初中数学知识点框架详完整版.docx
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初中数学知识点框架详完整版
HUAsystemofficeroom【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
初中数学知识点框架详
一、数
实数
1.算术平方根:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根,记作
。
0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a≥0时,a才有算术平方根。
2.平方根:
一般地,如果一个数x的平方根等于a,即x2=a,那么数x就叫做a的平方根。
3.正数有两个平方根(一正一负)它们互为相反数;0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根。
4.正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。
5.数a的相反数是-a,一个正实数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0
6.根式运算
.实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念,知道实数和数轴上的点一一对应,能估算无理数的大小;了解实数的运算法则及运算律,会进行实数的运算。
重点是实数的意义和实数的分类;实数的运算法则及运算律。
有理数
知识概念
1.有理数:
(1)凡能写成
形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:
0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;不是有理数;
(2)有理数的分类:
①
②
2.数轴:
数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3.相反数:
(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;
(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.
4.绝对值:
(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)绝对值可表示为:
或
;绝对值的问题经常分类讨论;
5.有理数比大小:
(1)正数的绝对值越大,这个数越大;
(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0,小数-大数<0.
6.互为倒数:
乘积为1的两个数互为倒数;注意:
0没有倒数;若a≠0,那么
的倒数是
;若ab=1a、b互为倒数;若ab=-1a、b互为负倒数.
7.有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
8.有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:
a+b=b+a;
(2)加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
9.有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
10有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.
11有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:
ab=ba;
(2)乘法的结合律:
(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:
a(b+c)=ab+ac.
12.有理数除法法则:
除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:
零不能做除数,
.
13.有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:
当n为正奇数时:
(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:
(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.
14.乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;
15.科学记数法:
把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.
16.近似数的精确位:
一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
17.有效数字:
从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.
18.混合运算法则:
先乘方,后乘除,最后加减.
有理数要求学生正确认识有理数的概念,在实际生活和学习数轴的基础上,理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
重点利用有理数的运算法则解决实际问题
体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣,教师培养学生的观察、归纳与概括的能力,使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。
教师在讲授本章内容时,应该多创设情境,充分体现学生学习的主体性地位。
二、式
式
知识概念
1.单项式:
在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。
或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.
2.单项式的系数与次数:
单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数.
3.多项式:
几个单项式的和叫多项式.
4.多项式的项数与次数:
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数。
通过本章学习,应使学生达到以下学习目标:
1.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念,弄清它们之间的区别与联系。
2.理解同类项概念,掌握合并同类项的方法,掌握去括号时符号的变化规律,能正确地进行同类项的合并和去括号。
在准确判断、正确合并同类项的基础上,进行整式的加减运算。
3.理解整式中的字母表示数,整式的加减运算建立在数的运算基础上;理解合并同类项、去括号的依据是分配律;理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。
4.能够分析实际问题中的数量关系,并用还有字母的式子表示出来。
整式的乘除与分解因式
1.同底数幂的乘法法则:
(m,n都是正数)
2..幂的乘方法则:
(m,n都是正数)
3.整式的乘法
(1)单项式乘法法则:
单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
(2)单项式与多项式相乘:
单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
(3).多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
4.平方差公式:
5.完全平方公式:
6.同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
(a≠0,m、n都是正数,且m>n).
在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即
如
(-2.50=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即
(a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的;当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如
④运算要注意运算顺序.
7.整式的除法
单项式除法单项式:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;
多项式除以单项式:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.
8.分解因式:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
分解因式的一般方法:
1.提公共因式法2.运用公式法3.十字相乘法
分解因式的步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
整式的乘除与分解因式这章内容知识点较多,表面看来零碎的概念和性质也较多,但实际上是密不可分的整体。
在学习本章内容时,应多准备些小组合作与交流活动,培养学生推理能力、计算能力。
在做题中体验数学法则、公式的简洁美、和谐美,提高做题效率。
分式
知识概念
1.分式:
形如A/B,A、B是整式,B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。
其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
2.分式有意义的条件:
分母不等于0
3.约分:
把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去,这种变形称为约分。
4.通分:
异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分。
分式的基本性质:
分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。
用式子表示为:
A/B=A*C/B*CA/B=A÷C/B÷C(A,B,C为整式,且C≠0)
5.最简分式:
一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.
6.分式的四则运算:
1.同分母分式加减法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为:
a/c±b/c=a±b/c
2.异分母分式加减法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为:
a/b±c/d=ad±cb/bd
3.分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为:
a/b*c/d=ac/bd
4.分式的除法法则:
(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc
(2).除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数:
a/b÷c/d=a/b*d/c
7.分式方程的意义:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
8.分式方程的解法:
①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
分式和分数有着许多相似点。
教师在讲授本章内容时,可以对比分数的特点及性质,让学生自主学习。
重点在于分式方程解实际应用问题。
三、方程
一元一次方程
知识概念
1.一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
2.一元一次方程的标准形式:
ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).
3.一元一次方程解法的一般步骤:
整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为1……(检验方程的解).
4.列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:
…………多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:
“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
(2)画图分析法:
…………多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
5.列方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题:
距离=速度·时间
;
(2)工程问题:
工作量=工效·工时
;
(3)比率问题:
部分=全体·比率
;
(4)顺逆流问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题:
售价=定价·折·
,利润=售价-成本,
;
(6)周长、面积、体积问题:
C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab,C正方形=4a,
S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πR2h,V圆锥=
πR2h.
本章内容是代数学的核心,也是所有代数方程的基础。
丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣,所以要注意引导学生从身边的问题研究起,进行有效的数学活动和合作交流,让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识,提升能力,体会数学思想方法。
二元一次方程组
知识概念
1.二元一次方程:
含有两个未知数,并且未知数的指数都是1,像这样的方程叫做二元一次。
方程,一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程组:
把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解:
一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4.二元一次方程组的解:
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
5.消元:
将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。
6.代入消元:
将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法。
7.加减消元法:
当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。
本章通过实例引入二元一次方程以及二元一次方程组的概念,培养学生对概念的理解和完整性和深刻性,使学生掌握好二元一次方程组的两种解法.重点:
二元一次方程组的解法,列二元一次方程组解决实际问题.难点:
二元一次方程组解决实际问题
不等式与不等式组
知识概念
1.用符号“<”“>”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解:
使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
3.不等式的解集:
一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
4.一元一次不等式:
不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。
5.一元一次不等式组:
一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成6.了一个一元一次不等式组。
7.定理与性质
不等式的性质:
不等式的基本性质1:
不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
不等式的基本性质2:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
不等式的基本性质3:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
本章内容要求学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程,体会不等式(组)的特点和作用,掌握运用它们解决问题的一般方法,提高分析问题、解决问题的能力,增强创新精神和应用数学的意识。
四、平面直角坐标系
平面直角坐标系
知识概念
1.有序数对:
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记做(a,b)
2.平面直角坐标系:
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点:
水平的数轴称为x轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标:
对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限:
两条坐标轴把平面分成四个部分,右上部分叫第一象限,按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡,同时它又是学习函数的基础,起到承上启下的作用。
另外,平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来,体现了数形结合的思想。
掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。
教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发,通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。
五、函数
一次函数
知识概念
1.一次函数:
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。
2.正比例函数一般式:
y=kx(k≠0),其图象是经过原点(0,0)的一条直线。
3.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线,当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大,当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小,在一次函数y=kx+b中:
当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。
4.已知两点坐标求函数解析式:
待定系数法
一次函数是初中学生学习函数的开始,也是今后学习其它函数知识的基石。
在学习本章内容时,教师应该多从实际问题出发,引出变量,从具体到抽象的认识事物。
培养学生良好的变化与对应意识,体会数形结合的思想。
在教学过程中,应更加侧重于理解和运用,在解决实际问题的同时,让学习体会到数学的实用价值和乐趣。
反比例函数
知识概念
1.反比例函数:
形如y=
(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k
2.图像:
反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴:
直线y=x和y=-x。
对称中心是:
原点
3.性质:
当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小;
当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义:
表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
在学习反比例函数时,教师可让学生对比之前所学习的一次函数启发学生进行对比性学习。
在做题时,培养和养成数形结合的思想。
二次函数
.知识概念
1.二次函数:
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
一般式:
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。
2.二次函数的解析式三种形式。
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式
交点式
3.二次函数图像与性质
对称轴:
顶点坐标:
与y轴交点坐标(0,c)
4.增减性:
当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大
当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小
5.二次函数图像画法:
勾画草图关键点:
开口方向对称轴顶点与x轴交点与y轴交点
6.图像平移步骤
(1)配方
,确定顶点(h,k)
(2)对x轴左加右减;对y轴上加下减
7.二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形,有这样一个结论:
当横坐标为x1,x2其对应的纵坐标相等那么对称轴
8.根据图像判断a,b,c的符号
(1)a——开口方向
(2)b——对称轴与a左同右异
9.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根。
抛物线y=ax2+bx+c,当y=0时,抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0
>0时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与x轴有两个交点;
=0时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与x轴有一个交点;
<0时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与x轴没有交点
二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.教师在讲解本章内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。
锐角三角函数
知识概念
1.Rt△ABC中
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sinA=
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦,记作cosA=
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tanA=
(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切,记作cota=
2.特殊值的三角函数:
a
sina
cosa
tana
cota
30°
45°
1
1
60°
本章内容使学生了解在直角三角形中,锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的;通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。
并能应用这些概念解决一些实际问题。
六、图形与投影
图形的认识初步
本章的主要内容是图形的初步认识,从生活周围熟悉的物体入手,对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形,初步认识立体图形与平面图形的联系.在此基础上,认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段和角.本章书涉及的数学思想:
1.分类讨论思想。
在过平面上若干个点画直线时,应注意对这些点分情况讨论;在画图形时,应注意图形的各种可能性。
2.方程思想。
在处理有关角的大小,线段大小的计算时,常需要通过列方程来解决。
3.图形变换思想。
在研究角的概念时,要充分体会对射线旋转的认识。
在处理图形时应注意转化思想的应用,如立体图形与平面图形的互相转化。
4.化归思想。
在进行直线、线段、角以及相关图形的计数时,总要划归到公式n(n-1)/2的具体运用上来。
相交线与平行线
知识概念
1.邻补角:
两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角:
一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线:
两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角:
同位角:
∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角:
∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角:
∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.命题:
判断一件事情的语句叫命题。
7.平移:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移平移变换,简称平移。
8.对应点:
平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。
9.定理与性质
对顶角的性质:
对顶角相等。
10垂线的性质:
性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
11.平行公理:
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
12.平行线的性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等。
性质2:
两直线平行,内错角相等。
性质3:
两直线平行,同旁内角互补。
13.平行线的判定:
判定1:
同位角相等,两直线平行。
判定2:
内错角相等,两直线平行。
判定3:
同旁内角相等,两直线平行。
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案.重点:
垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用.难点:
探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。
三角形
知识概念
1.三角形:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系:
三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于
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