九年级数学中考方程组不等式组和函数的实际应用附答案.docx

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九年级数学中考方程组不等式组和函数的实际应用附答案

专题8方程（组）不等式（组）和函数的实际应用

一次函数求最值，不同于二次函数求最值，它一般分三步：

1．根据题目中的等式条件，建立一次函数关系式，确定其增减性；

2．根据题目中的不等式条件，列不等式（组），求出自变量的取值范围；

3．根据一次函数的增减性，恰当选取自变量的值，求函数的最值。

自我诊断1.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，

商品名称

甲

乙

进价（元/件）

80

100

售价（元/件）

160

240

设其中甲种商品购进x件

（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．

①求y与x的函数关系式；

②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？

若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？

（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及

（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．

自我诊断2紫荆商场销售某品牌保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种汤锅的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元．（销售额=销售量×售价）

（1）求紫荆商场9月份销售该品牌汤锅的销售单价；

（2）11月11日购物节商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y（件）与打折的折数x满足一次函数y=﹣50x+600．问商场打几折时利润最大，最大利润是多少？

（3）在

（2）的条件下，为保证紫荆商场利润不低于1.5万元，且能够最大限度帮助厂家减少库存，紫荆商场应该在9月份销售价的基础上打几折？

跟踪训练1

1.“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．

（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

2.大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒．调查发现：

这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：

（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（2）每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润为1200元？

（3）若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于115个，且单件利润不低于4元（x为整数），当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高？

最高利润是多少？

3.某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务.已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品.

（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？

（2）为了在规定期限内完成总任务，

工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置.请问至少需要补充多少名新工人？

4.某服装公司招工广告承诺：

熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）

（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？

（2）一段时间后，公司规定：

“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？

跟踪训练2

5.某商场秋季计划购进一批进价为每条40元的围巾进行销售根据销售经验，应季销售时，若每条围巾的售价为60元，则可售出400条；若每条围巾的售价每提高1元，销售量相应减少10条．

（1）假设每条围巾的售价提高x元，那么销售每条围巾所获得的利润是　元，销售量是　条（用含x的代数式表示）．

（2）设应季销售利润为y元，请写y与x的函数关系式；并求出应季销售利润为8000元时每条围巾的售价．

【拓展】：

根据销售经验，过季处理时，若每条围巾的售价定为30元亏本销售，可售出50条；若每条围巾的售价每降低1元，销售量相应增加5条，

（1）若剩余100条围巾需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损金额最小，每条围巾的售价应是　元．

（2）若过季需要处理的围巾共m条，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是　元；（用含m的代数式表示）

【延伸】：

若商场共购进了500条围巾且销售情况满足上述条件，如果应季销售利润在不低于8000元的条件下：

（1）没有售出的围巾共m条，则m的取值范围是：

　；

（2）要使最后的总利润（销售利润=应季销售利润﹣过季亏损金额）最大，则应季销售的售价是　元．

参考公式：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是

．

6.某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：

销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）的关系大致满足如图的函数，销售成本y2（元/件）与销售月份x（月）满足y2=

，月销售量y3（件）与销售月份x（月）满足y3=10x+20．

（1）根据图象求出销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（6≤x≤12且x为整数）

（2）求出该服装月销售利润W（元）与月份x（月）之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？

最大利润是多少？

（6≤x≤12且x为整数）

7.家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加

kΩ．

（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；

（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；

（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6kΩ？

答案

自我诊断1.

考点:

一次函数的应用．

分析:

（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由总价=甲单价×甲商品数量+乙单价×乙商品数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；

（2）①根据利润=甲商品单件利润×数量+乙商品单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；

②根据总价=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的增减性即可解决最值问题；

（3）根据利润=甲单件利润×数量+乙单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．

解：

（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，

由已知得：

80x+100（200﹣x）=17900，

解得：

x=105，

200﹣x=200﹣105=95（件）．

答：

购进甲种商品105件，乙种商品95件．

（2）①由已知可得：

y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．

②由已知得：

80x+100（200﹣x）≤18000，

解得：

x≥100，

∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减，

∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000．

故该商场获得的最大利润为22000元．

（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），

即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．

①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，

∴当x=100时，y有最大值，

即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．

②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，

即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样．

③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大，

∴当x=120时，y有最大值，

即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．

点评:

本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：

（1）根据数量关系列出关于x的一元一次方程；

（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的系数分类讨论．本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．

自我诊断2

考点:

二次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

分析:

（1）根据保温水瓶成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元，可以设出9月份的保温瓶销售单价x元，再用x表示当月的销售数量，从而可以列出相应的方程即可解答本题（也可以设单价和销量两个未知数，列二元一次方程组）；

（2）根据题意可以列出销售利润的关系式，将其化为顶点式，即可求得最大利润和此时的打折数；

（3）由

（2）和题意可以列出相应的关系式，从而可以求得x的范围，结合题意取舍即可．

解：

（1）设9月份销售价格为每件x元，据题意可得：

，

解得：

x=200．

答：

9月份每件销售200元．

（2）设紫荆商场在11月11日购物节销售该品牌的利润为W元，

则：

W=200×

（﹣50x+600）﹣80（﹣50x+600）（x≥4），

=﹣1000×x2+16000x﹣48000=﹣1000（x﹣8）2+16000，

当x=8时，最大利润为16000元．

答：

商场打8折时利润最大，最大利润是16000元；

（3）200×

（﹣50x+600）﹣80（﹣50x+600）≥15000，

解得7≤x≤9．

当7≤x≤9时，函数y=﹣50x+600的值随着x的增大而减小，

因此当x=7时，利润不低于15000元，且又能够最大限度减少厂家库存．

点评:

本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，能根据题目的要求，列出相应的表达式，会求函数的最值．

跟踪训练答案

1.考点：

一元二次方程的应用；一次函数的应用．

分析：

（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可；

（2）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组，求出x的取值范围；然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．

解：

（1）设平均增长率为a，根据题意得：

64（1+a）2=100

解得：

a=0.25=25%或a=﹣2.25

四月份的销量为：

100•（1+25%）=125（辆）．

答：

四月份的销量为125辆．

（2）设购进A型车x辆，则购进B型车

辆，

根据题意得：

2×

≤x≤2.8×

解得：

30≤x≤35

利润W=（700﹣500）x+

（1300﹣1000）=50x+9000．

∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．

当x=35时，

不是整数，故不符合题意，

∴x=34，此时

=13（辆）．

答：

为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．

点评：

本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点．

2.考点：

方程组、不等式、二次函数的应用．

分析：

（1）根据图象利用待定系数法直接求出函数的解析式即可；

（2）根据利润等于每个利润×数量建立方程求出其解就可以了；

（3）根据条件先求出售价的取值范围，再表示出利润的解析式，根据函数的性质就可以求出结论．

解：

（1）设这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式y=kx+b，由题意，得

，

解得：

，

则y=﹣10x+300

（2）由题意，得

（x﹣8）•y=1200，

（x﹣8）（﹣10x+300）=1200

解得：

x1=18，x2=20，

答：

当定价为18元或20元时，利润为1200元．

（3）根据题意得：

得：

12≤x≤18.5，且x为整数．

设每星期所获利润为W元，由题意，得

W=（x﹣8）•y

=（x﹣8）（﹣10x+300）

=﹣10（x2﹣38x+240）

=﹣10（x﹣19）2+1210，

∵a=﹣10＜0，

∴抛物线开口向下，在对称轴的左边W随x的增大而增大

∴当x=18时，W有最大值，W最大=1200．

答：

每个文具盒的定价是18元时，可获得每星期最高销售利润1200元．

3.解：

（1）设有x名工人加工G型装置，则有（80―x）名工人加工H型装置，

根据题意，

＝

解得，x＝32，每天能组装48套GH型电子产品

（2）设招聘a名新工人加工G型装置

仍设x名工人加工G型装置，（80―x）名工人加工H型装置，

根据题意，

＝

，

x＝

因为80―x≥

，即x≤20

≤20，解得a≥30，至少应招聘30名新工人

4.考点：

一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．

分析：

（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时，根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”，列出方程组，即可解答．

（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A型服装数量不少于B型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答．

解：

（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时．

由题意得：

，

解得：

答：

熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时．

（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．

∴W=16a+12（25×8﹣2a）+800，

∴W=﹣8a+3200，

又∵a≥

，

解得：

a≥50，

∵﹣8＜0，

∴W随着a的增大则减小，

∴当a=50时，W有最大值2800．

∵2800＜3000，

∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．

5.解：

（1）每个围巾所获得的利润是（20+x）元，这种围巾的销售量是（400﹣10x）个．

（2）设应季销售利润为y元．

由题意得：

y=（20+x）（400﹣10x）=﹣10x2+200x+8000

把y=8000代入，得﹣10x2+200x+8000=8000

解得x1=0，x2=20；

答：

围巾的售价为60元或80元．

拓展：

（1）设过季处理时亏损金额为y2元，单价降低z元．

由题意得：

y2=40×100﹣（30﹣z）（50+5z），

y2=5（z﹣10）2+2000；

z=10时亏损金额最小为2000元，此时售价为30﹣10=20（元/件）

（2）y2=40m﹣（30﹣z）（50+5z），

y2=5（z﹣10）2+40m﹣2000；

延伸：

①m的取值范围是：

100≤m≤300

②因为m=500﹣（400﹣10x）=100+10x，且100≤m≤300

所以亏损的最小金额为40（100+10x）﹣2000=2000+400x元

设总利润为w，

W=（20+x）（400﹣10x）﹣（2000+400x）=﹣10（x+10）2+7000

因为0≤x≤20，

所以当x=0时，即售价为60元/条，总利润w有最大值6000元．

6.解：

（1）设销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式为y1=kx+b（6≤x≤12），

函数图象过（6，60）、（12，100），则

，

解得

．

故销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式y1=

x+20（6≤x≤12且x为整数）；

（2）由题意得w=y1•y3﹣y2•y3即w=（

x+20）•（10x+20）﹣

x•（10x+20）

化简，得

w=20x2+240x+400，

∵a=20，x=﹣

=﹣

=﹣6是对称轴，

当x＞﹣6时，w随x的增大而增大，

∴当x=12时，销售量最大，W最大=20×122+240×12+400=6160，

答：

12月份利润最大，最大利润是6160元．

7.解：

（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，

∴可设R和t之间的关系式为R=

，

将（10，6）代入上式中得：

6=

，

即k=60．

故当10≤t≤30时，R=

；

（2）将t=30℃代入上式中得：

R=

，R=2．

∴温度在30℃时，电阻R=2（kΩ）．

∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加

kΩ，

∴当t≥30时，

R=2+

（t﹣30）=

t﹣6；

（3）把R=6（kΩ），代入R=

t﹣6得，t=45（℃），

所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．