01相似三角形题型之一比例与比例线段.docx

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01相似三角形题型之一比例与比例线段

01相似三角形题型之一比例与比例线段

比例与比例线段

教学目标：

1.了解比例中项的概念。

2.会求已知线段的比例中项。

3.通过实例了解黄金分割。

4.利用黄金分割进行简单的计算和作图.教学重点、难点：

教学重点：

黄金分割的概念及其简单应用。

教学难点：

例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。

1．知识点与方法概述

A：

比例的性质：

基本性质：

如果a:

b=c:

d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:

b=c:

d.

合比性质：

等比性质：

如果

，那么.

B：

比例线段：

比例线段：

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比.那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

设a、b、c、d为线段，如果a:

b=c:

d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:

b=b:

c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.

C：

黄金分割：

如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线段成比例.推论的扩展：

平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截

得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

推论的逆定理：

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

E：

平行线等分线段定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况:

推论1：

经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：

在梯形ACFD中，AD//CF，AB=BC求证：

DE=EF

推论2：

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：

在△ACF中，BE//CF，AB=BC　　求证：

AE=EF

F：

三角形的中位线定理：

三角形的中位线：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

已知：

如图，D、E分别为AB、AC的中点

求证：

DE//BC，DE?

G：

梯形的中位线定理

梯形的中位线：

连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线定理：

梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。

已知：

梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：

EF//AD//BC，EF?

12（AD?

BC）.

12BC

2．典型例题讲解

例1：

有关合分比定理的计算

①已知：

3x=5y，則x:

y=________，=________。

②已知：

课堂练习：

，則_______，=_______。

①已知：

，則=_______。

②已知：

，則x+y+z=6，則x=_______，y=_______，z=______。

③已知：

a:

b:

c=1:

3:

5，則=_________。

ABAMAC　　　　

④如图已知BE=ME=CE

AB?

BC?

CAAE求证：

BC=ME

ABAMACAB?

ACAM证明：

∵BE=ME=CE，∴BE?

CE=EM，

AB?

ACAMAB?

BC?

CABCAM?

ME即

BC=ME，∴

=

ME

AB?

BC?

CAAE即

BC=ME

本题要通过观察找出已知条件和待证结论之间的内在联系，然后灵活运用等比性质和合比性质达到证题的目的

例2：

有关比例线段的计算

①如图，CE是?

ABC的中线，CDcm；若CD=9cm，则AF=　　cm.

②如图，?

ABC中，E为BC上一点，CD平分?

ACB交AE于点D，且CD?

AE，DF交AB于F。

若AF=2cm，则AB=　　cm.

课堂练习：

①已知：

如图，?

ABC中，AB:

BC:

CA=3:

2:

4,AB=9cm,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求?

DEF的周长.

?

ACB的平分线，②已知：

如图，?

ABC中，BD、CE分别是?

ABC、AH?

BD于H，AF于F，若AB=14厘米，AC=9厘米，BC=18厘米，求FH的长.

?

CE//BC?

12AD,EF//BD,EG//AC.若EF=18cm，则BG=

③已知：

如图，梯形ABCD中，?

ABC两底的长.

例3：

有关黄金分割的作图与计算

①黄金分割

?

?

DCB?

45?

，AD//BC，高是h，中位线长m，求

五角星是我们常见的图形.在图4-4中,度量点C到点A,B的距离ACBC

与相等吗？

ABAC

BCAC

点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果＝，

ACAB那么称线段AB被点C黄金分割（goldensection）,

图4-5点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.

问题：

一条线段有几个黄金分割点？

一颗五角星中有几个黄金分割点？

②求黄金比的数值，如图4－1－4设

AP

＝x，则PB＝AB－AP＝AB－AB?

x.AB

ABP图4-1-4ACB

AB－AB?

xAB?

x1－xPBAPx

＝，得＝，即＝APABAB?

xABx1化简，得x2＋x－1＝0.

－1＋5－1－5解得x1＝，x2＝

22所以

5－1AP＝≈AB2

黄金分割的深远意义：

历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为许多美丽的形状都与这个比值有关。

③尺规做线段的黄金分割点：

已知线段AB＝a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。

分析：

线段a的黄金分割所得的较长线段长应是＝

5－1

a，2

5151a－a，于a是以a和a为直角边的斜边长2222因此本题转化为作两条线段之差.

DEACB

作法：

1

1.经过点B作BD⊥AB,使BD＝AB22.连接AD,在AD上截取DE=DB.3.在AB上截取AC=AE.

如图，点C就是线段a的黄金分割点

思考：

如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少?

计算AB的黄金分割点吗?

课堂练习：

①已知：

M是线段AB的黄金分割点，AM>BM.求证：

AM?

ABAB?

ABAMACBC

与；点C是线段ABAC

.

②一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人比例协调。

一个参加空姐选拔活动的选手肚脐以上的高度是65cm，肚脐以下的高度是95cm，那么，她该穿多高的鞋子才好看？

例4：

有关平行线分线段成比例的计算与证明

①如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于G，求证GF＝FB．

GFEF证明：

∵GF∥AD∴AD＝ED

FBEF又FB∥DC∴DC＝ED

GFFB又AD＝DC得：

AD＝AD，∴GF=FB

本题要善于从较复杂的几何图形中，分离出“平行线分线段成比例定理的推论”的基本图形，“A型”或“最后使问题得证。

②已知：

如图△ABC中，DE//AC，DF//AB，求证：

BE:

AE=AF:

FC。

③已知：

如图，△ABC中，AD//EF，AC//ED，求证：

BF:

FD=BD:

DC。

④已知：

如图，AD//EG，CD//FG，求证：

AC//EF。

课堂练习：

①如图，l1//l2//l3，分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F.若AB:

AC=1:

2，那么DE:

EF=　　.

型”，得到相应的比例式，并注意公共线段“ED”产生“中间比”，

②已知：

如图，在?

ABC中，EF

//CD,DE//BC.求证：

AF：

FD=AD:

DB.

③已知：

如图，在?

ABC中，AD平分?

BAC交BC于D，DE平分?

ADC交AC于E，若?

BAC长.

?

2?

B，AE=4，CE=3.求AB的

3、课堂小结

A：

比例与比例的性质，有关合分比定理的计算；

B：

比例线段，与比例线段有关的计算；

C：

黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念，黄金分割点的尺规求法；D：

平行线分线段成比例定理及相关计算与证明。

A组

一、填空题：

1.若4x=5y,则x∶y＝　　.　　2.若

x3＝

y4＝

z5，则

x?

y?

zyx?

yy∶

y?

z?

xx＝　　.

3.已知

x?

y13ab＝

y7，则的值为　　.

4.已知＝

34，那么

a?

bb＝　　.

5.若

ab＝

cd＝

ef＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　　.

6.若（x+y）∶y＝8∶3，则x∶y＝　　.　　7.若

ba?

b＝

35，那么

ab＝　　.

8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是　　.

9.已知△ABC和△A′B′C′，则AB+BC+AC＝.

10.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝　　cm；a、c的比例中项x＝　　cm.

11.已知3∶x＝8∶y，求

a?

3b2b72ABA'B'BCB'C'CAC'A'32＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.

xy=　　

ab12.已知

x2＝，求=

13.若＝

y3，求

x?

yy=　　

14.如果x∶y∶z＝1∶3∶5，那么

x?

3y?

zx?

3y?

z＝

15.正方形对角线的长与它的边长的比是

16.在1∶5000000的地图上，量得杭州到南京的距离约为60cm，那么杭州到南京的实际距离约为　　km.

17．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为1500m，那么这张地图的比例尺为_______.18.已知19．若

ab3x＝

?

cd＝

25（b+d≠0），则

a?

cb?

d＝　　

x4，则x等于　　53

2320．已知

xy

ab?

，则（x?

y）:

（x?

y）?

　　a?

b?

1a?

b?

521．如果?

，且a?

2,b?

3，那么

ab?

22．已知7（a?

b）?

3a，则23．如果

xa?

x2?

　　2x?

3y?

z2a?

3b?

cxx?

y?

zyb?

y7?

?

zcz5?

2，那么?

x?

zy24．已知：

，设A?

，B?

，C?

x?

y?

zx，那么A、B、C的大小顺

序是　　　.25．已知：

4x?

11y?

5z,2x?

y

二、解答题：

?

z，则x:

y:

z=　　.

1、已知：

5y-4x＝0，求（x+y）∶（x-y）2、已知

3、已知线段x、y，如果（x+y）∶（x-y）＝a∶b，求x∶y.

4、已知：

5．如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，

ADABAEACDEBC23aba?

bc=

b?

ca=

c?

ab＝x，求x

＝

cd＝

ef＝3（且有b+d+f＝0），求证：

a?

cb?

d＝

c?

ed?

f

＝3.

＝＝＝，且△ABC与

△ADE的周长之差为15cm，求△ABC与△ADE的周长.

6已知a:

b:

c?

2:

4:

5，且2a?

b?

3a?

6，、求3a?

b?

2c的值。

8、若a:

b:

c?

2:

3:

4，且a?

b?

c?

5，a?

b的值．求　　10、已知

ab?

cd7、已知a5?

b7?

c8，且a?

b?

c?

20，求2a?

b?

c9、若a?

23?

b4?

c?

56,且2a?

b?

3c?

21，试求a:

b:

c，求证：

a?

bb?

c?

dd　　11、若a:

b:

c?

1:

2:

3，求

a?

b?

ca?

b?

c的值。

B组

1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E、F为BC的三等分点，求BG、GH、HD

的长

DCFHEGAB

2.如图，已知△ABC、△CDE是等边三角形，且B、C、D三点在一直线上，如果BC=15,CD=5.求CF的长

AEFBCD

3.如图，已知矩形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，且BE=2AE，BF=2FC,EF

交BD于点G.求证：

△GEB是等腰三角形

ADEGBFC

4.如图，在△ABC中，AD?

13AB,延长BC到点F，使得CF?

13BC，连接DF,交AC

于点E.求证：

DE=EF

（2）AE=2EC

ADEBCF

AFAB

5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，DE：

AE=1：

3.求

A的值

FEBDC

6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=2,延长AD到H，使AH=7，对角线AC、

BD相交于点O，连接HO交DC于点F，延长HO交AB于点E.求AE的长

HDFCOAEB

7.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DF∥BE交AC于点F，EG∥CD交

AB于点G.求证：

GF∥BC

AGDFEBC

8.如图，在△ABC中，D为BC的中点，F为AC上一点，且CF：

AF=1：

2，BF交AD于点E

求

BEEF的值

AFEBDC

9.如图，AD∥EG∥BC，AD=6,BC=9,AE:

AB=2:

3，求GF的长

ADEFGBC

10.如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点A作EA∥BC，F是AB上一点，连接DF的直线

交AE于点E，交BC的延长线于点P.求证：

AE=CP

（2）若AB=4AF;EP=12,求DF的长

EAFDBCP

11.如图，AB∥EF∥DC,AB=6,DC=9,求EF的长

DAEBFC

12.如图，ABCD为正方形，过A的一条直线依次与BD、DC、BC延长线交于点E、F、G，

AE=5,EF=4,求FG的长

ADEFBCG

13.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AC与BD交于点O,CE∥AB交BD的延长线于点E.

求证：

OB?

OD?

OE

E2ADOBC

14.如图，AF∥BE∥CD,AF=12,BE=19,CD=28,求FE:

ED的值

AFBE

15.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，AE交BD于点

F,求DF:

FO的值

DCDEFOCAB

16.在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=3CD,E为对角线AC的中点，直线BE交AD于点F,

求AF:

FD的值

DCFEAB

17．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，且AE=BF=AB,EF与AC相

31交于点H.

（1）求EH：

FH的值

（2）设AB=x,四边形BCHF的面积为y，求y关于x的函数关系式

AEDHFBC

18.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在射线DC上.

若AF=AE,并设CE=x,△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域若CE?

14，延长FE与直线AB交于点G，当CF的长度为何值时，△EAG是等腰

三角形？

DFCDCEABAB

19.如图，在直角坐标系中有点A（6,0）、B（0,8）、C（-4,0）,M、N分别为线段AC,射线AB上的动点.点M以每秒2个单位的速度自C向A运动，点N以每秒5个单位的速度自A向B的方向运动.若MN交OB于点P求证：

MN：

NP为定值；

若△BNP是等腰三角形，求CM的长

yBCOAx

20．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求证：

EF=3DE．

考点：

平行线分线段成比例．专题：

证明题．分析：

过N、M分别作AC的平行线，线段之间的关系可得=，进而DF∥HN，可得==，即=，进而即可得出结论．解答：

证明：

过N、M分别作AC的平行线交AB于H，G两点，NH交AM于K，∵BM=MN=NC，∴BG=GH=HA，

则HK=GM，GM=HN，∴HK=HN，即=，又DF∥HN，

∴==，

即EF=3DE．点评：

本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质求解

一些简单的计

21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD．求证：

OE=OF，

求证：

1/AD+1/BC=2/EF

．

比例和比例线段检测题

一、若

填空题：

x?

yy?

35，则

xy?

　　；　　　l1A　　E线段a，b的积是625，则a、b的比例中项是　　；l2　　B　　F如果a:

b:

c?

3:

4:

5，那么

ABBD2a?

3b?

ca?

5b?

3c?

　　；　　C

如图，l1∥l2∥l3，那么

?

______，

EGFG?

______；　　l3G　　D

⊿ABC中，如果AC:

CB?

3:

4，∠C的内角平分线交AB于P，那么PA:

PB?

若x2?

xy?

6y2?

0，则x:

y?

　　　；　　A如图，⊿ABC中，DE∥BC，AD=3k，BD=3k，　　D　　E那么DE:

BC?

　　；　　　B　　C如图，⊿ABC中，∠C=900，CD是斜边AB上的高，　　CAD=9，BD=4，那么CD=　　；AC=　　；已知⊿ABC中，P是AB上的一点，∠ACP=∠B，

AB=c，BC=a，那么CP=　　；　　A　　D　　B两个相似三角形的相似比系数为k?

2，如果它们的周长之差4cm，那么这两个相似三角形的周长分别是　　　。

二、选择题：

1.如果ax?

bc，那么将x作为第四比例项的比例式是---------------------------A

bc?

ax　　B

ax?

cb　　C

ab?

cx　　D

xb?

ac

2.三线段a、b、c中，a的一半的长等于b的四分之一长，也等于c的六分之一长，那么

b这三条线段的和与的比等于

------------------------------------------------------

A1:

6　　B　　6:

1　　C　　1:

3　　D3:

1　　A3.如图，在⊿ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么⊿ADE　　D　　E与四边形DBCE的面积之比是---------------------------------------

A1:

1　　B1:

2　　C　　1:

3　　D1:

4　　B　　C4.下列图形一定相似的是---------------------------------------------A两个矩形　　B两个等腰梯形

C有一个内角相等的菱形D对应边成比例的两个四边形

　　　A　　

5.如图，O是⊿ABC内任意点D、E、F分别在线段OA、OB、OC　　D上，且AD=

131313AC，BE=BC，CF=CD，那么⊿ABC与⊿DEF　　EOF相似比为-----------------------------------------------------------------

B　　C

A2:

1　　B　　3:

1　　C　　4:

1　　D　　3:

2

三、计算题：

1.如图，已知⊿ABC中，∠C的平分线交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于E，若AC=a，BC=b，求DE的长；　　A

D　　E

B　　C

2.如图，G为⊿ABC的重心，GF∥AC，求DF:

FC、BC:

BF的值；　　A

G　　E

B　　DF　　C

四、证明题：

1.如图，在⊿ABC中，∠A与∠B互余，CD⊥AB，垂足是D，DE∥BC，交AC于E，求证：

AD:

AC?

CE:

BD

2.如图，在⊿ABC中，AM平分∠BAC，D为AM的中点，DN⊥AM，DN交BC的延长线于N，

求证：

MN2?

BN?

CN

　C　　　　A　　E　　　　D

A　　D　　B　　B　　M　　C　　N

五、探究题

1．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时发现了如下的事实．

AE11AO22当AC=2=1?

1时，有AD=3=2?

1

AE11AO22当AC=3=1?

2时，有AD=4=2?

2

AE11AO22AC=3=1?

2时，有AD=4=1?

3

AE1AO在图丁中，当AC=1?

n时参照上述研究结论，请你猜想用n表示AD的一般结论，并给出证明。

2．如图，在△ABC的边AB上有一异于中点的动点P，沿平行于BC的方向运动到AC边于点D，再沿平行于AB方向运动到BC边于点E，再沿平行于CA方向运动到AB边于点F?

?

如果每次平行于某一边方向运动到另一边于一点算作运动一次，那么这样运动2008次点P在那里？

比例与比例线段

教学目标：

1.了解比例中项的概念。

2.会求已知线段的比例中项。

3.通过实例了解黄金分割。

4.利用黄金分割进行简单的计算和作图.教学重点、难点：

教学重点：

黄金分割的概念及其简单应用。

教学难点：

例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。

1．知识点与方法概述

A：

比例的性质：

基本性质：

如果a:

b=c:

d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:

b=c:

d.

合比性质：

等比性质：

如果

，那么.

B：

比例线段：

比例线段：

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比.那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

设a、b、c、d为线段，如果a:

b=c:

d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:

b=b:

c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.

C：

黄金分割：

如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线段成比例.推论的扩展：

平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截

得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

推论的逆定理：

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

E：

平行线等分线段定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况:

推论1：

经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：

在梯形ACFD中，AD//CF，AB=BC求证：

DE=EF