平行四边形经典例题.docx

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平行四边形经典例题

平行四边形

-、基础知识平行四边形

平行四边形

矩形

菱形

止方形

等腰梯形

有两组对边分别

平行的四边形是

平行四边形。

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。

两腰相等的梯形是等腰梯形。

1、对边平行且相

等。

2、对角相等，邻角互补。

3、对角线互相平

分

1、四个角都是直角。

2、对角线相等。

1、四条边都相等。

2、两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。

1、两腰相等两

底平行

2、同一底上的两角相等

3、两条对角线相等

1、定义：

2、判定定理：

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

1、定义：

2、判定定理：

（1）对角线相等的平行四边形是矩形。

（2）有三个

1、定义：

2、判定定理:

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。

1先证明是矩形再证明一组邻边相等。

2先证明是菱形再证一个角是直角。

1、定义：

先判断是梯形在证明两腰相等。

2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

3、对角线相等

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

角是直角的四边形是矩形。

的梯形是等腰

梯形。

对称

性

轴对称图形

轴对称图形

轴对称图形

轴对称图形

二、1、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍

的一半。

2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题

例1.如图1,平行四边形ABCD中，AE丄BD,CF丄BD,垂足

分别为E、F.求证：

ZBAE二ZDCF.

例2、如图2,矩形ABCD中，AC与BD交于0点，BE丄AC于E,CF丄BD于F.

求证：

BE=CF.

2/18标准文案

点E、F分别在AB、

（图6）

分别

相交于点E,F.,求证：

四边形AFCE是菱形.

图7

例6、如图8,四边形ABCD是平行四边形,0是它的中心,E、F是对角线AC上的点.

（1）如果，则厶DEC^ABFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论.

图8

例7、如图9,已知在梯形ABCD中，AD〃BC,AB二DC,对角线AC和BD相交于点0,E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF〃BD交AC于点F,EG〃AC交BD于点C.

例3、己知：

如图3,在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,

CD上，且BE=2EA,CF=2FD.求证：

ZBEC=ZCFB.

例4、如图6,E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE二CF.

（1）求证：

△ABE^ZkCDF；

（2）客M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN,试判

断四边形MFXE是怎样的四边形，并证明你的结论.

例5、如图刃ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC

（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD/7BC,

AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论,“四边形EFOG的周长等于20B”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出己知、求证、不必证明.

图9

方案（平分方案画在备用图13

（1）、

（2）上），并给备用图⑴

备用图

（2）

了合理的解释.

图13

四、练习

一、选择题

1.下列命题正确的是（）

（A）、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形（B）、对角线

相等的四边形一定是矩形

（C）、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D）、在两条对角

线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

2.已知平行四边形ABCD的周长32,5AB二3BC,则AC的取值范围为（）

A.6

3.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E,使BE=BD,连结DE交BC于F,若ZDAB

=120°,ZCFE=135°,AB=b则AC的长为

（）（A）1

（B）1.2

（D）1.5

5-若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E,AE=lcm,

则BD的长是（

（A）lcm

（B）2cm

（C）

3cm

（D）4cm

6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线

（A）互相垂直（B）相等（C）互相平分（D）互相垂直且相等

7.如图,等腰ZkABC中,D是BC边上的一点,DE〃AC,DF/ZAB,AB二5那么四边形AFDE

的周长是（

A

F

BDC

）

（第io«s）

（A）5

（B）10

（D）20

（第7题）

（第8题）

（第10题）

8•如图，将边长为8cm的正方形纸片

处，点A落在点F处，折痕为MN,则H

D

c

（A）3cm（B）4cm（C）5cm

（C）15

（第9题）

ABCD折叠，使点D落在BC边中点E

线段CN的长是（）•

（D）6cm

9.如图,在直角梯形ABCD中,AD〃BC,

ZB二90°,AC将梯形分成两个三角形，其

则该梯形的中位线的长是（）.

中AACD是周长为18cm的等边三角形，

o

（A）9cm（B）12cm（c）-cm（D）18cm

2

10•如图，在周长为20cm的DABCD中，ABHAD,AC、BD相交于点0,OE±BD交AD于E,

则AABE的周长为（）

（A）4cm

（B）6cm

（C）8cm

（D）10cm

11.如图2,四边形如为矩形纸片•把纸片折叠，使点方恰好落毎G?

边的

中点尸处，折痕为处若CD=d则处等于«

E

I_

F

D

（A）4^3（B）3^3（C）4^2（D）8;

12.如图，己知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD±^点:

E、FBrc分

第12題图

别是

AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）

A、线段EF的长逐渐增大

B、线段EF的长逐渐减小

C、线段EF的长不变

D、线段EF的长与点P

13.在梯形ABCD中，AD//BC,

对角线AC丄BD,且AC=5mBD=12cm,则梯形中

位线的长等于（）

A.7.5cmB・7cmC・6.5cmD・6cm

14.国家级历史文化名城一一金华，风光秀丽，花木葱茏.某

广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.

如果有AB〃EF〃DC,BC//GH//AD.那么下列说法中错误的是（）

A.红花、绿花种植面积一定相等B.紫花、橙花种植面积一定相等

C.红花、蓝花种植面积一定相等D.蓝花、黄花种植面积一定相等

二、填空题

1.如果四边形四个内角之比1：

2：

3：

4,则这四边形为形。

2.若正方形的

对角线长为2说cm,则正方形的面积为o

3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是—

4.己知：

平行四边形ABCD的周长是30cm,对角线AC,BD相交于点0,AA0B的周长比

△B0C的周长长5cm,则这个平行四边形的各边长为o

5.已知：

平行四边形ABCD中，AE丄BC交CB的延长线于点E,AF丄CD交CD的延

3

长线于点F,AB+BC+CD+DA=32cm,BC=tAB,ZEAF=2ZC,则BE长为

6.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（—2,5）,B（—3,—1）,C（l,-1）,在第一象限内找一点D,使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是.

7.己知：

如图8,正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,E、F分别是边AB、BC±

图9

8.如图9

（1）是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10

（2）所示的一个菱形.对于图10

（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：

•

9.如图，在四边形ABCD中，P是对角线的中点，E,F分别是AB,CD的中点，

AD=BC,ZPEF=18,则ZPFE的度数是.

10.如图，菱形的两条对角线分别长6和8,点尸是对角线SC上的一个动点,

点財、"分别是边肋、虑的中点，则P推PN的最小值是

11.

笫12题图

如图，在四边形個刃中，E、F、G、〃分别是肋、BD、

CD、的中点，要使四边形航冯是菱形，四边形初①还应满足的一个条件是。

D

C

（13题）

（14题）

（12题）

12、如图所示,0为矩形ABCD的对角线交点,DF平分ZADC交AC于E,BC于F,ZBDF=15°,

则ZC0F二.

13.如图，矩形ABCD的对角线AC和加相交于点O,过点。

的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为.

14、如图，矩形gCR的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形A2B2C2D2,再顺次连结四边形a2b2c2d2四边中点得到四边形依此类推，求四边形U的而积是。

那么AOBC

16、在平行四边形ABCD中，ZC=ZB+ZD,则ZA=

ZD=

17.一个平行四边形的周长为70cm,两边的差是10cm,则平行四边形各边长为

emo

18、己知菱形的一条对角线长为12cm,面积为30cm2,则这个菱形的另一条对角线

长为cmo

19、菱形ABCD中，ZA=60°,对角线BD长为7cm,则此菱形周长cm。

20、如果一个正方形的对角线长为VI,那么它的面积o

21、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于0,ZA0B=60°,AB=8,则矩形对角线的长

22、如图3,等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB〃DE,BC=8,AB=6,AD=5则ZiCDE周

长o

21、正方形的对称轴有条

22、如图4,BD是L1ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四

边形，还需增加的一个条件是

23＞要从一张长为40cm,宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm,宽为12cm的矩

形纸片，最多能剪出张。

三、解答题

1.如图，在四边形ABCD中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=3,求AB的长。

3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A車合，点D落到D‘处,折痕为EF./\

（1）求证：

ZkABE竺△AD'F；■/7

（2）连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形/证叙阴纭论/

BE'C

对角线AC、BD相交于点E,

AD

已知：

如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AB二CD,

9/18标准文案

平行四边形经典例题

ZADB=60°,BD二10,BE:

ED=4:

1,求梯形ABCD的腰长.

5.如图，菱形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点，ZB=ZEAF=60°,

ZBAE=18°求ZCEF的度数。

（第6题）

6•己知：

如图，在△月％中，A彷AC,ADLBC的平分线，CEA.AN.垂足为点£

（1）求证：

四边形肋传为矩形；

（2）当△宓满足什么条件时，四边形

力血是一个正方形？

并给出证明.

7.如图，四边形ABCD中，一组对边AB二DC=4,另一组对边ADHBC,对角线BD与边

DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且ZABD二30°求：

（1）MH的长

（2）MX的长。

8.如图所示，在AABC中，ZBAC=90°,AD丄B,BE平分ZABC,EF^BC,那么AE二CF

吗？

证明你的结论。

A

9•如图，ABCD是正方形，CE〃BD,BE=BD,BE交9C于点F,

求证:

（1）ZBEC=30°

（2）DE=DF

E

10•如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上PE丄BC,垂足为E,PF丄CD,垂足为F,求证：

EF=AP

一点,

11.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交

BC于点F。

若PE二PF,且AP+AE二CP+CF

（1）求证：

PA二PC;

MN〃BC・

11.己知：

如图，E为OABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE

分别交BC、BD于点F、G,连结AC交BD于0,连结0F.求证：

AB=20F.

12.如图，在矩形ABCD中，AD=8cm,AB二6cm，点A处有一动点E以lcm/s的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2cm/s的速度由点C向点D运动，设运动的时间为x（s）,四边形EBFD的而积为y（cm'）,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。

21,如图16,己知四边形/磁是平行四边形，乙BCD的平分线6F交边肋于尸,的平分线％交边曲于G.

（1）线段肿与個相等吗？

并说

图16

（2）请你在己知条件的基盹占再磔如一f条件，使得△恥为等腰直角三角形,

A8标准文案B

E图18图27

22,如图17,已知口中，尸为肋的中点，比的延长线交场的延长线于点E.

（1）试说明线段G?

与刊相等的理由；

（2）若使乙F=ZBCF,DABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？

请你补上这个条件，并说明你的理由（不要再增添辅助线）.

23,（08上海市）如图，己知平行四边形中，对角线AC,BD交于点O,E是BD

延长线上的点，且是等边三角形.

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）若ZAED=2ZEAD,求证：

四边形ABCD是正方形.

24,已知：

如图19,四边形是菱形，厅是助延长线上一点，尸是励延长线上一点，且必-血请你以尸为一个端点，和图中己标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）.

（1）连结;

（2）猜想：

二;（3）证明：

25,如图20,己知正方形個⑦的对角线力C、助相交于点0,厅是力C上一点，连结刃，过点S作册丄亦，垂足为初交劭于点尸

（1）试说明OE=OF；

（2）如图21,若点£在M的延长线上，AMVBE于点必交加的延长线于点尸，

立，请说明理由.

13.如图在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB二90°AD二24cm,AB二8cm,BC二26cm,动点P从A开始沿AD边向D以lcm/s的速度运动，动点Q从C开始沿CB向B以3cm/s的速度运动,P,Q分别从点A,C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动,设运动的时间t,t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形，等腰梯

形？

也随之停止运等腰聪？

14已知：

如图，在直角梯形ABCD中，ZB=90°,AD〃BC,AD=24cm,BC=26cm,

动点P从A点开始沿AD边向D以lcm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向

B以3泌砂购速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点

（时间为t秒,t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形?

QC

.在AABC中，借助作图工具可以作岀中位线EF,沿着中位线EF—刀剪切后，用得到的AAEF和四边形EBCF可以拼接成平行四边形EBCP,接切线与拼图过程如图所示,依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明。

（1）在AABC中,

增加条件,

沿着一刀剪切后可以拼成矩形。

（2）在ZXABC中,

增加条件,

成菱形。

（3）在ZiABC中,

增加条件,

沿着一刀剪切后可

沿着一刀剪切后可

以拼

以拼

成正方形。

（4）在AABC（ABHAC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，画出切线与拼图示意图。

15如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形（图甲）；将余下的部分分成4个全等的图形（图己）仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。

（1）分成3个全等的图形（在图一中画出示意图）；

（2）分成四个全等的图形（在图二中画出示意图）；

（3）你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？

若能，画出大致的示意图。

1

图1图2

（图甲）（屋乙）

16.如图是王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔直

的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王大爷设计

15/18标准文案

一条引水渠的方案，画出图形，并简要写出作图的主要步骤.

解:

作图步骤：

17.

（1）如图25-1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是边BC、CD上的点，且ZEAF=1ZBAD.求证:

EF=BE+FD;

2

（2）如图25-2在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、

CD上的点，且ZEAF=丄ZBAD,

（1）中的结论是否仍然成立？

不用证明.

2

（3）如图25-3在四边形ABCD中，AB=AD,

ZB+ZADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且ZEAF二丄ZBAD,

（1）

2

中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系,并证明.

A

18.将边长0A二8,0010的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点0为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上.在OA、0C边上选取适当的点E、F,连接EF,将AEOF沿EF折叠，使点。

落在边上的点D处.

图①图②图③

（1）如图①，当点F与点C重合时，0E的长度为；

（2）如图②，当点F与点C不重合时，过点D作DG〃y轴交EF于点交0C于点

G.

求证：

EO=DT；

（3）在

（2）的条件下，设丁3>•）,写出〉，与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围是；

（4）如图③，将矩形04BC变为平行四边形，放在平而直角坐标系中，且0010,0C边上的高等于8,点F与点C不重合，过点D作DG〃y轴交EF于点T,交0C于点G,求出这时T3y）的坐标y与x之间的函数关系式（不求自变量x的取值范围）.

19.⑴如图10—1所示，BD,CE分别是AABC的外角平分线，过点A作AF丄BD,AG丄CE,垂足分别为F,G,连结FG,延长AF,AG,与直线BC分别交于点M、N,那么线段FG与AABC的周长之间存在的数量关系是什么？

即：

FG=（AB+BC+AC）（直

••援昌申结呆即可）.

（2）如图10-2,若BD,CE分别是AABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与

AABC三边之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并给予证明.

（3）如图10-3,若BD为AABC的内角平分线，CE为AABC的外角平分线，其他条

20.己知正方形ABCD和等腰RtABEF,EF=BE、ZBEF=90°,按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G,连EG、CG.⑴探索EG、CG的数量关系，并说明理由；

（2）将图1

中訪矿绕B点顺时针旋转45。

得图2,连结DF,取DF的中点G,问

（1）中的结论是否成立，并说明理由；

（3）将图1中绕B点转动任意角度（旋转角在0到90。

之间）得图3,连结DF,取DF的中点G,问

（1）中的结论是否成立，请说明理由；