初中数学几何知识点总结北师大版.docx

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初中数学几何知识点总结北师大版

初中数学（几何）知识点总结

考点六、投影与视图

1、投影

投影的定义：

用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。

平行投影：

由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。

中心投影：

由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

2、视图

当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图：

在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。

俯视图：

在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

左视图：

在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。

第九章三角形

考点一、三角形

1三角形的概念：

由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示

三角形有下面三个特性：

（1）三角形有三条线段

（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形

（3）首尾顺次相接

三角形用符号“

”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“

ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：

不等边三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：

等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：

三角形的两边之和大于第三边。

推论：

三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形。

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：

三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：

在同一个三角形中：

等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

8、三角形的面积：

三角形的面积=

×底×高

考点二、全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：

记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

4、全等变换

只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：

把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：

将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：

将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：

等腰三角形的两个底角相等（简称：

等边对等角）

推论1：

等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：

等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：

设腰长为a，底边长为b，则

④等腰三角形的三角关系：

设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：

等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形性质

等腰三角形判定

中线

1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；

2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形

角平分线

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；

2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；

2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

高线

1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；

2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；

2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

角

等边对等角

等角对等边

边

底的一半<腰长<周长的一半

两边相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：

可以证明两条直线平行。

数量关系：

可以证明线段的倍分关系。

常用结论：

任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：

三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：

三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：

三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：

三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：

三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

第十章四边形

考点一、四边形的相关概念

1、四边形：

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。

2、凸四边形：

把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。

3、对角线：

在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

4、四边形的不稳定性：

三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。

但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。

5、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：

四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：

四边形的外角和等于360°。

多边形的内角和定理：

n边形的内角和

180°；多边形的外角和定理：

任意多边形的外角和360°

6、多边形的对角线条数的计算公式：

设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为

。

考点二、平行四边形

1、平行四边形的概念：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形；定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离：

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积：

S平行四边形=底边长×高=ah

考点三、矩形

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）具平行四边形的一切性质；

（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；（4）矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

（1）定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：

有三个角是直角的四边形是矩形；定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积：

S矩形=长×宽=ab

考点四、菱形

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质；

（2）菱形的四条边相等；（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

（1）定义：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：

四边都相等的四边形是菱形；定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积：

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

考点五、正方形

1、正方形的概念：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

①先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

②先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）

4、正方形的面积：

设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=

考点六、梯形

1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

一般梯形

梯形直角梯形

特殊梯形

等腰梯形

2、梯形的判定

（1）定义：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

3、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

4、等腰梯形的判定

（1）定义：

两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

5、梯形的面积

（1）如图，

（2）梯形中有关图形的面积：

①

；②

；③

6、梯形中位线定理

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

第十一章解直角三角形

考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余：

可表示如下：

∠C=90°

∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°

可表示如下：

BC=

AB

∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∠ACB=90°

可表示如下：

CD=

AB=BD=AD

D为AB的中点

4、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90°

CD⊥AB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：

AB

CD=AC

BC

考点二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有关系

，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念

1、如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即

②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即

③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即

④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即

2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

3、一些特殊角的三角函数值

三角函数

0°

30°

45°

60°

90°

sinα

0

1

cosα

1

0

tanα

0

1

不存在

cotα

不存在

1

0

4、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系：

sinA=cos（90°—A），cosA=sin（90°—A）；tanA=cot（90°—A），cotA=tan（90°—A）

（2）平方关系：

（3）倒数关系：

tanA

tan（90°—A）=1

（4）弦切关系：

tanA=

5、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

考点四、解直角三角形（3~5）

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c

（1）三边之间的关系：

（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：

∠A+∠B=90°

（3）边角之间的关系：

第十二章圆

考点一、圆的相关概念

1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

考点二、弦、弧等与圆有关的定义

（1）弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）

（2）直径：

经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“

”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

考点三、垂径定理及其推论

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

考点四、圆的对称性（3分）

1、圆的轴对称性：

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性：

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距：

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点六、圆周角定理及其推论

1、圆周角：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点七、点和圆的位置关系

设⊙O半径r，点P到圆心距离为d，则：

d

点P在⊙O内；d=r

点P在⊙O上；d>r

点P在⊙O外。

考点八、过三点的圆

1、过三点的圆：

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心：

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：

圆内接四边形对角互补。

考点九、反证法

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

考点十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：

直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

（3）相离：

直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

若⊙O半径r，圆心O到直线l距离d：

直线l与⊙O相交

d

d=r；直线l与⊙O相离

d>r。

考点十一、切线的判定和性质

1、切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

考点十二、切线长定理

1、切线长：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

考点十三、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆：

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心：

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

考点十四、圆和圆的位置关系

1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距：

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离

d>R+r；两圆外切

d=R+r；两圆相交

R-r

d=R-r（R>r）；两圆内含

dr）

4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

考点十五、正多边形和圆

1、正多边形的定义：

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

考点十六、与正多边形有关的概念

1、正多边形的中心：

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径：

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距：

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角：

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

考点十七、正多边形的对称性

1、正多边形轴对称性：

正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共n条对称轴，每条对称轴都过正n边形中心。

2、正多边形的中心对称性：

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法：

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

考点十八、弧长和扇形面积

1、弧长公式：

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为

2、扇形面积公式：

，其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积：

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。

补充：

（此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助）

1、相交弦定理

⊙O中，弦AB与弦CD相交与点E，则AE

BE=CE

DE

2、弦切角定理

弦切角：

圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：

弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

即：

∠BAC=∠ADC

3、切割线定理

PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，则

第十三章图形的变换

考点一、平移

1、定义：

把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

2、性质

（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动

（2）连接各组对