初三相似三角形的基本模型.docx
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初三相似三角形的基本模型
精锐教育学科教师辅导讲义
授课
类型
T(相似三角形的基本类
型。
)
C(专题方法主题)
T(学法与能力主题)
授课日期时段
教学内容
、同步知识梳理
知识点1:
相似证明中的基本模型
B
知识点2:
相似证明中常见辅助线的作法
在相似的证明中,常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形,同时再结合等量代换得到要证明的结论•常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.
如图:
AD平分乙BAC交BC于D,求证:
BD=AB.
DCAC
E
证法一:
过C作CEIIAD,交BA的延长线于E.
•••.1ZE,/2Z3.
•••1Z2,•••©=E••••AC=AE.
•••ADIICE,
BD
DC
BABA
BEAC
点评:
做平行线构造成比例线段,利用了
A”型图的基本模型.
证法二;过B作AC的平行线,交AD的延长线于E•
••.J=.2=.E,…AB=BE•
•••BEIIAC,•BD=BE=AB.
DCACAC
点评:
做平行线构造成比例线段,利用了“
X”型图的基本模型.
知识点3:
相似证明中的面积法
面积法主要是将面积的比,和线段的比进行相互转化来解决问题.常用的面积法基本模型如下:
如图:
S^ABC
S^ACD
1
BCAH=2
1
CDAH
2
BC
CD
如图:
S^ABC
S^BCD
1
_2BCAHAH
-1
—BCDG
2
AO
如图:
S^ABD
S^ABD
S^AED
ace
aed
ace
DG
OD
AB
ADABAD
AE
ACAEAC
山字”型
图1:
C
田字”型
图2:
图3:
燕尾理
、同步题型分析
题型1:
与三角形有关的相似问题
例1:
如图,D、E是.\ABC的边AC、AB上的点,且AD.AC二AEAB,求证:
MADE/B.
解析:
•一Q—一忙AE
”AD_ABAE~AC
;^DAE=^BAC
ADAEsABAC代_ADE=一B
例2:
如图,在.;ABC中,
AD_BC于D,CE_AB于E,.ABC的面积是.;BDE面积
的4倍,AC=6,求DE的长.
解析:
'一」「_二二-〔二_上;_C"J_
二1ABDSCBE
.BE_BC
"BD~AB
丁一EBD=£CBA
/-ABED\BCA
题型2:
相
似中的角平分线问题
例1:
如图,AD是.:
ABC的角平分线,求证:
AB=BD
ACCD解析:
':
汁;:
卩汀;' *■*CE//AD> 又/AD平分 ・'・Z1=Z2, 二F=N3, 儿AE=AC, 由CE//AD可得: —, AECD 解析: 连接AM.由已知条件可知」应=90。 , ^4CM=ACAD+-ADC=-BAD+^DAC+ZCAM=-BAM, A 例2: 已知ABC中,.BAC的外角平分线交对边 BC的延长线于D,求证: AB=BD ACCD 二\AMCsABAL4, »AB_BMAB_AM ''JC~JA? 'JC~CM .BC .AB'BM ''AC2」CM'田C■上//AU門K: ——、 AECD .AB_BD ''Hc~~CD 例3: 已知: AD、AE分别为 ABC的内、外角平分线, M为DE的中点, 2 求证: ab2=bm 解析: 题型3: a2二be型结论的证明 例1: 如图,直角ABC中,AB_AC,AD_BC,证明: AB2二BDBC,AC2二CDBC, 2 AD二BDCD. 解析: AB丄川t? AD_BC -+-MBDsACADsACBA '■*\ABDsACAD ••竺.如=3 ADCD =BDCD 同理可得,—JB2=BDBC,—=—=>^C: =CDBC ABBCACBC 例2: 如图,在厶ABC中,AD平分.BAC, 求证: FD2二FBFC. AD的垂直平分线交 AD于E,交BC的延长线于F, A 解析: 连樓4F・/EF垂直平分4D,AF=DF.・\Z4=^DAF.即Z4=-2+.Z3*XVZ4=^1+\Z2+Z3-厶1+匚丘,TAD平分_BAC,二Zl=Z2,二乙3=_B,又TZCFA=^4FB, 二ACFAs\AFB,: .FA2=FC^FB. 又、: AF=DF,二FD2=FBFC 题型4、三角形内接矩形问题 例1、已知,如图,「ABC中,AC=3,BC=4,C=90,四边形DEGF为正方形,其中D,E在边AC,BC上,F,G在AB上,求正方形的边长. C 解析: 由勾般定理可求=由ABCH=ACBC可得=由MDEsas可得匹=竺、 ABCH 设止方形的边长为I则上=—,解得.52.437 三、课堂达标检测 1,AF丄DE于G交BC 检测题1: 如图,在正方形ABCD中,点E在AB边上,且AE: EB=2 于F,则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为() B、1: 4 第1题图 检测题2、如图,已知DE//BC,CD和BE相交于点O,S.DOE: SCOB=4: 9,则AE: EC为() A、2: 1B、2: 3C、4: 9D、5: 4 检测题3、在△ABC中,D为AC边上一点,/DBC=ZA,BC=6,AC=3,贝VCD的长为() 35 A、1B、C、2D、一 22 答案: 1、C 2、A 3、C 一、专题精讲 构造相似辅助线一一双垂直模型 例1: 在厶ABC中,AB二人,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长. 答案: 解: 情形一: 连接CD-过点D作AC边上的高壤DE,交CA的延长钱于点尽 VAB=2^itJC=4,BCd : 、AC'-BC'=AB: AACB=&0p2 MTDE丄C: &AABD为等腰直角三埠形” A、zL4CB=^E=905,^EDA^EAD=907> 三品u+zEd/Kr卫 -丘J门=/F7D.Ja : 、△瓦』D空△£迟扣 二AE=BC=27DE=AC=4v : .在RtADFC中,CD=-JED-+CE2=2^3 IJ A D ri B 匚Q 情形二: 如凰当」时… 逹接QD过壹Df乍占Q过上的高浅DF、交CB的空芒我于点F 乂■/DF亠CF、一屈D为等複宜角三負形. : 、8EH,^JC^-_r-? O: .―时申D・90: T '.4O_FBD : '_^DBsi_C5J /.df=bc=2^ : .在R(__D/C=-C1>^FD--CF-=: 7lQ 延长线于点尸.过点£作宜线尸。 边上的高钱 交PD于点6 DE亠CE、^ABD^等湮直角三雄形十 /-^OAD^^PDB- /.AO=DPfDO=BP, 例2: 在厶ABC中,AC=BC,/ACB=90,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线 知甌当aLD号=9(T时: * 連接CD.过巨D作丹C边上的高线DP,交(TE的 ^QDA+ZQ.1D=90'.jLQDA+^BDP=90^* : 'AC'-BC'^AS1-i4G? =90‘• /.AD=BD,丄P=ZQ=90*,屮 情形三: AB上的P点.求证: MC: NC=AP: PB. 答案: 证明: 方法 连接PC,过点P作PD丄AC于D,则PD//BC 根据折叠可知MN丄CP •••/2+ZPCN=90°/PCN+/CNM=90 •••/2=ZCNM •••/CDP=/NCM=90° •△PDCsMCN •MC: CN=PD: DC •/PD=DA •MC: CN=DA: DC •/PD//BC •DA: DC=FA: PB •MC: CN=FA: PB 方法二: 如图, 过M作MD丄AB于D,过N作NE丄AB于E 由双垂直模型,可以推知 △PMDsNPE,贝U 莎_簸_莎 MD+PDPM •MC: CN=PA: 根据等比性质可知匸「,而MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN, PB 例3: 已知,如图,直线y=-2x+2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为1: 2。 求C、D两点的坐标。 C? “ 构造相似辅助线一一A、X字型 例4: 如图: △ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。 求证: 」一-舄 答案: 证明: (方法一)如图 延长AE到M使得EM=AE,连接CM •/BE=CE,/AEB=ZMEC •••△BEA◎△CEM •••CM=AB,Z1=/B •AB//CM •••/M=/MAD,/MCF=/ADF •△MCFADF CF_CM二一jz •/CM=AB,AD=AC CFCMAB .•——A 过D作DG//BC交AE于G则厶ABEs^ADG,△CEFs\DGF AB__BE_CF_CE •••二—二,牙—二 •/AD=AC,BE=CE CF__BE__AB_ •: -: : 例5: 四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分/DAB。 BE_BC2 求证: -二Jl' JR 答案: 证明: 一’- 过点D作DF//AB交AC的延长线于点F,则/2=Z3 •/AC平分/DAB •••/仁/2 •••/仁/3 •AD=DF •••/DEF=/BEA,/2=/3 •△BEAs^DEF BEAB •/AD=DF BEAB : .y: 二 •/AC为AB、AD的比例中项 •」匸一匚 ADAC 二 即上」一 又•••/1=/2 •••△ACDs\ABC AD_AC_CD •••一;亠丄 BC2_ABAC_AB .••二「…— BC2_BE .•.-J― n 例6: 在梯形ABCD中,AB//CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF//AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时,发现如下事实: DE =1 a+b DEa+25 ⑴当 AE 时, EF=-; ⑵当-二时,EF=-; DE =3 a^3b %7 ⑶当 AE 时, EF= •当时,参照上述研究结论,请你猜想用 a、b和k表示EF的 般结论,并给出证明. 答案: 证明: 过点E作PQ//BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q •/AB//CD,PQ//BC •四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 •••PB=EF=CQ, APAS 又TAB=b,CD=a •AP=PB-AB=EF-b,DQ=DC-QC=a-EF d-EFEF-b EF二 a+bk k+1 例7: 已知: 如图,在△ABC中,M是AC的中点,E、F是BC上的两点,且BE=EF=FC。 求BN: NQ: QM. 答案: 解: 八;: '■ 连接MF •/M是AC的中点,EF=FC •MF//AE且MF=1AEBENBFM•BN: BM=BE: BF=NE: MF•/BE= EF•BN: BM=NE: MF=1: 2•BN: NM=1: 1设NE=x,贝UMF=2x,AE=4x•AN=3x•/MF//AENAQs^MFQ•NQ: QM=AN: MF=3: 2•/BN: NM=1: 1,NQ: QM =3: 2•BN: NQ: QM=5: 3: 2 相似类定值问题 例8: 如图,在等边△ABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为MN上任意一点,BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F. 113 —+—二— 求证: 「三一上. 答案: 证明: 如图,作DP//AB,DQ//AC 则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形 •••BP+CQ=MN,DP=DQ=PQ •/M、N分别是边AB,AC的中点 MN=1BC=PQ •/DP//AB,DQ//AC •••△CDPCFB,△BDQBEC DPCPDQBQ 二二 DPDQ_CPBQ_BC+PQ_3~BFCE~S? BC~2 DP=DQ=PQ=-BC=-AB 1丄+丄1 •••[AB([三三)=[ 113 —+-—二— •二丄 例9: 已知: 如图,梯形ABCD中,AB//DC,对角线AC、BD交于0,过0作EF//AB分别交AD、BC于E、F。 111 —+—二■— 求证: 一二二一一. 答案: 证明: TEF//AB,AB//DC •EF//DC •△AOEs^ACD,△DOEDBA EO_AEEO_DE •二—二|,二—二| EOEOAEDS. I—|_—] •■二' 111 H二 •二二5? 例: 10: 如图,在△ABC中,已知CD为边AB上的高,正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。 111+— 求证: ABCDEF. 答案: 证明: TEF//CD,EH//AB •一1 ••厶二厶,上ECH二上物 : .△AFEADC,△CEHs\CAB AE_EF_C^_EH_ .••W0~AC~~AB •/EF=EH EHEFEFEFCEAE1=111一二二匚工二 1114••匸二三 AFDGB J\ 例11: 已知,在△ABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a.求证: 」「二“. •答案: 证明: TEF//AC,DE//BC 加DSC •V二厶,ZB=ZB •△BFEBCA,△AEDABC BE__EF_DE_AE •云—旋Hc~7b ••? EFDEBEASAE-^BEd 一+—=一+一==1 EF=DE=a 111 T ...刖二’.. 一线三角等题型: 例12(2010年绍兴中考)如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意 一点(不含端点A、D),连接PC,过点P作PE_PC交AB于E. (1)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC_QE? 若存在,求线段AP与AQ之间的数量关系;若不存在,请说明理由; (2)当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,求BE的取值范围. 解: (1)假设存在这样的点Q; •/PE丄PC, •••/APE+/DPC=90° •••/D=90° •••/DPC+/DCP=90° •••/APE=/DCP, 又•••/A=/D=90°, •△APEDCP, .“=J ": =I', •AP? DP=AE? DC; 同理可得AQ? DQ=AE? DC; •AQ? DQ=AP? DP,即AQ? (3-AQ)=AP? (3-AP), 22 •••3AQ-AQ=3AP-AP, 22 •AP-AQ=3AP-3AQ, •••(AP+AQ)(AP-AQ)=3(AP-AQ); •/AP^AQ, •AP+AQ=3(2分) •/AP^AQ, •APM',即卩P不能是AD的中点, 2 •••当P是AD的中点时,满足条件的Q点不存在. 当P不是AD的中点时,总存在这样的点Q满足条件,此时AP+AQ=3.(1分) (2)设AP=x,AE=y,由AP? DP=AE? DC可得x(3-x)=2y, •y=x(3-x)=-x2+x=-(x-')2+", 222228 •••当x='(在0vxv3范围内)时,y最大值='\ 23 而此时BE最小为, 8 又•••E在AB上运动,且AB=2, •BE的取值范围是用EV2.(2分) 8 例13(2012年宁夏中考)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作AP_PE,垂足为P,PE交CD于点E. (1)连接AE,当APE与ADE全等时,求BP的长; (2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式.当x取何值时,y的值最大? 最大值是多少? (3)若PEIIBD,试求出此时BP的长. B 解: (1)V^APE◎△ADE(已知),AD=3(已知), •••AP=AD=3(全等三角形的对应边相等); 在Rt△ABP中,BP=%_打十! 「“―=-(勾股定理); (2)vAPIPE(已知), •••/APB+/CPE=ZCPE+/PEC=90° •••/APB=/PEC, 又•••/B=/C=90° •RtAABPsRgPCE, •: 即一-—■—(相似三角形的对应边成比例), PCCE3-xy y尸勺*22乜 .•.当x=—时,y有最大值,最大值是—; 28 (3)如图,连接BD•设BP=x,口: : 1,. 22 •/PE//BD, •••△CPECBD, •PL(相似三角形的对应边成比例), CBCD 化简得,3x2-13x+12=0 解得,xi=^,x2=3(不合题意,舍去) 例14(2012年宜宾中考)如图,在SBC中,已知AB=AC=5,BC=6,且ABCDEF,将 DEF与ABC重合在一起,AABC不动,DEF运动,并满足: 点E在边BC上沿B到C的方向 运动,且DE、始终经过点A,EF与AC交于M点. (1)求证: ABEs: ECM (2)探究: 在DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形? 若能,求出BE的长;若不能,请说明理由; (3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积. (1)证明: TAB=AC, •••/B=ZC, ABC◎△DEF, •••/AEF=/B, 又•••/AEF+/CEM=ZAEC=ZB+/BAE, •••/CEM=ZBAE, •△ABEECM; (2)能. 解: •••/AEF=ZB=/C,且/AME>ZC,•••/AME>ZAEF, •AE^AM; 当AE=EM时,贝U△ABE◎△ECM, •CE=AB=5, •BE=BC-EC=6-5=1, 当AM=EM时,则/MAE=/MEA,•••/MAE+ZBAE=/MEA+ZCEM,即/CAB=ZCEA,又•••/C=ZC, •△CAECBA, CE二ACAC^CB CE= •BE=6- 25^1; =; 若AE=AM,此时E点与B点重合,M点与C点重合,即BE=0. •BE=1或「或0. (3)解: 设BE=x,又•••△ABEECM, •••Ml: 瓦盂, 即: 」「 x5 2 •CM=-'+X=-二(x-3)2+二 5555’ •AM=5-CM—(x-3)2+' 55' •••当x=3时,AM最短为, 5 又•••当BE=x=3=」BC时, 2 •••点E为BC的中点, •AE丄BC, •AE=「「=4, 此时,EF丄AC, •EM= 5可, 弘AEM=: ;_ 25525 、专题过关 【题U如上图,AB_BD, 垂足为f•证明: i CD_BD,垂足分别为B、D,AC和BD相交于点E,EF_BD, 11 ABCD EF 答案: (BF+DF)/DF=AB/EF1BF/DF+1=AB/EF(BF+DF)/BF=CD/EF2DF/BF+仁CD/EF推出BF/DF=(AB-EF)/EF代入2EF/(AB-EF)+1=CD/EF=》AB/(AB-EF)=CD/EF =>1- EF/AB=EF/CD=>1=EF(1/AB+1/CD) =>1/EF=1/AB+1/CD 【题2】如图,已知AB//EF//CD,找出Sabd、S.bed、S.bcd之间的关系,并证明你的结论• 答案: 1/SABDE=1/SAABD+1/SABDC以AEC三点坐高于BD三条高依然存在1题中关系共用底边BD高的比等于面积比。 【题3】(2012年成都中考)如图,AABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形, .BAC=EDF=90,DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合.将DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段D
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