XX全国Ⅰ卷高考理数试题及答案解析含选择填空详解.docx
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XX全国Ⅰ卷高考理数试题及答案解析含选择填空详解
1
绝密★启用前试卷类型A2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页23小题满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项
1答卷前考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型A
填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2作答选择题时选出每小题答案后用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动
用橡皮擦干净后再选涂其他
答案。
答案不能答在试卷上。
3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上如
需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题本题共12小题每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要
求的。
1设1
2
1
i
zi
i
则z
A0B1
2C1D2
2已知集合2|20
Axxx则ARð
A|12
xxB|12xx≤≤
C|1|2
xxxxD|1|2xxxx≤≥
3某地区经过一年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经
济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图
则下面结论中不正确的是
A新农村建设后种植收入减少2
B新农村建设后其他收入增加了一倍以上
C新农村建设后养殖收入增加了一倍
D
新农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4记nS为等差数列
na的前n项和若3243SSS12a则5a
A12
B10C10D12
5设函数321
fxxaxax若fx为奇函数则曲线yfx在点00处的切线方程为
A2
yxByxC2yxDyx
6在ABC
△中AD为BC边上的中线E为AD的中点则EB
A31
44
ABAC
B13
44
ABAC
C31
44
ABAC
D13
44
ABAC
7
某圆柱的高为2底面周长为16其三视图如右图所示圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B则在此圆柱侧面上从M到N的路径中最短路径的长度为
A217B25C3D2
8设抛物线24
Cyx的焦点为F过点20且斜率为2
3的直线与C交于MN两点则FMFN
A5B6C7D8
9已知函数0
ln0xex
fx
xx
≤
gxfxxa若gx存在2个零点则a的取值范围是
A10
B0C1D1
10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆
构成三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边ABACABC
△的三边所围成的区域记为Ⅰ黑色部分记为Ⅱ其余部分
记为Ⅲ在整个图形中随机取一点此点取自ⅠⅡⅢ的概率分别记
为1p2p3p则
A12pp
B13ppC23ppD123ppp
11已知双曲线2
21
3
x
CyO为坐标原点F为C的右焦点过F的直线与C的两条渐近线的交点分3
别为MN若OMN
△为直角三角形则MN
A3
2B3C23D4
12已知正方体的棱长为1每条棱所在直线与平面所成的角都相等则截此正方体所得截面面积的最
大值为
A33
4B233C324D32
二、填空题本题共4小题每小题5分共20分。
13若xy
满足约束条件220
10
0
xy
xy
y
≤
≥
≤则32
zxy的最大值为________
14记nS为数列
na的前n项和若21nnSa则6S________
1
5从2位女生4位男生中选3人参加科技比赛且至少有1位女生入选则不同的选法共有________种用
数字填写答案
1
6已知函数2sinsin2
fxxx则fx的最小值是________
三、解答题共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题每个试题考生
都必须作答。
第22、23题为选考题考生根据要求作答。
一必考题共60分。
1712分在平面四边形ABCD中90
ADC∠45A∠2AB5BD
1求cosADB
∠
2若22
DC求BC1812分如图四边形ABCD为正方形EF分
别为ADBC的中点以DF为折痕把DFC
△折
起使点C到达点P的位置且PFBF
⊥
1证明平面PEF⊥平面ABFD2求DP与平面ABFD所成角的正弦值
1912分设椭圆2
21
2
x
Cy的右焦点为F过F的直线l与C交于AB两点点M的坐标为20
1当l与x轴垂直时求直线AM的方程
2设O为坐标原点证明OMAOMB
∠∠
4
2012分某工厂的某种产品成箱包装每箱200件每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验如检
验出不合格品则更换为合格品检验时先从这箱产品中任取20件作检验再根据检验结果决定是
否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为01
pp且各件产品是否为不合格
品相互独立
1记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp求fp的最大值点0p
2现对一箱产品检验了20件结果恰有2件不合格品以⑴中确定的0p作为p的值已知每件产品
的检验费用为2元若有不合格品进入用户手中则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用
i若不对该箱余下的产品作检验这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X求EX
ii以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验
2112分已知函数1
lnfxxax
x
1讨论
fx的单调性
2若
fx存在两个极值点1x2x证明12
122
fxfx
a
xx
二选考题共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做则按所做的第一题计分。
22[选修4—4坐标系与参数方程]10分
在直角坐标系
xOy中曲线1C的方程为2
ykx以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标
系曲线2C的极坐标方程为22cos30
1求2C的直角坐标方程2若1C与2C有且仅有三个公共点求1C的方程
23[选修4—5不等式选讲]10分
已知11
fxxax
1当1
a时求不等式1fx的解集
2若01
x∈时不等式fxx成立求a的取值范围
5
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析
一、选择题。
123456789101112
CBABDABDCABA
二、填空题。
1361463
15161633
2
1、C解析21
(1)121
222
1
(1)
(1)11
iii
ziiii
iii
22011
z
2、B解析2|20|12
Axxxxxx或|12RCAxx
3、A解析设建设前经济收入为a则建设后经济收入为2a.
对于A项种植收入原来为0.6a后来为237%=0.74
aa增加故A错误
对于B项其他收入原来为0.04a后来为25%=0.1
aa增加的倍数为0.10.04
1.51
0.04
aa
a
故B正确
对于C项养殖收入原来为0.3a后来为230%=0.6
aa增加的倍数为0.60.3
1
0.3
aa
a
故C正确
对于D项新农村建设后养殖收入为230%=0.6
aa第三产业收入为228%=0.56aa而经济收入的一
半为1
2
2
aa则0.6+0.561.16
aaaa故D正确.
4、B解析设等差数列的公差为d.
则111
1
51
13(33)246
2
424(3)10
2
3
adadad
a
aad
a
d
.
5、D解析()
fx为奇函数3232()()
(1)
(1)fxfxxaxaxxaxax22
(1)0ax恒成立101aa则3'2()()31fxxxfxx()fx在点(0,0)处的切线斜率为'(0)1kf则所求切线方程为00yx即yx.
6、A解析如右图1111131
()()
2222244
EBEDDBADCBABACABACABAC
.
7、B解析将此圆柱的四分之一侧面展开如右图所示
则最短路径为222425
MN.6
8、D解析由已知得(1,0)
F直线为2
(2)
3
yx
则24
14
(1,2),(4,4)
2
24
(2)
3
yx
xx
MN
yy
yx
或
(0,2)(3,4)03248FMFN
.
9、C解析()
gx存在2个零点
方程()0
fxxa有两个根方程()=fxxa有两个根函数()yfx与函数yxa的图象有两个不同交点
如右图所示则只需1
a即可1a即a的取值范围是[1,).
10、A解析此题属于几何概型总区域面积相同故只要求出ⅠⅡⅢ的面积进行比较即可。
设,,
BCaACbABc则222bca
则11
2
Sbc222222
21111111
()()()()
2222222282
bca
Sbcbcbcabc22
31111
()
22282
a
Sbcabc
故12PP.
11、B解析由已知得233
aa211bb
则22242
cabc(2,0)F渐近线的方程为13
3
3
yxx
则30
MOF由于双曲线的对称性不妨设90OMN
法一在RtMOF
中30MOF2OF
则3
cos3023
2
OMOF
在RtMON
中60MON则906030ONM3
33
tan30
3
OM
MN
法二直线MN的倾斜角为90+30=120其斜率为tan1203
k7
故直线MN的方程为3
(2)
yx
则3
3
(2)
33
2
(,)
3
22
3
3
2
x
yx
M
yx
y
3
(2)
3
(3,3)
3
3
3
yx
x
N
y
yx
22
33
(3)(3)3
22
MN
12
、A解析如下图所示平面1ABC与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等则1//ABC平面平面.
构造1//
MNPQRSABC平面平面设1ASx
则2
SP
2SRPQMNx2
(1)SMRQPNx
则1616
(1)
+22
(1)(22)
2222SRQPSMNPxx
SSSxx
六边形
梯形梯形223133
333()
224
xxx当1
2
x时max33
4
S.13、6
解析画出可行域如右图所示
将32
zxy变形为3
22
z
yxz最大即截距2
z最大.
则当直线3
2
yx平移经过点(2,0)
A时截距最大.8
max32206
z.
14、-63解析21nnSa
①
当1
n时1111211aSaa
当2
n时1121nnSa②-①②得122nnnaaa即12
(2)
n
na
n
a
数列na是首项为-1公比为2的等比数列6
61(12)
63
12
S
15
、16解析法一直接法分成两类1女2男、2女1男
则不同的选法共有1221
242416
CCCC种.
法二间接法“至少有1位女生入选”的对立事件为“没有一位女生入选”
则不同的选法共有33
6416
CC种.
16、33
2
解析法一易知()
fx的最小正周期为2T则问题转化求()fx在0,2的最小值.()2sinsin2fxxx'2()2cos2cos22cos2(2cos1)fxxxxx22(2coscos1)2(cos1)(2cos1)xxxx
令cos(11)
txt则'()2
(1)(21)fxtt
令'()0
fx得1
1
2
tt或当1
1
2
t时'()0
fx()fx单调递减
当1
1
2
t时'()0
fx()fx单调递增.当1
2
t时()
fx取得最小值此时15
cos
233
xxx
或
又233
()2sinsin
3332
f
551033
()2sinsin
3332
f9
min33
()
2
fx
法二()2sin2sincos2sin(cos1)
fxxxxxx
令cos(11)
txt
则222334
()4
(1)
(1)4
(1)
(1)=(33)
(1)
3
fxtttttt443311127
()
344
tttt
当且仅当331
tt即1
2
t时等号成立.min333333
()()
222
fxfx.
17、解1在ADB
中由正弦定理得sin45sin
BDAB
ADB
2
2
sin452
2
sin
55
AB
ADB
BD
又BABD
45ADBA故ADB为锐角.2223
cos1()
55
ADB.
2由1知2
coscos(90)sin
5
BDCADBADB
在BDC
中由余弦定理得2222cosBCBDDCBDDCBDC222
5(22)252225
5
又0
BC5BC.
18、解1证明四边形ABCD为正方形ABBC
EF分别为ADBC的中点//EFABEFBC即EFBF
又,,
PFBFPFEFFPFEFPEF、平面BFPEF平面又BFABFD平面10
PEFABFD
平面平面
2法一几何法如图过点P作PHEF
于点H连接DH.由1知PEFABFD平面平面
且=
PEFABFDEF平面平面PHPEF平面PHABFD平面PDH为直线DP与平面ABFD所成角的平面角
由1知BFPEF
平面
又PEPEF
平面BFPE
又//
ADBFADPE
不妨设正方形的边长为2则1,2
PFDEPDEF22213PE22125DF在PEF中222EFPEPFPEPF313
22
PEPF
PH
EF
在RtPHD中3
3
2
sin
24
PH
PDH
PD
直线DP与平面ABFD所成角的正弦值为3
4.
法二坐标法过点P作PHEF
于点H
由1知PEFABFD
平面平面
且=
PEFABFDEF平面平面PHPEF平面PHABFD平面
如图以H为原点建立空间直角坐标系Hxyz
.
不妨设正方形的边长为2则1,2
PFDEPDEF
由1知BFPEF
平面11
又PEPEF
平面BFPE
又//
ADBFADPE22213PE22125DF
在PEF
中222EFPEPFPEPF313
22
PEPF
PH
EF
22
33
(3)()
22
HE
33
(0,0,),(1,,0)
22
PD则33
(1,,)
22
DP
显然平面ABFD的一个法向量为(0,0,1)
m
设直线DP与平面ABFD所成角为
则3
00
2
3
sincos,
4
93
11
44
DPm
DPm
DPm
直线DP与平面ABFD所成角的正弦值为3
4.
19、解1由已知得2222111
cabc
则(1,0)
F直线l的方程为1x.
将1
x代入2
21
2
x
y得2
2
y则22(1,)(1,)
22
AA或直线AM的方程为2
0
2
0
(2)
12
yx
或2
0
2
0
(2)
12
yx
即2
2
2
yx或22
2
yx.
2①当l与x轴重合时0
OMAOMB
②当l与
x轴垂直时OM为AB的垂直平分线则OMAOMB
③当l与
x轴既不重合也不垂直时设:
(1)(0)lykxk12
由2
2
(1)
1
2
ykx
x
y
消去y得2222(21)4220
kxkxk4222164(21)(22)880kkkk
设11(,)
Axy22(,)Bxy则122x222x.2
12
2421
k
xx
k
2
12
222
21
k
xx
k
121221
1212
(1)
(2)
(1)
(2)22
(2)
(2)MAMByykxxkxx
kk
xxxx
1212
121223()4
2()4
kxxkxxk
xxxx
22
22
22
22224
234
2121
224
24
2121
kk
kkk
kk
kk
kk
333
222441284
0
22884
kkkkk
kkk
直线MA与直线MB的倾斜角互补则OMAOMB
.
综上所述OMAOMB
.
20、解1设不合格品的件数为Z,则~(20,)
ZBp其中01p.2218
20()
(2)
(1)
fpPZCpp01p
则'21821717
20()2
(1)18
(1)
(1)380
(1)(110)
fpCppppppp
令'()0
fp得1
10
p当1
0
10
p时'()0
fp()fp单调递增
当1
1
10
p时'()0
fp()fp单调递减.当1
10
p时()
fp取得最大值即()fp的最大值点01
10
p.
2i由1知1
10
p
设余下的180件产品中的不合格品件数为Y则1
Y~(180,)
10
B13
1
()18018
10
EY且202254025
XYY
()(4025)25()402518+40=490()
EXEYEY元.
ii如果对整箱产品进行检查则检验费用与赔偿费用的和为2002400490
X
应该对这箱余下的所有产品作检验.
21
、解1由已知得2
'
2211
()1(0)
axax
fxx
xxx
令2()1(0)
gxxaxx24a
①当0
即22a时()0gx则'()0fx函数()fx在(0,)上单调递增
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