泛函分析习题标准答案.docx
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泛函分析习题标准答案
作业题答案提示
1、
第二章度量空间
试问在R上,x,yxy2能定义度量吗?
答:
不能,因为三角不等式不成立。
如取
x=l,z=0,y=1;
则有x,y4,而x,z1,乙x
试证明:
(1)x,y
了度量。
证:
(1)仅证明三角不等式。
(2)
1
故有xy|2
仅证明三角不等式
1
xy|2;
(2)
注意到
1
zy|2
x,y
xy在R上都定义
xy
易证函数x几在R上是单调增加的,所以有
从而有
ab
a|
|b
iaib
1
ab
1
al
b
1a1|b|
令x,y,zR,令az
x,byz
|y
|yz|
1|yz
4.试证明在C1a,b上,
b
(x,y)x(t)y(t)dt(2.3.12)
aI
定义了度量。
证:
(1)(x,y)
x(t)y(t)0(因为x,y是连续函数)
(x,y)
(x,y)(y,x)显然成立。
b
a*®
(x,y)
b
a
b
y(t)dt
x(t)z(t)dt|z(t)y(t)dt
b
a
ax(t)Z(t)dt
(x,z)(z,y)
z(t)y(t)dt
5•试由
Cauchy-Schwarz
不等式证明
证:
Xi
Xi
2
12
n
Xi
i1
i1
i1
Xi
2nn
i1
i1
n
8•试证明下列各式都在度量空间
R,1和RR的Descartes积
RR1R2上定义了度量
max1,2
221/2
(1)12;
(2)~(12);(3)
证:
仅证三角不等式。
(1)略。
22—
1(X1,yj2(X2,y2)]2
222
1(%,乙)1(乙畀)
1(X2,Z2)
2(Z2,财
1
1(X1,Z1)12(乙,yj2
2(X2,Z2)
;亿』2)
n
1
22
1
n22
%X,Z)%z,y)
ii
2
i
1
n
i1
i1
%x,y)[
1
2
1
22
12至i
i1
2(X2,Z2)}
max{1(X1,zj1(乙,%),2(X2,z?
)
max[1(捲,乙)1(Z1,yJ]max[2(x2,Z2)2(X2,Z2)]
%Z,y)
%X,z)
9、试问在C[a,b]上的B(Xo;1)是什么?
C[a,b]上图像以xo为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集合。
10、试考虑C[0,2]并确定使得yB(x,r)的最小r,其中
xsint,ycost。
(X,y)sup
sintcost
sup42
sin(t—)
t[0,2]
t[0,2]
4
11.试证明在离散度量空间中,每个子集既是开的又是闭的设A是离散度量空间X的任一子集。
1、
aA,开球B(a,-){a}A,故A事开集。
2
同样道理,知AC是开的,故A(AC)C又是闭集。
12.设Xo是MR的聚点,试证明X。
的任何邻域都含有M的无限多个点。
证:
略。
13.
(1)若度量空间R中的序列{Xn}是收敛的,并且有极限X,试证明{Xn}的每个子序列{Xnk}都是收敛的,并且有同一极限。
(2)若{Xn}是Cauchy序列,并且存在收敛的子序列{%},XnkX,试证明{Xn}也是收敛的,并且有同一极限。
(1)略
(2),N,当m,nkN时,有
(Xm,Xnkl),(札山({Xn}是CaUChy序列且$X)
因此,当mN时,(xm,x)风皿)(Xn『x)--
18.试证明:
Cauchy序列是有界的
证明:
若xn是Cauchy序列,则存在叭),使得对于一切nn。
有Xn,Xn。
1,因此,对于一切n,有
Xn,Xn0max1,Xi,Xn0,…,X.。
i,X%
19.若Xn和yn都是度量空间x中的Cauchy列,试证明:
Xn,yn是收敛的。
证:
根据三角不等式,有
冋样有:
mnXn,Xmym,yn
而R是完备的,则n是收敛的
34.若X是紧度量空间,并且MX是闭的,试证明M也是紧的
证明:
因为X是紧的,故M中任一序列Xn有一个在Xn中收敛的子序列Xnk。
不妨设XnkXX,则有XM。
又因M是闭的,所
以XM,因此M是紧的
第三章线性空间和赋范线性空间
10.试证明下列都是Rn上的范数
1
n22
⑵X2Xi;(3)X
i1
12
n2
XXi是范数吗?
i1
(1)、
(2)和(3)的证明略
12n2
XXi不是范数,不满足三角不等式。
i1
以R为例,令X1,0,y0,1则X|y1,Xy4
13.试证明
(1)C、Co和lo都是丨的线性空间,其中C是收敛数列
集;Co是收敛数列0的数列集;lo是只有有限个元素的数列集。
(2)Co还是1的闭子空间,从而是完备的。
(3)lo不是丨的闭子空间。
证明:
(2)设X为入…Co,Xn,…,使得
XnXn•则有任意的o,N使得对于一切j,
当2V时有<2,又因为^EC°,所以叫当◊化时
从而有
1^1
<-詁;+
p(n) Xk~Xk +1呼 =lXm-zl +lx^l 于是XjTO0TOO),故庄q 14.试证在赋范线性空间X中,级数的收敛性,并不蕴含级 00 数・的收敛性。 rOtiHn lyj=^p 8 n co 令儿=硏)} Zw= 于是,“In=in收敛 Ey»=1(? ,V,jeiO 但,-■ 15.设「•是赋范线性空间,若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性,贝「是完备的。 证: 设{Xn}是X中任一Cauchy列,贝UkN,nk,s.t.当m,nnk时,||Sn-Sm2k。 而且对一切的k,可选取nk1>nk,从而{Snk}是{Sn}的一个子列,并且令Xi=Snl,Xk=Sn-Snk,则{Snk}是级数Xk的部分和序列,从而 X』|SkSki||XiXi2(k1)Xi1 k2k2 于是Xk绝对收敛,故Xk收敛。 不妨设SnkSX,由于{Xn}是Cauchy列,故 SSIISnSnkI||SnkS° 又由于{Sn}是任意的,故证明X是完备的。 17.设(X,? i)和(X,? 2)是赋范线性空间,试证明其Descarts积X=X1*X2在定义范数|x|=max{|x「,x^2}后也成为赋范线性空间。 证: (1)X=0|X11=X2|2=0X=(0,0)= (2)|X=max{|X11,|X22}=||max{X11,X22}=||x (3)设X=(X1,X2),y=(y,y2),则 xymax{x1『5X2y22} max{x11y11,x22y22}max{x11,x22}max{y11,y^} 20. (1)若? 和? o是X上任意两个等价范数,试证明(X,? )和(X,? o)中的Cauthy序列相同 (2)试证明习题10中的三个范数等价 证: 设{Xn}是(X,? )中的任一Cauthy序列,即 0,NN,当n,m>N时,Xn-Xm 由于和0是X上任意两个等价范数,所以存在正数a,b 使a? ? ob? (*) 于是当nm>N时,有 即Xn是(X,? 0)中的Cauthy序列。 反之,若{Xn}是(X,? 0)中的Cauthy序列,则由(*)左边不等式,可证{Xn} 是(X,? )中的Cauthy序列。 (2)Rn是有限维赋范线性空间,其上的范数都是等价的。 20 (2)的直接证明: 证明在中,范数? 1、? 2和? 等价,其中 nn1 /2辽 X1x;x2(xj;xmaxXj i1i1; xx2vnix, 故? 2和? 等价。 2o由Cauchy-Schwart不等式,得, 再有 故有 我们得 防X2X1 x 2 n1 (Xi2)2 i1 n1 [(Xi)2]2X1 i1 故? 1与? 2等价 29.若T: DT 丫是可逆的线性算子,X1,...,Xn是线性无关的, 试正明TX1,…,TXn也是线性无关的. 证: 若存在入1,...,屁€①且不全为零,使得 1Tx1…nTXn0, 则由于T1存在且为线性的,故 与X1,...,Xn线性无关矛盾。 32.若T是有界性算子,试证明对满足|x1的任意XDT,都 有TxT. 思路: 由|TxT||x即证结论。 33.设T: ""使得TxX1字.,试证明TB1,1 证: 设XX|,X2,...,Xn,..., yy1,y2,...,yn,…,贝U tix2y X2 1Xi2y1,1— 2 X2 1X1,,... 2 一1122 从而T是线性算子. 所以I,l,且|1. 进一步可以证明1. 37.设T: C10,1C10,1,使得Txt: xd,t0,1. (1)试求RT和T1: RTC10,1; (2)试问T1BRT,C10,1吗? (1)RT是满足y00且在0,1上连续可微分的函数构成的 C10,1的子空间,且T1yy't,t0,1。 (2)T1是线性的,但是无界的。 事实上,tn'ntn1,蕴含着TJn 1 38.在C[0,1]上分别定义Sx(t)t°x(s)ds和Tx(t)tx(t) (1)试问S和T是可交换的吗? ⑵试求Sx,Tx,STx和TSx 修改S,T,ST,TS 1 (1)ST(x)S(tx(t))t°sx(s)ds, 故STTS,S和T不是可交换的 1 ⑵Sxo|xdsx|, 所以S1 令x1,t[0,1] 则1sxs||xs 于是S1 使得 类似可求: t|1,|st1,|ts1 39.在Xbr上定义范数|xsupx(t),并设T: XXtR Tx(t)x(t),其中0试证明TB(X,X)。 证: x,yX,贝U t(1x2V)=1x(t-)+2y(t-)=1Tx2Ty, 即T是线性算子 Tx=SUpx(t)=SUpx(t)=x, tRtR T1 40、证明下列在Ca,b上定义的泛函是有界线性泛函: (1)f1(x): x(t)yo(t)dt,y0Ca,b固定; (2)f2(x)x(a)x(b),,R固定 证: (1)线性性略 令B=maxy°(t)=y, ta,b 则有f(x)bBxdx=B(b-a)x, 1a 故有f1B(b-a) (2)略 41、设C11,1上的线性泛函f定义为 01 f(x)1x(t)dt0x(t)dt,试求f解: xC11,1, 01 fxx1dt0dt2x, 所以f2, 1 1丄 11 12n tndt 2 tndt 2g―-—— f 0 0 [1n1 n 取xttn,n为正奇数, 0- fxtndt 1 由于sup*2,故f2. n1 综上所述,|f|2。 44. xt maxta,b x't (1)在C11,1上定义xmax ta,b 试证明? 是c11,1中的范数。 (2)试证明fXx'cc¥在C1a,b上定义了有界线性泛函。 (3)试证明视C1a,b为C1a,b的子空间时,上面定义的f不再是有界的。 证: (1)仅证三角不等式 Ix+y1=maxix(t)+y(t)I+maxlx(t)+y(t)ImaxIx(t)I+maxly(t)I+maxIx(t)I+maxy(t)I IxI+IyI (2)仅证有界性 If(x)I=x'(c)maxIx(t)I+maxIx'(t)I=IxI, IfI1 (3)当c1[a,b]视为ca,b的子空间时, (2)中的f不再是有界的, i Xn(c)1且maxxn(t)-n 于是,便有 sup f(x) |x f(xn) lx_ Xn(C)| mtax|xn(t)|
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