsinx
----
cosxdx
sinxc
xd
1
sin2x
----仍为两不一样种类函数的乘积
--
xudu
xd
1
u2
2
2
1xsin2x
1sin2xdx
----
udv
uv
vdu
2
2
1xsin2
x
11
cos2xdx
----
sin2x
1
cos2x
2
2
2
2
1xsin2x
1(x
cos2xdx)
----
分别积分
2
4
1
xsin2
x
1
(x
1
cos2xd2x)
----
d2x
2dx
2
4
2
1
xsin2x
1
(x
1
sin2x)
c
----
cosudu
sinu
c
2
4
2
1xsin2
x
1x
1sin2xc
----
整理
2
4
8
【此题解答案与课本后答案能够互化:
1xsin2x
1x
1sin2x
c
1x1
cos2x
1x
1sin2x
c
2
4
8
2
2
4
8
4
第4章不定积分分部积分法习题解
1
1
xcos2x
1
1
c
1
1
x
x
sin2x
xcos2x
sin2xc】
4
4
4
8
4
8
【解法二】为利于积分的进行,先将乘积中的
sinxcosx化简为1
sin2x,并将其作为先积
2
分部份,得
xsinxcosxdx
1
xsin2xdx
----
sinxcosx
1sin2x
2
2
1
xd(
1cos2x)
----sin2xdx
1cos2x
c
2
2
2
1[
1xcos2x
(1cos2x)dx]
----
udv
uv
vdu
2
2
2
1xcos2x
1
cos2xdx
----
整理
4
4
1
xcos2x
1
cos2xd2x
----
d2x
2dx
4
8
1xcos2x
1sin2x
c
----
cosudu
sinu
c
4
8
⑽xtan2xdx;
【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积,能够考虑套用分部积分公式,
为便于积分,先将乘积中的
tan2x化为易于积分的sec2
x
1
,得
xtan2xdx
x(sec2x
1)dx
----
tan2x
sec2x1
(xsec2xx)dx
----
整理
1
x2
xsec2xdx
----
分别积分
2
1x2
xdtanx
----
sec2xdx
tanx
c
2
1x2
xtanx
tanxdx
----
udv
uv
vdu
2
1x2
xtanx
sinxdx
----
tanx
sinx
2
cosx
cosx
1
x2
xtanx
1
dcosx
----dcosx
sinxdx
2
cosx
1
x2
xtanx
lncosx
c
----
1
du
lnuc
2
u
ln3x
⑾
x
2dx;
【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积,能够考虑套用分部积分公式,
5
第4章不定积分分部积分法习题解
乘积中有不行独立积分的
ln3x,则应将另一部份
1作为先积分部份,得
x2
3
xdxln3xd1
12dx
ln2
----
1
c
x
x
x
x
ln3x
1dln3x
----
udv
uv
vdu
x
x
ln3x
1
3ln2xdx
----
dln3x
3ln2x
1dx
x
x
x
x
ln3x
3ln2xdx
----
整理,并再次应用上边的方法
x
x2
ln3x
3ln
2
1
----
1
1
c
x
xd
x
2dx
x
x
ln3x
3ln2x
1
d3ln2x
----
udvuv
vdu
x
x
x
ln3x
3ln2x
1
6lnx
1dx
----
d3ln2x
32lnx1dx
x
x
x
x
x
ln3x
3ln2
x
6ln
x
----
整理,并再次应用上边的方法
x
x
x
2
dx
ln3x
3ln2x
6lnxd
1
----
12dx
1
c
x
x
x
x
x
ln3x
3ln2x
6lnx
1
d6lnx
----
udv
uv
vdu
x
x
x
x
ln3x
3ln2x
6lnx
6
1
----
d6lnx
6
x
x
x
2dx
dx
x
x
ln3x
3ln2x
6lnx
6
c
----
12
dx
1
c
x
x
x
x
x
x
1(ln3x3ln2
x6lnx
6)
c
----
整理
x
⑿(arcsinx)2dx;
【解】积分式已经拥有udv的形式,能够直接套用分部积分公式,得
6
第4章不定积分分部积分法习题解
(arcsinx)2dx
x(arcsinx)2
xd(arcsinx)2
----
udv
uv
vdu
x(arcsinx)2
x2arcsinxdx----
d(arcsinx)2
2arcsinx
1
dx
1
x2
1
x2
x(arcsinx)2
arcsinx
2x
dx
----整理
1
x2
x(arcsinx)2
arcsinxd(
2
1
x2)
----
2x
dx
1
x2
d(1
x2)
2
1
x2
c
1
x2
1
x(arcsinx)2
[
2
1
x2arcsinx
(
2
1
x2)darcsinx]
----
udv
uv
vdu
x(arcsinx)2
2
1
x2arcsinx
2
1
x2
1
dx
1
x2
----
darcsinx
1
dx
1
x2
x(arcsinx)2
2
1
x2
arcsinx
2
dx
----
整理
x(arcsinx)2
2
1
x2arcsinx
2x
c
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