材料科学与工程基础第三章复习资料.docx

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材料科学与工程基础第三章复习资料

3.8铁具有BCC晶体结构，原子半径为0.124nm，原子量为55.85g/mol。

计算其密度并与实验值进行比较。

答：

BCC结构，其原子半径与晶胞边长之间的关系为：

a=4R/

=4⨯0.124/1.732nm=0.286nm

V=a3=（0.286nm）3=0.02334nm3=2.334⨯10-23cm3

BCC结构的晶胞含有2个原子，

∴其质量为：

m=2⨯55.85g/（6.023⨯1023）=1.855⨯10-22g

密度为ρ=1.855⨯10-22g/（2.334⨯10-23m3）=7.95g/cm3

3.9计算铱原子的半径，已知Ir具有FCC晶体结构，密度为22.4g/cm3，原子量为192.2g/mol。

答：

先求出晶胞边长a，再根据FCC晶体结构中a与原子半径R的关系求R。

FCC晶体结构中一个晶胞中的原子数为4，

ρ=4⨯192.2g/（6.023⨯1023⨯a3cm3）=22.4g/cm3，求得a=0.3848nm

由a=2

R求得R=

a/4=1.414⨯0.3848nm/4=0.136nm

3.10计算钒原子的半径，已知V具有BCC晶体结构，密度为5.96g/cm3，原子量为50.9g/mol。

答：

先求出晶胞边长a，再根据BCC晶体结构中a与原子半径R的关系求R。

BCC晶体结构中一个晶胞中的原子数为2，

ρ=2⨯50.9g/（6.023⨯1023⨯a3cm3）=5.96g/cm3，求得a=0.305nm

由a=4R/

求得R=

a/4=1.732⨯0.305nm/4=0.132nm

3.11一些假想的金属具有图3.40给出的简单的立方晶体结构。

如果其原子量为70.4g/mol，原子半径为0.126nm，计算其密度。

答：

根据所给出的晶体结构得知，a=2R=2⨯0.126nm=0.252nm

一个晶胞含有1个原子，

∴密度为：

ρ=1⨯70.4g/（6.023⨯1023⨯0.2523⨯10-21cm3）

=7.304g/cm3

3.12　Zr具有HCP晶体结构，密度为6.51g/cm3。

（a）晶胞的体积为多少?

用m3表示

（b）如果c/a之比为1.593，计算c和a值。

答：

Vc=nMZrρNA

对于HCP，每个晶胞有6个原子，MZr=91.2g/mol.

因此：

Vc=6×91.26.51×106×6.02×1023=1.396×10-28m3/晶胞

（b）Vc=3×a×sin60×a×c=3×a2×√32×1.593a=4.1386a3

=4.1386a3=1.396×10-28，

求得a=3.231⨯10-10m=0.323nm,c=1.593a=0.515nm

3.13利用原子量，晶体结构，和书中给出的原子半径数据，计算Pb,Cr,Cu和Co的理想密度，并与书中的实验数据做比较。

Co的c/a之比为1.623。

3.14铑（Rh）的原子半径为0.1345nm，密度为12.41g/cm3。

确定其晶体结构是否为FCC或BCC晶体结构。

3.15下面列出的表为3种假定合金的原子量，密度和原子半径。

判断每种合金，其晶体结构是否为FCC，BCC，或简单立方，并证明你的结论。

简单立方晶胞示在图3.40中。

合金

原子量（g/mol）

密度（g/cm3）

原子半径（nm）

A

77.4

8.22

0.125

B

107.6

13.42

0.133

C

127.3

9.23

0.142

答：

（1）单个原子质量：

77.4/（6.02⨯1023）=1.2857⨯10-22g

则：

n/VC=8.22⨯10-21g/（1.2857⨯10-22g⋅nm3）=63.934nm-3

（2）单个原子质量：

107.6/（6.02⨯1023）=1.787⨯10-22g

则：

n/VC=13.42⨯10-21g/（1.787⨯10-22g⋅nm3）=75.098nm-3

若为简单立方：

VC=a3=（2R）3=（2⨯0.133）3=0.01882nm3

则：

n=1.41与简单立方晶胞存在1个原子不符，

故不是简单立方结构。

若为面心立方：

VC=a3=（2√2R）3=（2⨯1.414⨯0.133）3=0.0532nm3

则：

n=3.996与面心立方晶胞存在4个原子相符，

因此是面心立方结构。

3.16锡晶胞具有四方（tetragonal）对称，晶格常数a和b各为0.583和0.318nm。

如果其密度，原子量和原子半径各为7.30g/cm3，118.69g/mol和0.151nm，计算其原子致密度。

答：

晶胞体积为：

VC=a2b=0.5832⨯0.318=0.1081nm3

四方晶胞有几个独立原子：

3.17碘具有正交晶胞，其晶格常数a,b,和c各为0.479,0.725和0.978nm。

（a）如果原子致密度和原子半径各为0.547和0.177nm,确定晶胞中的原子数。

（b）碘的原子量为126.91g/mol；计算其密度。

答：

（a）单个原子体积：

V=43πR3=4×3.14×0.17733=0.0232nm3

晶胞体积：

VC=abc=0.479⨯0.725⨯0.978=0.3396nm3

晶胞中的原子数为：

n=APF×VCV=0.547×0.33960.0232=8原子/晶胞

（b）单个原子体积：

ρ=n×mVC=8×126.910.3396×6.02×1023=4.96×10-21g/nm3=4.96g/cm3

3.18Ti具有HCP晶胞，其晶格常数之比c/a为1.58。

如果Ti原子的半径为0.1445nm，（a）确定晶胞体积，（b）计算Ti的密度，并与文献值进行比较。

3.19Zn具有HCP晶体结构，c/a之比为1.856，其密度为7.13g/cm3。

计算Zn的原子半径。

3.20Re具有HCP晶体结构，原子半径为0.137nm,c/a之比为1.615。

计算Re晶胞的体积。

答：

Re具有HCP晶体结构，则a=2R=2⨯0.137=0.274nm

六边形底面积A：

A=asin60︒⨯a⨯3=0.2742⨯3⨯√3/2=0.195nm2

晶胞的体积：

A⨯c=0.195⨯1.615a=0.195⨯0.274⨯1.615

=0.0863nm3

3.21下面是一个假想金属的晶胞，（a）这一晶胞属于哪个晶系？

（b）属于哪个晶体结构？

（c）计算材料的密度，已知原子量为141

g/mol。

答：

属正方晶系，体心正方结构。

晶胞体积：

0.4⨯0.3⨯0.3=0.036（nm3）

单个原子质量：

141g/（6.02⨯1023）=2.342⨯10-22（g）

密度：

2.342⨯10-22/0.036=

3.22金属间化合物AuCu3晶胞为：

（1）边长为0.374nm的立方晶胞

（2）Au原子位于立方体的所有8个角上

（3）Cu原子位于立方体6个面的中心。

3.23金属间化合物AuCu晶胞为：

（1）四方晶胞，边长a=0.289nm；c=0.367nm

（2）Au原子位于立方体的所有8个角上

（3）Cu原子位于立方体中心。

3.24画出体心和正交晶体结构的草图。

3.25对于陶瓷化合物，决定晶体结构的组元离子的两个特征是什

么？

答：

离子半径和电荷决定晶体结构

3.26证明配位数为4时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.225。

答：

∠CBD=109︒28'

∠BCD=∠BDC=（180︒-109︒28'）/2=35︒16'

BC=BD=rA+rC；CD=2rA

sin109.47CD=sin35.27BD

0.9442rA=0.577rA+rc

1.154rA=0.944rA+0.944rC

等式两边用rA相除，并整理得：

0.21=0.944（rC/rA）

即有：

rC/rA=0.223

3.27证明配位数为6时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.414。

提示：

利用NaCl晶体结构，并假设阴离子和阳离子在立方体边和面对角线相切。

答：

如图所示：

考虑GHF三角形，

则有：

GH=rA+rC=HF

GF=2rA;

GFsin45︒=GH,

则有2rA⨯√2/2=rA+rC

等式两边用rA相除：

√2=1+rC/rA，即有：

rC/rA=1.414-1=0.414

3.28证明配位数为8时，阳离子与阴离子半径之比最小值为0.732。

答：

3.29根据离子电荷和离子半径预测下列材料的晶体结构：

（a）CsI（b）NiO（c）KI（d）NiS，证明结果。

答：

r（Cs+）：

0.170；r（Ni2+）：

0.069；r（K+）：

0.138；

r（I-）：

0.220；r（O2-）：

0.140；r（S2-）：

0.184；

（1）0.732

（2）0.414

（3）0.414

（4）0.225

3.30表3.4中哪些阳离子能够形成氯化铯型晶体结构的碘化物。

氯化铯型晶体结构中，阳离子的配位数为8，要求阳离子与阴离子的半径之比的范围在0.732

则0.732⨯0.220

0.161

满足这一条件的阳离子只有：

Cs+

3.31计算阳离子与阴离子半径之比为rA/rC=0.732的氯化铯型晶体结构的致密度。

答：

rA/rC=0.732表明，阴离子与阳离互为相切，阴离子之间也相切。

因此立方体八个角上的阴离子与体心的阳离子组成的晶胞的边长a=2rC，则晶胞的体积为V=（2rC）3=8rC3，晶胞中有一个独立的阳离子和阴离子，它们所占的体积为：

43π（rA3+rC3）=43π[0.732rC3+rC3]=5.829rC3

致密度：

APF=5.829rC38rC3=0.73

3.32表3.4给出了K+和O2-离子半径各为0.138和0.140nm。

每个O2-离子的配位数为多少？

简单描述K2O的晶体结构。

解释为什么称为反荧石结构？

3.33画出PbO的三维晶胞：

（1）四方晶胞，a=0.397nm，c=0.502nm；

（2）氧离子位于立方体中心及两个正方形面中心；

（3）一个氧离子位于其他两个相对面（长方形）上坐标为

（0.5a,0.237c）坐标的位置。

（4）其他两个相对的正方形面上，氧离子位于（0.5a,0.763c）坐标的位置。

3.34计算FeO的密度，给出其具有岩盐结构。

答：

0.414

阳离子的配位数为6，具有岩盐结构。

3.35MgO具有岩盐晶体结构，密度为3.58g/cm3。

（a）确定晶胞边长

（b）假定Mg2+和O2-沿着边长正好相切时的边长长度为多少？

答：

（a）ρ=（mA+mC）/a3=3.58;

4×（24.312+15.999）6.02×1023×a3=3.58×10-21

求得：

a=30.0748=0.421nm

（b）a=2（rMg2++rO2-）=2⨯（0.072+0.140）=2⨯0.212=0.424nm

3.36计算金刚石的理论密度。

C—C键长与键角为0.154nm和109.5°。

理论值与测理值进行比较。

答：

首先我们需要根据键长确定晶胞的边长，图中给出了立方体晶胞的8分之1处C原子的八面体键合情况。

φ

=109.5︒/2=54.75︒

X=a/4，Y=键长=0.154nm

则Ycos（54.75︒）=a/4

求得：

a=4⨯0.154⨯cos（54.75︒）

=0.356nm

金刚石晶胞中存在8个独立原子，其质量为：

　　　　m=８⨯12.011/（6.02⨯1023）=1.5961⨯10-22（g）

晶胞的体积为:

V=a3=0.3563=0.0451nm3

∴密度为：

m/V=1.5961⨯10-22/（0.0451⨯10-21）=3.54g/cm3

实验测量的密度为3.51g/cm3

3.37计算ZnS的理论密度。

Zn—S键长与键角为0.234nm和109.5°。

理论值与测量值进行比较。

答：

ZnS的晶体结构与金刚石

结构相同。

求得：

a=4⨯0.234⨯cos（54.75︒）

=0.540nm

ZnS的晶体结构中有4个独立的ZnS分子。

晶胞中分子的质量为：

m=4⨯（65.37+32.064）/（6.02⨯1023）=6.474⨯10-22（g）

晶胞的体积为:

V=a3=0.543=0.157nm3

∴密度为：

ρ=m/V=6.47⨯10-22/（0.157⨯10-21）=4.12g/cm3

实验测量值为：

ρ=4.10g/cm3

3.38CdS具有立方晶胞，从X—射线衍射数据可知，晶胞边长为0.582nm。

如果测量的密度值为4.82g/cm3，每个晶胞中的Cd2+和S2-离子数量为多少？

答：

晶胞的体积为:

V=a3=0.5823=0.197nm3

一个晶胞所含分子的质量为：

m=ρV=4.82⨯10-21⨯0.197=0.950⨯10-21g

CdS的分子量为：

112.4+32.064=144.464g/mol

∴晶胞中的分子个数为：

0.950⨯10-21⨯6.023⨯1023144.464=3.96≈4

即每个晶胞中含有4个Cd2+和4个S2-离子。

3.39（a）利用表3.4中的离子半径计算CsCl密度。

提示：

修改3.4题中的结果。

（b）密度测量值为3.99g/cm3，如何解释密度的计算值和测量之间的差异。

答：

A（Cs）Cs位于体心，Cs和Cl相切，

故AB=rCs+rCl=0.170+0.181=0.351nm

（Cl）BCAC=a/2BC=2a/2

根据勾股定理：

AB2=AC2+BC2

0.3512=（a/2）2+（2a/2）2=3a2/4，求得：

a=0.405

CsCl的分子量为：

132.91+35.45=168.36g/mol，

晶胞体积为：

V=0.4053=0.0664nm3

每个晶胞含有1个CsCl分子，则密度为：

ρ=168.36g6.023×1023×0.0664×10-21cm3=4.21g/cm3

3.40利用表3.4中的数据，计算具有荧石结构的CaF2的密度。

答：

rCa=0.100nmrF=0.181nm

AC=2rF+2rCa=2⨯（0.100+0.181）=0.562nm

AC=a/2，BC=2a/2

根据勾股定理：

AC2=AB2+BC2

0.5622=（a/2）2+（2a/2）2=3a2/4，

求得：

a=0.487nm

晶胞体积为：

V=（0.487nm）3=0.1155nm3=1.155⨯10-22cm3

1个晶胞中含有8个Ca和4个F，

质量为：

m=8⨯40.08+4⨯18.998=396.632g/mol

ρ=396.632g6.023×1023×1.155×10-22cm3=5.70g/cm3

3.41假想的AX类型陶瓷，其密度为2.65g/cm3，立方对称的晶胞边长为0.43nm。

A和X元素的原子量各为86.6和40.3g/mol。

由此判断，其可能的晶体结构属于下列哪一种：

岩盐结构，氯化铯结构或者闪锌矿结构？

答：

晶胞的质量为：

m=2.65⨯10-21⨯0.433=0.211⨯10-21g

晶胞中的独立分子数为：

0.211×10-21×6.023×1023（86.6+40.3）=1

因此，属于氯化铯结构。

3.42具有立方对称的MgFe2O4（MgO-Fe2O3）的晶胞边长为0.836nm。

如果材料的密度为4.52g/cm3，根据表3.4中的离子半径数据计算其原子致密度。

答：

晶胞的质量为：

m=4.52⨯10-21⨯0.8363=2.64⨯10-21g

MgFe2O4的分子量为：

M=24.312+2⨯55.847+4⨯15.999=200.002g/mol

晶胞中的独立分子数为：

2.64×10-21×6.023×1023200.002≈8

根据表3.4中的离子半径数据，得出：

rMg=0.072nm，rFe=0.077nm，rO=0.140nm

各对应的原子体积为：

VMg=4π⨯（0.072）3/3=1.562⨯10-3nm3

VFe=4π⨯（0.077）3/3=1.911⨯10-3nm3

VO=4π⨯（0.140）3/3=1.149⨯10-2nm3

晶胞体积为：

V=（0.836nm）3=0.5843nm3

APF=8×（VMg+2VFe+4VO）V=8×（1.562+2×1.911+4×11.149）×10-30.5843=0.68

3.43Al2O3具有六方晶系，晶格常数为a=0.4759nm,c=1.2989nm。

如果材料的密度为3.99g/cm3，根据表3.4中的离子半径数据计算其原子致密度。

答：

晶胞体积为：

asin60︒⨯a⨯3⨯c=0.4759⨯0.4759⨯√3/2⨯1.2989=0.2548nm3

晶胞的质量为：

m=3.99⨯10-21⨯0.2548=1.017⨯10-21g

Al2O3的分子量为：

M=2⨯26.982+3⨯15.999=101.961g/mol

晶胞中的独立分子数为：

1.017×10-21×6.023×1023101.961≈6

根据表3.4中的离子半径数据，得出：

rAl=0.053nm，rO=0.140nm

各对应的原子体积为：

VAl=4π⨯（0.053）3/3=6.233⨯10-4nm3

VO=4π⨯（0.140）3/3=1.149⨯10-2nm3

APF=6×（2VAl+3VO）V=6×（2×6.233+3×114.9）×10-40.2548=0.84

3.44计算金刚石立方晶体结构的原子致密度（图3.16）。

假定成键原子相互接触，键角为109.5︒，晶胞内部的每个原子与最近邻晶胞面心之间的距离为a/4（a为晶胞边长）。

答：

φ=109.5︒/2=54.75︒

X=a/4，

Y=2rC

则Ycos（54.75︒）=a/4

求得：

a=4⨯2rC⨯cos（54.75︒）=4.617rC

晶胞的体积为:

V=a3=（4.617rC）3=98.419rC3

金刚石晶胞中存在8个独立原子，其体积为：

　　　　VC=８⨯4π⨯rC3/3=33.493rC3

∴APF=33.493rC3/98.419rC3=0.340g/cm3

3.45利用表3.4的离子半径数据，计算氯化铯的原子致密度。

假设离子沿着体对角线相切。

答：

rCs=0.170nm，rCl=0.181nm

AC=2rCs+2rCl=0.702nm，

AC=√2aAB=a

根据勾股定理：

AC2=AB2+BC2

0.7022=a2+（√2a）2，求得：

a=0.405nm

每个晶胞中含有一个独立的分子，其体积为：

VCsCl=4⨯π⨯（rCs）3/3+4⨯π⨯（rCl）3/3=4⨯π⨯（0.170）3/3+4⨯π⨯（0.181）3/3

=4⨯π⨯0.00491/3+4⨯π⨯0.00593/3=0.0454nm3

晶胞体积为：

V=a3=（0.405）3nm3=0.0664nm3

∴APF=VCsCl/V=0.0454/0.0664=0.68

3.46根据成键，解释硅酸盐材料为何具有相对低的密度。

答：

空间结构不如金属的空间结构排列的那么紧密；O，Si的结合有空间键而且较长，但金属就不同，他们结合的键极短，并且原子量较大，所以没有金属那样较高密度。

a

B

3.47确定SiO44-四面体中共价键之间的键角。

答：

共价键之间的键角为：

109.5︒

3.48画出正交晶胞及其中的[121]晶向和（210）晶面。

3.49画出单斜晶胞及其中的[011]晶向和（002）晶面。

3.50（a）给出两个向量的指数

晶向1：

xyz

投影：

0a1/2bc

以a,b,c为单位的投影：

01/21

化简为整数：

012

用中括号围起来：

[012]

晶向2：

xyz

投影：

1/2a1/2b-c

以a,b,c为单位的投影：

1/21/2-1

化简为整数：

11-2

用中括号围起来：

（b）给出两个晶面的指数

晶面1：

xyz

截距：

∞a1/2b∞c

以a,b,c为单位的截距：

∞1/2∞

取倒数：

020

用圆括号围起来：

（020）

晶面2：

xyz

截距：

1/2a-1/2bc

以a,b,c为单位的截距：

1/2-1/21

取倒数：

2-21

用圆括号围起来：

（221）

3.51立方晶胞中