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《线性代数的几何意义》之五矩阵的几何意义上
《线性代数的几何意义》
----图解线性代数----
任广千编著
2010.08.16
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《线性代数的几何意义》
几何意义名言录
没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了,因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。
-------笛卡尔
算术符号是文字化的图形,而几何图形则是图像化的公式;没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。
--------希尔伯特
“如果代数与几何各自分开发展,那它的进步十分缓
慢,而且应用范围也很有限,但若两者互相结合而共同发展,则就会相互加强,并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。
”
--------拉格朗日
不会几何学就不会正确的思考,而不会正确思考的人不过是行尸走肉。
--------柏拉图
无论是从事数学教学或研究,我是喜欢直观的。
学习一条数学定理及其证明,只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了,我才认为真正懂了。
--------中国当代数学家徐利治
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《线性代数的几何意义》
第五章矩阵的几何意义
通过前面的章节我们初步了解到,解线性方程组的克莱姆法则使用了行列式理论,但克莱姆法则只能用于解方程个数等于未知数个数的方程组,而且系数行列式不能等于0。
即使以上条件都满足,也要计算n+1个n阶行列式。
实际工程中的n一般很大,即使在现代计算机技术面前,计算效率也不能使人满意。
在用消元法解各种类型的线性方程组时,一系列问题出现了:
当系数行列式等于0时,方程组是否有解?
若有解又如何求出?
当未知量个数与方程的个数不等时,线性方程组的解又如何?
要深入探讨这些问题除了向量概念外还需要引入矩阵的理论。
到1858年,哈密尔顿(W.R.Hamilton)和凯莱(A.Cay-ley)的著作中出现了矩阵的运算,从行列式到矩阵的出现,大约经过了100多年的时间。
我们知道,在直角坐标系中,一个有序的实数数组(a,b)和(a,b,c)分别代表了平面上和空间上的一个点,这就是实数组的几何意义。
类似的,在线性空间中如果确定了一个基,线性映射就可以用确定的矩阵来表示,这就是矩阵的几何意义:
线性空间上的线性映射。
矩阵独立的几何意义表现为对向量的作用结果。
矩阵对一个向量是如何作用的?
矩阵对多个向量是如何作用的?
矩阵对一个几何图形(由无数向量组成的几何图形)是如何作用的?
在矩阵对一个几何图形的作用研究中,我们会发现一些有规律的东西比如特征向量、秩等等。
5.1.矩阵的概念
矩阵的本质就是一个长方形的数表,在生活中的所有长方形数表都可以看成是矩阵。
矩阵和行列式相似,也是以行和列组织的矩形数字阵列,因此称为矩阵。
与行列式的表示法不同,矩阵是用方括号把数字块括起来,表示一个有顺序有组织的数据块;而行列式是对这些数据块进行的一个运算,是一个算式,故称为行列式。
矩阵的一个三阶例子如下:
⎡a1b1c1⎤⎢c⎥⎢222⎥⎢⎣3b3c3⎥⎦
如果用数组来统一定义标量、向量和矩阵的话就是:
标量是一维向量,向量是标量的数组,矩阵则是向量的数组。
例如上面介绍的矩阵我们如果使用列向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),TT
c=(c1,c2,c3)来表示它,这个矩阵就可以写作:
[abc]。
T
当然,矩阵不只是只有几何意义,也具有现实的物理意义,矩阵的运算也都可以从实践中找到。
下面有个例子:
比如某家电器公司的制造厂有几个生产线,产线在2009年和2010年的上半年的产出量的统计表如下:
顺序产线名2009年上半年的每月产出量
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《线性代数的几何意义》
1月2月月4月5月
12
冰箱线吸尘器线
6月1230
2225
3543
3032
2334
2535
3
顺序
电视线2334444045
产线名2010年上半年的每月产出量
1月月月4月5月
6月12341234
冰箱线吸尘器线
2224
3443
3032343531
2334
2535
电视线23手机线34
412345
线24
我们将第一个表格对应的矩阵记为A,第二个表格对应的矩阵记为B,则有:
⎡22⎢25⎢A=⎢23
⎢⎢0⎢⎣0
那么有:
3530232512⎤⎡223430232512⎤
⎢244332343534⎥4332343530⎥⎥⎢⎥
2334444045⎥和B=⎢232334454145⎥。
⎥⎢⎥
00000⎥343435452343⎢⎥
⎢00000⎥⎦⎣452431344512⎥⎦
A+B实际意义是:
2009、2010年1~6月各产线每月产量的和(2001年手机,VCD机的产量为0);B−A实际意义是:
2010年1~6月各产线每月产量比上年同期的增产情况;
设冰箱、吸尘器、电视机、手机、VCD机的价格分别是l500元台、900元/台、300元/台、2500元/台、980元/台,则有向量c=(150090030002500980),那么矩阵乘法:
cB的实际意义是:
2010年1~6月该制造厂每种产品的月产值。
如果每生产一件产品职工得到的奖励积分为3分,则数乘运算3A实际意义是2009年1~6月该厂各
车间的职工月积分。
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《线性代数的几何意义》
5.2.矩阵加法的几何意义
矩阵的加法和乘法等简单运算可看作来自于线性方程组的简单运算,读者可以参看第七章的7.1节的详细介绍。
在下面介绍矩阵的加法和乘法几何意义时,我们仍然不能离开向量的有力帮助。
矩阵中的行向量或列向量的意义可以有效地帮助我们看清矩阵所蕴含的几何变换的意义。
多个矩阵的加法比较简单,即使不用给出几何意义,我们也能轻松掌握它。
不过画出矩阵加法的几何图形,可以帮助你对多个向量所组成的几何图形的叠加有个形象的认知。
1
上图显示了三组向量同时连加,每组有三个向量的分量连加。
把上述用矩阵表述出来就是:
⎡a11a12a13⎤⎡a21a22a23⎤⎡a31a32a33⎤⎡a1a2a3⎤⎢bbb⎥+bbb⎥+⎢bbb⎥=bbb⎥⎢111213⎥⎢212223⎥⎢313233⎥123⎥⎢⎣c11c12c13⎥⎦⎢⎣c21c22c23⎥⎦⎢⎣c31c32c33⎥⎦⎢⎣c1c2c3⎥⎦
我们把上述每个矩阵都分解为三个行向量来给出图形的,其实因为矩阵的加法是对每个元素分别对应相加,因此对于列向量同样等效。
5.3.矩阵与向量的乘法的几何意义
矩阵与向量乘积比如Ax表现为矩阵A对一个向量x作用的结果。
其作用的主要过程是对一个向量进行旋转和缩放的综合过程(即线性变换的过程),一个向量就变换为另外一个向量。
一个m行n列的实矩阵Am×n就是一个R→R上的线性变换,或者地说,矩阵Am×n把一个n维空间的n维向量变换为一个m维空间的m维向量。
nm
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矩阵与向量的乘积的概念
矩阵A与向量c的乘积(矩阵左乘向量,记为Ac)是一个向量,这个向量的每个分量是以矩阵A的每个行向量分别与列向量c的数量积作为元素的。
乘式如下:
⎛⎛c1⎞⎞⎜⎜⎟⎟aaac2⎟⎟⋅()123⎜⎜⎛c1⎞⎜⎜c⎟⎟ac+ac+acaaa⎡123⎤⎜⎟⎝3⎠⎟⎛112233⎞⎜c==⎜A⋅c⎢⎟⎥⎜2⎟bbbbcbcbc++⎛c1⎞⎟⎝112233⎠⎣123⎦⎜c⎟⎜
⎝3⎠⎜⎜⎟⎟
bbb⋅()⎜123⎜c2⎟⎟
⎜c⎟⎟⎜
⎝3⎠⎠⎝
上式Ac的乘积是把矩阵A看作两个行向量,实质上还是向量与向量的点乘积。
类似的,向量c与矩阵A的乘积(矩阵右乘向量,记为cA)也是一个向量,这个cA向量的每个分
量是行向量c与矩阵A的每个列向量的点乘积。
乘法公式如下:
⎡a1b1⎤⎛⎛a1⎞⎢ab⎥=⎜ccc⋅⎜a⎟c⋅A=(c1c2c3)⎢22⎥⎜(123)⎜2⎟
⎜⎟⎜⎢⎣a3b3⎥⎦⎝⎝a3⎠⎛b1⎞⎞
⎜⎟⎟
ccc⋅(123)⎜b2⎟⎟=(c1a1+c2a2+c3a3c1b1+c2b2+c3b3)
⎜⎟⎟⎝b3⎠⎠
以上的乘积运算都是“行向量⋅列向量”的形式。
下面我们换一下思维方式,把乘积运算看成“列向量⋅行向量”的形式是否说得通?
先从Ac的乘积开始:
如果把矩阵A分解为3个列向量的话,我们可以这样展开上式:
⎛c1⎞
aaa⎡123⎤⎜⎛a1⎞⎛a3⎞⎛a1c1+a2c2+a3c3⎞⎛a2⎞
A⋅c=⎢⎥⎜c2=⎜b⎟c1+⎜b⎟c2+⎜b⎟c3=⎜bc+bc+bc⎟。
bbb⎝2⎠⎣123⎦⎜c⎝1⎠⎝3⎠⎝112233⎠
⎝3⎠
这上式的含义是Ac的乘积可以理解为矩阵A的列向量的线性组合,组合系数是向量c的三个分量。
个展开的实质仍然是向量点乘积的乘法。
再看c⋅A的展开:
⎡a1b1⎤
⎥=cab+cab+cab=ca+ca+cacb+cb+cb
c⋅A=(c1c2c3)⎢ab222(22)3(33)(112233112233)⎢⎥1(11)
⎢⎣a3b3⎥⎦
这个式子可以理解为矩阵A的行向量的线性组合,组合系数是向量c的三个分量。
实际上,在以上的各种乘法中,我们使用了矩阵和向量的分块技术(全部是“行向量⋅列向量”的形
式),每一个分块都要看成是矩阵最基本的元素“数”进行运算。
至此,我们较全面地理解了向量与矩阵乘积的展开实质。
显然,左乘与右乘的结果是不同的。
为什么不同,答案就在随后的章节里。
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矩阵与向量乘积的几何意义
为了更具体的观察矩阵和向量乘积的几何意义,我们下面先考察一个矩阵与欧式空间的单位坐标向量的乘积的过程,然后再看一个矩阵与任意向量的乘积的几何意义。
矩阵与单位坐标向量的乘积的几何解释
三维的单位坐标向量就是i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)。
我们取x坐标轴上的单位向量i⎡a1a2a3⎤⎢⎥与A=b1b2b3相乘,得乘式如下:
⎢⎥⎢⎣c1c2c3⎥⎦
⎡a1a2a3⎤⎥=(aaa),iA=(1,0,0)bbb123⎢123⎥⎢⎣c1c2c3⎥⎦
⎡a1a2a3⎤⎛1⎞⎛a1⎞⎥⎜0⎟=⎜b⎟AiT⎢bbb⎢123⎥⎜⎟⎜1⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎣c1c2c3⎥⎦⎝0⎠⎝c1⎠
⎛a1⎞⎜⎟iA的结果是(a1a2a3),这恰是矩阵A的第一行。
AiT的结果是⎜b1⎟,这恰是矩阵A的第一列。
⎜c⎟⎝1⎠
为了更明了,下面把j和k与矩阵A的乘积也一并列出来:
⎡a1a2a3⎤⎥=(bbb)jA=(0,1,0)⎢bbb123123⎥⎢⎣c1c2c3⎥⎦
⎡a1a2a3⎤⎥=(ccc)kA=(0,0,1)⎢bbb123⎢123⎥⎢c1c2c3⎥⎦
⎡a1a2a3⎤⎛0⎞⎛a2⎞⎥⎜1⎟=⎜b⎟AjT=⎢bb⎢123⎥⎜⎟⎜2⎟⎟⎜⎟⎢1c2c3⎦⎥⎜⎝0⎠⎝c2⎠⎣
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《线性代数的几何意义》
⎡a1a2a3⎤⎛0⎞⎛a3⎞⎥⎜0⎟=⎜b⎟AkT=⎢bb123⎢⎥⎜⎟⎜3⎟⎜⎟⎜⎟⎢c12c3⎥⎣⎦⎝1⎠⎝c3⎠从向量对矩阵的作用方面上,我们可以这样理解上述的乘式给出的操作意义上的内涵:
1、x单位坐标向量i左乘一个矩阵就是把矩阵x轴行向量(第一行)给取出来;类似的,y轴
单位坐标向量j左乘一个矩阵就是把矩阵y轴行向量(第二行)给取出来;z坐标单位向量k左乘一个矩阵就是把矩阵z轴行向量(第三行)给取出来;
2、x坐标单位向量i右乘一个矩阵就是把矩阵x轴列向量(第一列)给取出来;类似的,y坐
标单位向量j右乘一个矩阵就是把矩阵y轴列向量(第二列)给取出来;z坐标单位向量k右乘一个矩阵就是把矩阵z轴列向量(第三列)给取出来;
另外,从矩阵对向量的作用上,我们又可以从几何图形上这样理解其作意义上的内涵:
3、一个矩阵右乘x坐标单位向量i,就是把向量i的图形缩放旋转变换,变换后的向量就是这
;类似的,一个矩阵右乘y坐标单位向量j,就是把向个矩阵的x轴上的行向量(第一行)
量j的图形缩放旋转变换,变换后的向量就是这个矩阵的y轴上的行向量(第二行);一个矩阵右乘z坐标单位向量k,就是把向量k的图形缩放旋转变换,变换后的向量就是这个矩阵的z上的行向量(第三行);
4、一个矩阵左乘x坐标单位向量i,就是把向量i的图形缩放旋转变换,变换后的向量就是这
;类似的,一个矩阵左乘y坐标单位向量j,就是把向个矩阵的x轴上的列向量(第一列)
量j的图形缩放旋转变换,变换后的向量就是这个矩阵的y轴上的列向量(第二列);一个矩阵左乘z坐标单位向量k,就是把向量k的图形缩放旋转变换,变换后的向量就是这个矩阵的z
轴上的列向量(第三列);
任何一个矩阵和单位向量i相乘得到矩阵的第一列向量。
相类似的,任何一个向量和单位向量i相乘(内积),是这个向量的第一个分量。
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《线性代数的几何意义》
TT上图中,我们给出了三阶矩阵A分别右乘x,y,z坐标单位向量i,jT,k后的变化几何图形,单
⎛a3⎞⎛a1⎞⎛a2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟TT位向量i,jT,k分别缩放旋转变化成了向量⎜b1⎟、向量⎜b2⎟和向量⎜b3⎟。
虚线向量表示一种变化
⎜c⎟⎜c⎟⎜c⎟⎝1⎠⎝2⎠⎝3⎠
的过程。
矩阵与任意向量的乘积的几何解释
在前面的章节中我们讲过,一个向量可以拆分为单位坐标向量的线性表示,或者讲是单位坐标向量的伸缩变换后的和。
我们再次列出这个表达式如下:
d=(d1,d2,d3)=d1i+d2j+d3k=d1(1,0,0)+d2(0,1,0)+d3(0,0,1)
或
⎛d1⎞⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟d=⎜d2⎟=d1iT+d2jT+d3kT=d1⎜0⎟+d2⎜1⎟+d3⎜0⎟
⎜0⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜d⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝3⎠
所以,矩阵A对任意向量d的乘积式就是
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⎡a1a2a3⎤⎛d1⎞⎡a1a2a3⎤⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞⎢bbb⎥⎜d⎟=⎢bbb⎥(d⎜0⎟+d⎜1⎟+d⎜0⎟)A⋅d=⎢123⎥⎜2⎟⎢123⎥1⎜⎟2⎜⎟3⎜⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜⎟ccc⎥⎜0⎟⎢⎝⎠⎝⎠⎣c1c2c3⎥⎦⎝d3⎠⎢⎣123⎦⎝⎠
⎡a1a2a3⎤⎛1⎞⎡a1a2a3⎤⎛0⎞⎡a1a2a3⎤⎛0⎞⎥⋅⎜0⎟+d⎢bbb⎥⎜1⎟+d⎢bbb⎥⎜0⎟=d1⎢bbb⎢123⎥⎜⎟2⎢123⎥⋅⎜⎟3⎢123⎥⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜1⎟⎢⎢⎢c1c2c3⎦⎥⎝⎠⎣c1c2c3⎥⎦⎝0⎠⎣c1c2c3⎥⎦⎝0⎠⎣
=d1A⋅iT+d2A⋅jT+d3A⋅kT
上式揭示了矩阵A对任意向量d的乘积的几何解释可以分解为几个操作过程:
首先,矩阵A分别对单位向量i,jT,k进行伸缩旋转变换后得到三个向量(列向量,上节的内容),然后对这三个列向量TT
AiT,AjT,AkT分别进行伸缩变换得到了d1AiT,d2AjT,d3AkT,再把此三向量相加,得到的和向量就是A⋅d的乘积。
绘出上式的几何图像如下。
下图得到了中间结果三个向量d1AiT=d1(a1,b1,c1),d2AjT=d2(a2,b2,c2),
d3Ak
T=d3(a3,b3,c3)的几何图形。
下图把中间结果三个向量d1AiT=d1(a1,b1,c1),d2AjT=d2(a2,b2,c2)和d3AkT=d3(a3,b3,c3),依照平行四边形法则或多边形法则连加,得到最终结果
A⋅d=(a1d1+a2d2+a3d3,b1d1+b2d2+b3d3,c1d1+c2d2+c3d3)。
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《线性代数的几何意义》
呵,不太直观是吧。
好,把上式简化一下,利用线性表示的概念(在矩阵与向量乘积概念一节中讲过)我们可能得到一个更直接的易于理解的几何图像,调整乘式如下:
⎡a1a2a3⎤⎛d1⎞⎡a1a2a3⎤⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞⎥⎜d⎟=⎢bbb⎥(d⎜0⎟+d⎜1⎟+d⎜0⎟)A⋅d=⎢bbb123⎢⎥⎜2⎟⎢123⎥1⎜⎟2⎜⎟3⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜d⎟⎢ccc⎥⎜0⎟⎢c1c2c3⎦⎥⎝⎝⎠⎝0⎠⎝1⎠3⎠⎣123⎦⎣aaa⎛3⎞⎛1⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=d1⎜b1⎟+d2⎜b2⎟+d3⎜b3⎟⎜c⎟⎜c⎟⎜c⎟⎝1⎠⎝2⎠⎝3⎠
上式的几何意义就是向量组的线性表示的几何意义(后面的章节中还要讨论),几何解释就是把矩阵A的列向量进行伸缩变换(比例变换,也可能改变方向)后首尾相连(即向量的和)得到了一个新向量,这个向量就是A⋅d。
这个几何解释校前面的解释更简洁一点,但没有大的差别。
如果我们知道矩阵的列空间的概念,我们可以得到一个新的几何意义上的理解:
矩阵A的列向量空间是A的所有列向量所张成R中的一个子空间。
尽管这些列向量可能是线性相关的,那么A⋅d的表达式(见上式)则说明,矩阵A把R中的向量d映射到列向量子空间里的一个向量上去了。
一个m行n列的实矩阵Am×n就是一个R→R上的线性变换,或者地说,矩阵Am×n把一个nmnn
n维空间的n维向量变换为一个m维空间的m维向量。
看一个综合性的表格如下:
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《线性代数的几何意义》
下节我们讨论一个特殊的矩阵---旋转矩阵。
因为通过进一步了解旋转矩阵会深化大家对矩阵几何意义的理解。
旋转矩阵对向量的乘积的几何解释
大家已经知道,一个矩阵乘以一个向量,一般将会对向量的几何图形进行旋转和伸缩变化。
在教科书中,我们常见的一个例子就是旋转矩阵,旋转矩阵只对向量进行旋转变化而没有伸缩变化。
例如二阶旋转矩阵A:
⎛cosθ−sinθ⎞A=⎜⎟sincosθθ⎝⎠
显然,二阶的所有的某一特定角度的旋转矩阵都分布在单位园上。
对θ取几个不同的弧度,就会得到几个旋转矩阵:
⎛1,比如单位矩阵A1=⎜⎝0,
⎛⎜
A2=⎜⎜⎜⎝0⎞⎟实际上就是对一个向量c旋转的角度是0,也就是Ac=c;而矩阵1⎠⎞,−⎟π22⎟就是对一个向量c旋转的角度是。
4⎟,⎟22⎠
是不是这样的呢?
首先看一下旋转矩阵A对单位向量i,j的作用效果。
⎛cosθ−sinθ⎞⎛1⎞⎛cosθ⎞Ai=⎜⎟⎜⎟=⎜⎟,sinθcosθ0sinθ⎝⎠⎝⎠⎝⎠cosθ−sinθ0−sinθcos(θ+π/2)⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛==Aj=⎜⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝sinθcosθ⎠⎝1⎠⎝cosθ⎠⎝sin(θ+π/2)⎠
从上式和下图看出,旋转矩阵对单位向量i,j确实分别逆时针旋转了一个θ角度。
旋转后的两个向量Ai和Aj保持长度不变和夹角不变。
或者说向量i→Ai长度不变,角度逆时针增加了θ度;向量j→Aj长度不变,同时同向角度增加了θ度。
显然,向量的和i+j→Ai+Aj长度不变,角度逆时针增加了θ度。
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《线性代数的几何意义》
)
1
对于任意向量c,我们知道,可以分解为单位向量的线性表示:
⎛c1⎞⎛1⎞⎛0⎞c=⎜⎟=c1⎜⎟+c2⎜⎟=c1i+c2j⎝0⎠⎝1⎠⎝c2⎠
那么,旋转矩阵作用于向量c的式子为:
⎛c1⎞⎛1⎞⎛0⎞⎛1⎞⎛0⎞A⎜⎟=A(c1⎜⎟+c2⎜⎟)=c1A⎜⎟+c2A⎜⎟=c1Ai+c2Aj⎝0⎠⎝1⎠⎝0⎠⎝1⎠⎝c2⎠
类似的,我们考察旋转矩阵A把任意向量c变换到Ac时,对比上述两式,向量c1i→c1Ai长度不变,角度逆时针增加了θ度;向量c2j→c2Aj长度不变,同时同向角度增加了θ度。
那么,向量的和
角度逆时针增加了θ度,即c→Ac长度不变,角度逆时针增加了θ度。
c1i+c2j→c1Ai+c2Aj长度不变,
如下图所示。
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《线性代数的几何意义》
另外,对于不同的旋转矩阵之间的比较,也有一个小小的规律。
我们给出矩阵几组具体的数值来观察其行向量的图形的变化。
由上表格和图形知道,当θ=0时,旋转矩阵的行向量就是x和y轴的单位向量i和j,随着θ角度的增大,单位向量在单位园上同时进行顺时针等角度旋转。
如果我们从列向量的角度看旋转矩阵,又会得到什么图形呢?
把上述矩阵的几组具体的数值重新列在下面,来观察其列向量的图形的变化。
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显然,从上图看出列向量在随着θ的角度的增加而逆时针旋转,刚好与行向量同时反向旋转!
这正是正交矩阵的特征。
也就是说,旋转矩阵就是正交矩阵。
5.4.矩阵与矩阵的乘法几何意义
两个矩阵相乘如AB的几何意义可以从多个角度来了解。
如果把矩阵A看作一个几何图形,那么乘以B就是把A的图形进行了有规律的变换,这个规律的变换就是线性变换(这里实际上把矩阵A看成了多个向量的组合);如果把两个矩阵看作等同的,那么AB的结果是把两个线性变换进行了叠加或复合(嗨,至于矩阵乘法有什么代数上的意义,你可以先看看6.9节“方程组和矩阵、向量组的关系”会得到合理的解释)。
下面我们具体的讨论一下。
矩阵与矩阵的乘法的意义
矩阵与矩阵的乘法可以从矩阵与向量的乘法得到,因为一个矩阵与多个向量相乘,这多个向量就可以组成一个矩阵(会有些限制)。
或者说,矩阵本身就是一个有排列顺序要求的向量组,所以矩阵与矩阵相乘可以看作矩阵乘以列向量(或者行向量乘以矩阵的)的组合。
例如:
⎡a1a2⎤⎛c1⎞Ac=⎢⎥⎜c⎟,bb⎣12⎦⎝2⎠⎡a1a2⎤⎛d1⎞
Ad=⎢⎥⎜d⎟
bb⎣12⎦⎝2⎠
如果把列向量c和d可以组合成一个矩阵B=(c,d),那么上述的乘积可以用两个矩阵的乘积来表示:
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《线性代数的几何意义》
⎡aa⎤⎡cd⎤AB=A(c,d)=⎢12⎥⎢11⎥⎣b1b2⎦⎣c2d2⎦
当然,如果有更多的向量组合起来,可以形成这样的矩阵乘式:
⎡a1a2⎤⎡c1d1e1f1g1⎤AC=A(c,d,e,f,g)=⎢⎥⎢cdefg⎥bb⎣12⎦⎣22222⎦
类似的,通过向量乘以矩阵的定义,我们同样可以定义反顺序的矩阵乘式,这里向量为行向量:
⎡c1⎛c⎞⎢d⎜⎟d⎢1⎜⎟CA=⎜e⎟A=⎢e1⎢⎜⎟f⎢f1⎜⎟⎜g⎟⎢g⎝⎠⎣1c2⎤d2⎥⎥⎡ab⎤11e2⎥⎢⎥ab⎥f2⎥⎣22⎦g2⎥⎦
因此,矩阵与矩阵的相乘的几何意义,可以从矩阵与多个向量相乘的几何意义得到,只是多个向量被按照顺序组合成了另一个矩阵。
矩阵乘以矩阵如AB=C的一般几何意义就是把其中一个矩阵如B的数个行向量或列向量构成的几何图形进行旋转、缩放、镜像等变换(另外一个矩阵A起到的作用)得到了数个新向量,这些新向量作为行向量或者列向量组成一个新的矩阵C,这个新矩阵C会构成新的几何图形。
对于下面的乘式:
⎡aa⎤⎡cdefg⎤⎡hijkl⎤C=AB=A(cdefg)=⎢12⎥⎢11111⎥=⎢11111⎥=(hijkl)⎣b1b2⎦⎣c2d2e2f2g2⎦⎣h2i2j2k2l2⎦
我们给出具体的数据例子并画出这个变换的图形:
⎡11⎤⎡23532⎤⎡14⎤=⎢C=AB=⎢⎥⎢⎥⎥⎣1−1⎦⎣3112⎦⎣50⎦
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《线性代数的几何意义》
一片绿色的小枫叶,经过夏天的风雨洗礼的自然变换,终于成了一片红彤彤的大枫叶。
其实,两个矩阵相乘,我们可以有两种理解。
一种理解主要是考察一个矩阵对另一个矩阵所起的变换作用。
其作用的矩阵看作是动作矩阵,被作用的矩阵可以看作是由行或列向量构成的几何图形。
这个理解就是上面给出的几何解释。
另外一个理解就是两个矩阵都被看作是作用矩阵,两个矩阵的乘积被看作是两个矩阵的和作用。
一连串的矩阵相乘如S=A⋅B⋅C⋅D⋅E
⋅F,会把所有的矩阵线性变化的作用力传递并积累下去,最终得到一个和作用力S。
工业上的例子就是机器人的手臂,机械臂上的每个关节就是一个旋转矩阵(比如可以是一个4×4矩阵),机械臂末端的位置或动作是所有关节运动的综合效果。
这个综合效果可以用旋转矩阵的乘法得到。
在
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