实变函数与泛函分析总复习题.docx

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实变函数与泛函分析总复习题

第一章复习题

（一）

一、判断题

1、大人全体构成集合。

（×）

2、小个子全体构成集合。

（×）

3、所有集合都可用列举法表示。

（×）

4、所有集合都可用描述法表示。

（√）

5、对任意集合A，总有A。

（√）

6、（AB）BA。

（×）

7、（AB）BAB（BA）A。

（√）

8、若BA，则（AB）BA。

（√）

9、AA，AAX，其中X表示全集。

（×）10、ABBA。

（×）

11、（AB）AB，（AB）AB。

（×）12、（AB）C（AC）（BC），（AB）C（AC）（BC）。

（√）

13、若AB，BC，则AC。

（√）

14、若AB，则AB，反之亦然。

（√）

15、若AAA，BBB，且AB，AB，则AB。

（×）

16、若AB，则AB。

（√）

17、若AB，且AB，则AB。

（×）

18、可数集的交集必为可数集。

（×）

19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。

（√）

20、因整数集Z有理数集Q，所以Q为不可数集。

（×）21、（A）A。

（√）cccccccc12121122cc

第二章复习题

一、判断题

1、设P，QR，则（P,Q）0n

nPQ。

（×）2、设P，QR，则（P,Q）0。

（×）

3、设P,P,P123Rn，则（P,P）（P,P）（P,P）。

（×）121323

4、设点P为点集E的内点，则PE。

（√）

5、设点P为点集E的外点，则PE。

（√）

6、设点P为点集E的边界点，则PE。

（×）

7、设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。

（×）

8、设点P为点集E的聚点，则P为E的边界点。

（×）

9、设点P为点集E的聚点，且不是E的内点，则P为E的边界点。

（√）

10、设点P为点集E的孤立点，则P为E的边界点。

（√）

11、设点P为点集E的外点，则P不是E的聚点，也不是E的边界点。

（√）

12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。

（√）

13、开集中可以含有边界点和孤立点。

（×）14、E是开集EE的内部（开核）。

（√）

15、任意多个开集的并集仍为开集。

（√）

16、任意多个开集的交集仍为开集。

（×）

17、有限个开集的交集仍为开集。

（√）

18、闭集中的每个点都是聚点。

（×）19、E和E都是闭集。

（√）

20、E是闭集EE。

（√）

21、任意多个闭集的交集仍为闭集。

（√）

22、任意多个闭集的并集仍为闭集。

（×）

23、有限个闭集的并集仍为闭集。

（√）

24、E是开集Ec是闭集。

（√）

EEE25、E是完全集（完备集）

二、填空题

1、设Rn是无孤立点的闭集。

（√）R1，E是[0,1]上的全部有理点，则E11[0,1]；E的内1部空集；E

2、设R

E1n1[0,1]。

1R2，E1[0,1]，则E[0,1]；E的内部；1[0,1。

]

n3、设R

部R2，E1{（x,y）xy1}2222，则E1{（x,y）xy1}22；E的内1E1；E1{（x,y）xy1}。

4、设P是康托（三分）集，则P为P为P没有点；P；mP

15、设（a,b）为R上的开集G的构成区间，则（a,b）满足（a,b）

aGG，且，bG。

（1,2）（3,4），写出E

（1,3）（2,6），写出E

16、设E7、设E的所有的构成区间（1,2）,（3,4）。

的所有的构成区间（1,6）。

08、设E为R上的闭集，x为E的孤立点，则x必为E的两个邻接0

区间的公共端点。

9、设E为R上的闭集，则E的邻接区间必为1Ec的构成区间。

第三章复习题

一、判断题

1、对任意ERn，m*E都存在。

（√）

2、对任意ERn，mE都存在。

（×）

3、设ERn，则m*E可能小于零。

（×）

4、设AB，则m*Am*B。

（√）

5、设AB，则m*Am*B。

（×）

6、

m*（S*

n）Sn1mn。

（×）

n1

7、

m*（Sn）m*S。

（√）n1n

n1

8、设E为Rn中的可数集，则m*E0。

（√）

9、设Q为有理数集，则m*Q0。

（√）

10、设I为Rn中的区间，则m*ImII。

（√）

11、设I为Rn中的无穷区间，则m*I。

（√）

12、设E为Rn中的有界集，则m*E。

（√）

13、设E为Rn中的无界集，则m*E。

（×）

14、E是可测集Ec是可测集。

（√）

15、设{

Sn}是可测集列，则Sn1n，Sn1n都是可测集。

（√）

16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。

（√

17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。

（√

18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。

（√

19、若E，则m*E0。

（×）

20、若E是无限集，且m*E0，则E是可数集。

（×）

21、若mE，则E必为无界集。

（√））））

22、在R中必存在测度为零的无界集。

（√）

n

23、若A，B都是可测集，AB且mAmB，则m（BA）0。

（×）24、和R都是可测集，且m

n

0

，mR

n

。

（√）

25、设E26、设E

1

E2,E2

为可测集，则m（E为可测集，且E

1

1

E2）mE1mE2。

（×）

1

E2，则m（E1E2）mE1mE2。

（×）

二、填空题

1、若E是可数集，则m2、若S

1

*

E

；E为集；mE。

n

n

S2,,Sn

为可测集，则mSmS；若S

i1

i

i

i1

1

S2,,Sn

为两两不相交的可测集，则mSmS。

i1

i

i

i1

n

n

3、设E有mE

2

1

E2

为可测集，则m（E，则

1

E2）mE2

mE；若还

1

m（E1E2）mE1mE2。

4、设E

1

E2

为可测集，且E

1

E2

，mE

2

，则m（E

1

E2）

mE1mE2。

5、设x为E的内点，则m

*

E

0。

6、设P为康托三分集，则P为可测集，且mP0。

7、m0，mR

n

。

8、叙述可测集与G型集的关系可测集必可表示成一个G型集与零测集的差集。

9、叙述可测集与F型集的关系可测集必可表示成一个F型集

与零测集的并集。

第四章复习题

一、判断题

1、设f（x）是定义在可测集E

都有E[xRn上的实函数，如果对任意实数a，为E上的可测函数。

（√）f（x）a]为可测集，则f（x）

2、设f（x）是定义在可测集E

有E[xRn上的实函数，如果对某个实数a，不是E上的可测函数。

（√）f（x）a]不是可测集，则f（x）

3、设f（x）是定义在可测集E

测函数等价于对某个实数a，

4、设f（x）是定义在可测集E

测函数等价于对任意实数a，

5、设f（x）是定义在可测集E

测函数等价于对任意实数a，

6、设f（x）是定义在可测集ERn上的实函数，则f（x）为E上的可）E[xf（x）a]为可测集。

（×Rn上的实函数，则f（x）为E上的可）E[xf（x）a]为可测集。

（×Rn上的实函数，则f（x）为E上的可）E[xf（x）a]为可测集。

（√Rn上的实函数，则f（x）为E上的可

af（x）b]为可测集。

测函数等价于对任意实数a和b（ab），E[x

（×）

7、设E是零测集，f（x）是E上的实函数，则f（x）为E上的可测函数。

（√）

8、若可测集E上的可测函数列{f

函数f（x），则{fnn（x）}在E上几乎处处收敛于可测（x）}在E上“基本上”一致收敛于f（x）。

（×）

9、设f（x）为可测集E上几乎处处有限的可测函数，则f（x）在E上

“基本上”连续。

（√）

10、设E为可测集，若E上的可测函数列f{f

n

n

（x）f（x）（xE），则

（x）}的任何子列都在E上几乎处处收敛于可测函数f（x）。

（×）

n

11、设E为可测集，若E上的可测函数列f

fn（x）f（x）

（x）f（x）a.e.于E，则

（xE）。

（×）

二、填空题1、

n1

E[fa]

E[fa

n1

1n

]

，

E[fa]

E[fa

1n

]。

2、

E[afb]

E[fa]

，

E[afb]

E[fb]；

E[afb]

E[fa]E[fb]

，

E[afb]

E[fa]E[fb]。

3、设E4、设E

En

n1

，则E[f，则E[f

a]a]n1

En[fa]。

En[fa]。

En

n1

n1

5、由于区间I上的单调函数f（x）的不连续点所成的集为可数集，则f（x）为I上的几乎处处连续函数，从而

f（x）

为I上的函数。

6、叙述可测函数的四则运算性数（只要有意义）仍可测。

7、叙述可测函数与简单函数的关系乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的

极限。

8、叙述可测函数与连续函数的关系测函数“基本上”可以表示成一个连续函数。

9、叙述叶果洛夫定理处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛。

10、叙述鲁津定理上”是连续函数。

11、若fn（x）f（x）

E，fn（x）g（x）（xE），则f（x）g（x）乎处处于

。

第五章复习题

复习题

（一）

一、判断题

1、设f（x）是可测集E

在。

（√）

2、设f（x）是可测集E

格可积。

（×）

3、设f（x）是可测集ERnRn上的非负简单函数，则Ef（x）dx一定存Rn上的非负简单函数，则f（x）在E上勒贝上的非负简单函数，且0Ef（x）dx，则f（x）在E上勒贝格可积。

（√）

4、设f（x）是可测集E

在。

（√）Rn上的非负可测函数，则Ef（x）dx一定存

5、设f（x）是可测集E格可积。

（×）

6、设f（x）是可测集ERn上的非负可测函数，则f（x）在E上勒贝Rn上的非负简单函数，且0Ef（x）dx，则f（x）在E上勒贝格可积。

（√）

7、设f（x）是可测集ERn上的可测函数，则Ef（x）dx一定存在。

（×）

8、设f（x）是可测集E至少有一个成立，则

9、设f（x）是可测集ERn上的可测函数，且ff（x）L（E）（x）L（E），Ef（x）dxn一定存在。

（√）R上的可测函数，且ff（x）L（E）（x）L（E），至少有一个成立，则f（x）在E上勒贝格可积。

（×）

10、设

f（x）是可测集ERn上的可测函数，若f（x）L（E）且f（x）L（E），则f（x）在E上勒贝格可积。

（√）

Rn11、设

f（x）是可测集E上的可测函数，若f（x）L（E），则Ef（x）dx

f（x）。

（√）Rn12、设是可测集E上的可测函数，若f（x）g（x）且g（x）L（E），则f（x）L（E）。

（√）

13、若E为零测集，f（x）为E上的任何实函数，则f（x）L（E）。

（√）

14、若f（x）L（E），则mE[

15、若f（x）L（E），则

16、若f]0。

（√）f（x）L（E）。

（√）f（x）L（E），则f（x）L（E）。

（√）

17、若f（x）L（E），E为E的可测子集，则f（x）L（E）。

（√）1118、f（x）在E上勒贝格积分值存在f（x）L（E）。

（×）

19、若f（x）L（E），且f（x）0，Ef（x）dx0，则f（x）0a.e.于E。

（√）

20、若f（x）在[a,b]上R可积，则若f（x）在[a,b]上L可积，且

（L）[a,b]f（x）dx（R）baf（x）dx。

（√）

21、若

Ef（x）L（E），g（x）L（E），且f（x）g（x）a.e.于E，则f（x）dxEg（x）dx。

（√）

E22、若f（x）L（E），

23、若

24、若Ef（x）dx0，则f（x）0a.e.于E。

（×）f（x）dxf（x）dxEg（x）dx，则f（x）g（x）a.e.于Eg（x）。

（×）

EE与Eg（x）dx存在，且f（x），则f（x）dxEg（x）dx。

（√）

25、若

lim

nEf（x）dx存在，E是E的可测子集，且limmEnnn0，则Enf（x）dx0。

（×）

26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。

（×）

二、计算题

1]的无理点0,x为[0，中1、设D（x）1]的有理点1,x为[0，中，求[0,1]D（x）dx。

a.e.于[0,1]，于是解：

因为有理数集为零测集，所以，D（x）0

[0,1]D（x）dx[0,1]0dx0。

2、设x,xPf（x）3x,x[0,1]\P21]中的三分康托集，求，其中P为[0，

[0,1]

f（x）dx

。

3

解：

因为mP0，所以，f（x）x

[0,1]

a.e.于[0,1]，于是

3

f（x）dx

[0,1]

xdx

14

。

第五章复习题

（二）

一、判断题1、设{f

n

（x）}是可测集ER

n

上的可测函数列，f（x）是可测集E上

，则lim

n

E

的可测函数，如果lim（×）2、设{f

n

n

fn（x）f（x）a.e.于E

fn（x）dx

E

f（x）dx

。

（x）}是可测集ER

n

上的可测函数列，f（x）是可测集E上（xE），则lim

n

E

的可测函数，如果（×）3、设{f

fn（x）f（x）fn（x）dx

E

f（x）dx

。

（x）}是可测集ERn

n

上的可测函数列，f（x）是可测集E上

n

的可测函数，如果mE且f于E，则

lim

n

（x）f（x）（xE）或lim

n

fn（x）f（x）a.e.

E

fn（x）dx

n

E

f（x）dx

。

（×）

n

4、设{f则

n

（x）}是可测集ER上的非负可测函数列，如果f

（x）

，

lim

n

E

fn（x）dx

n

En

limfn（x）dx。

（√）

（x）

5、设{f则

n

（x）}是可测集ER上的非负可测函数列，如果f

n

，

lim

n

E

fn（x）dx

En

limfn（x）dx。

（×）

6、设{f

n

（x）}是可测集ER

n

上的非负可测函数列，则

En

lim

n

E

fn（x）dx

n

limfn（x）dx

。

（×）

7、设{f

（x）}是可测集ERn上的非负可测函数列，则

n

En

fn（x）dxn

E

fn（x）dx

。

（√）

8、设{f

n

（x）}是可测集ER

上的非负可测函数列，则

[

E

fn（x）]dx

n1

n1

E

fn（x）dx

。

（√）

9、设{f

n

（x）}是可测集ER

n

上的非正可测函数列，则

[

E

fn（x）]dx

n1

n1

E

fn（x）dx

。

（√）

10、设{f

n

（x）}是可测集ER

n

上的可测函数列，则

[

E

fn（x）]dx

n1

n1

E

fn（x）dx

。

（×）

11、设f（x）在可测集E

E

R

n

上的勒贝格积分存在，且E

En

n1

，则

f（x）dx

n1

En

f（x）dx

。

（×）

12、设f（x）在可测集E

R

n

上的勒贝格积分存在，且E

En

n1

，{E}

n

为两两不交的可测集，则

E

f（x）dx

n1

En

f（x）dx

。

（√）

13、设f（x,y）在[a,b][c,d]上可测，则

[a,b][c,d]

f（x,y）dxdy

[a,b]

dx

[c,d]

f（x,y）dy

[c,d]

dy

[a,b]

f（x,y）dx

。

（×）

14、设f（x,y）在[a,b][c,d]上非负可测，则

[a,b][c,d]

f（x,y）dxdy

[a,b]

dx

[c,d]

f（x,y）dy

[c,d]

dy

[a,b]

f（x,y）dx

。

（√）

15、设f（x,y）在[a,b][c,d]上勒贝格可积，则

[a,b][c,d]

f（x,y）dxdy

[a,b]

dx

[c,d]

f（x,y）dy

[c,d]

dy

[a,b]

f（x,y）dx

。

（√）

二、计算题1、设f

（x）n

nx1nx

2

2

（xE

[0,1]

），求lim

n

E

fn（x）dx

。

nx

2

2

解：

因为lim

n

fn（x）lim

nx1nx

2

2

0

，且

n

fn（x）

1nx

12

，由有界

法则得，

lim

n

E

fn（x）dx

En

limfn（x）dx

E

0dx0

。

2、设f

（x）n

（1

1xn

1

（xE

（0,）

）xn

n

），求lim

n

E

fn（x）dx

。

解：

当n2时，0

fn（x）

（1

1xn

1

）xn

n

F（x）

1e

x

1

1

0x1

x21x

2

，且

1x

limfn（x）lim

n

1（1

xn

1

n

。

）xn

n

而（R）

0

F（x）dx（R）

10

1

1

dx（R）

1

1x

2

dx

，

x2

所以，

E

F（x）dx（R）lim

n

0

F（x）dx

。

由勒贝格控制收敛定理得

E

E

fn（x）dx

En

limfn（x）dx

e

x

dx

0

e

x

dx1。

3、设f

（x）n

ln（xn）

n

e

x

cosx

（xE

（0,）

），求lim

n

E

fn（x）dx

。

解：

易见lim

nfn（x）limln（xn）nexcosx0

n，且

xfn（x）ln（xn）nexcosx（x1）ex，而（x1）eL（E）。

由勒贝格控制收敛定理

lim

nEfn（x）dxEnlimfn（x）dxE0dx0。

。

1

4、设fn（x）nx21nx22sinnx3（xE

1[0,1]），求limnEfn（x）dx

解：

易见lim

nfn（x）lim

1nx21nx22nsinnx0，且3

fn（x）nx21nx22sinnx312x1

2，而1

2x1

2L（E）。

由勒贝格控制收敛定理

lim

nEfn（x）dxEnlimfn（x）dxE0dx0。