三角形的证明讲义精选.docx
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三角形的证明讲义精选.docx
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三角形的证明讲义精选
小巨人学科教师辅导讲义
学生:
谢仲铖教师:
赵常巨日期:
2015/3/14家长签名:
课题
三角形的证明
教学目标
1.能够证明与三角形,线段的垂直平分线,角平分线等有关的性质及判定定理。
2.理解逆命题的概念,会识别互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3.尺规作图等腰三角形,角平分线,线段的垂直平分线。
重点、难点
1.重点是探索证明的思路和方法;
2.难点是准确地表达推理证明的过程或相关计算。
考点及考试要求
本章内容在历年中考中主要考查等腰三角形的性质,直角三角形的性质,线段的垂直平分线,角平分线的性质。
这些内容还常常与三角形全等,相似等内容结合在一起综合考查,主要以证明题的形式出现。
教学内容
1、两边及其对应相等的两个三角形全等();
2、两角及其对应相等的两个三角形全等();
3、对应相等的两个三角形全等();
4、及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等();
5、全等三角形的对应边,对应角。
6、有的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做,两腰的夹角叫做,腰与底边的夹角叫做,的三角形叫做等边三角形。
回顾课本
已知:
△是等腰三角形,
求证:
∠∠C(提示:
利用三角形全等证明。
你能想到哪些方法?
)
归纳:
1、等腰三角形性质定理:
(简称“等边对等角”);
推理格式:
∵,∴(等边对等角)
2、推论(三线合一):
;
推理格式:
①∵⊥,②∵,,③∵平分,
∴平分,∴⊥平分,∴,
1、等腰三角形的两边分别是7和3,则周长为。
2、如图在△中,=,⊥,∠=100°。
求:
∠1、∠B的度数。
3、如图,已知∠D=∠C,∠A=∠B,且=。
求证:
=。
4、如图,在△中,D为上一点,并且=,=,若∠C=29°,求∠A。
5.如图,在△中,=,D是边上的中点,且⊥,⊥。
求证:
∠1=∠2。
总结一下:
1、等腰三角形性质定理:
(简称“等边对等角”);
2、推论(三线合一):
第二篇章
1、如图,E是△内的一点,=,连接、、,且=,延长,交边于点D。
求证:
⊥。
2、已知:
如图,点在三角形的边上,求证:
3、已知:
如图,在△中,∠∠C,求证:
(提示:
构造两个全等三角形证明)
归纳:
1、有两个角相等的三角形是三角形。
(简称“等角对等边”)
推理格式:
∵∠∠C,∴(等角对等边)
2、反证法证明问题的一般步骤:
从结论的_出发,先假设命题的结论,然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相的结果,从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为。
1、用反证法证明:
在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°。
2.如图,在△中,=,∥,求证:
△是等腰三角形。
3.如图,在
中,∠的平分线交于点D,∥。
求证:
△是等腰三角形。
4、如图,一艘船从A处出发,以18节的速度向正北航行,经过10时到达B处。
分别从A、B望灯塔C,测得∠42°,∠84°。
求B处到灯塔C的距离。
5、已知:
如图,在三角形中,是上的一点,E是延长线上的一点且交于M.求证:
.
6、用反证法证明:
一个三角形中不能有两个直角。
回顾课本
1、三条边都的三角形是等边三角形。
2、三个都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角等于°的等腰三角形是等边三角形。
4、在直角三角形中,如果一个锐角等于30︒,那么它所对的直角边等于斜边的。
5、直角三角形:
有一个角是的三角形叫做直角三角形。
6、勾股定理的逆定理:
∵222,,∴∠90°(△是直角三角形)
7、互逆命题:
在两个命题中,如果一个命题的和分别是另一个命题的和,那么这两个命题称为,其中一个命题称为另一个命题的。
8、互逆定理:
一个命题是真命题,它的逆命题却是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为,其中一个定理称为另一个定理的。
9.斜边和一条对应相等的两个三角形全等。
(“斜边、直角边”或“”)
1.已知:
如图,△中,⊥于D,4,3,
。
(1)求的长;
(2)求的长;(3)求的长;(4)求证:
△是直角三角形.
2.、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图5所示,∠=90°,=80米,=60米,若线段是一条小渠,且D点在边上,已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?
最低造价是多少?
3、说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假。
(1)如果0,那么00;
(2)初三(6)班有62位同学;(3)等边对等角;
4.、找出下列定理有哪些存在逆定理,并把它写出来。
(1)如果
,则
(2)全等三角形对应角相等(3)对顶角相等
1、直角三角形的两直角边为9、12,则斜边为;直角三角形的两边分别为13和5,则另一条边为。
如果三角形的三边长是6、10、8,则这个三角形是三角形。
2、如图,⊥,⊥,E是上一点,∠∠60°,3,4,求:
3.如图,是∠的角平分线,⊥,⊥,=。
求证:
=。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线:
垂直且一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离。
定理:
到一条线段两个端点距离的点,在这条线段的线上。
推理格式:
∵=,∴点在线段的。
定理:
线段垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离。
推理格式:
∵⊥,(点P在线段的垂直平分线上),
∴
教材精读
5、已知:
如图,在△中,设、的垂直平分线相交于点P,
求证:
,,的垂直平分线相交于点P,且。
证明:
连接、、,
∵点P在线段的垂直平分线上,
∴(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等
)
∵点P在线段的垂直平分线上,
∴
归纳:
三角形三条边的线相交于,并且这一点到三个的距离相等。
推理格式:
∵点P是△的三条边的垂直平分线的交点,
∴.
教材精读
1、已知:
如图,是∠的角平分线,点P在上,⊥,⊥,垂足分别为D,E,求证:
证明:
∵⊥,⊥,垂足分别为D,E,
∴∠90°
∵是∠的角平分线,
归纳:
角平分线上的到这个角的两边的距离。
(证明两条线段相等)
推理格式:
∵点P在∠的角平分线上,⊥,⊥,
∴
2、已知:
如图,点P为∠内一点,⊥,⊥,且=,
求证:
平分∠。
归纳:
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的,在这个角的平分线上(证明角相等)
推理格式:
∵⊥,⊥,且=,
∴点P平分。
3.如图,在△中,=,∠C=90°,是△的角平分线,⊥,垂足为E。
(1)已知=4,求的长;
(2)求证:
=+。
4.如右图,已知⊥于E,⊥于F,、相交于点D,若。
求证:
平分∠。
5、如图,在△中,⊥,⊥,、相交于点P,=。
求证:
P在∠的角平分线上。
告诉你个秘密
1、角平分线上的到这个角的两边的距离。
(证明两条线段相等)
2、在一个角的内部,且到角的两边距离相等的,在这个角的平分线上.(证明角相等)
教材精读
1.、已知:
点P是△的两条角平分线、的交点,
求证:
∠A的平分线经过点P,且。
证明:
过点P作⊥于E,⊥于F,⊥于D,
∵是△的角分线,点P为上一点,
∴()
∵是△的角分线,点P为上一点,
∴()
归纳:
三角形三条角平分线相交于一,并且这一点到三角形三条的距离。
推理格式:
∵点P是△的三条角平分线的交点,且⊥,⊥,⊥,
∴.
实践练习:
(1)如图4,点P为△三条角平分线交点,⊥,⊥,⊥,则.
(2)如图5,P是∠平分线上任意一点,且2,若使2,则与的关系是.
图4图5
7、已知:
如图在△中,∠90°,平分∠,交于D,若32,∶9∶7,求:
D到边的距离.
1、三角形三条角平分线相交于一,并且这一点到三角形三条的距离。
回顾思考
【学习目标】
1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图,复习有关定理的探索与证明,证明的思路和方法,尺规作图等。
2、发展初步的演绎推理能力,进一步掌握综合法的证明方法,提高用规范的数学语言表达论证过程的能力。
复习反馈
1、等腰三角形的性质:
(边)(角)
三线合一:
2、等边三角形的性质:
(边);(角)
3、判定等腰三角形的方法有:
(边);(角)。
4、判定等边三角形的方法有:
(边);(角)。
5、线段垂直平分线的性质定理:
。
逆定理:
。
三角形的垂直平分线性质:
。
6、角的性质定理:
。
逆定理:
。
三角形的角平分线性质:
。
7、三角形全等的判定方法有:
。
8、30°锐角的直角三角形的性质:
。
9、方法总结:
(1)证明线段相等的方法:
1)可证明它们所在的两个三角形全等;2)角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等;3)等角对等边;4)等腰三角形三线合一的性质;5)中垂线的性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
(2)证明两角相等的方法:
1)同角的余角相等;2)平行线性质;3)对顶角相等;4)全等三角形对应角相等;5)等边对等角;6)角平分线的性质定理和逆定理。
(3)证明垂直的方法:
1)证邻补角相等;2)证和已知直角三角形全等;3)利用等腰三角形的三线合一性质;4)勾股定理的逆定理。
(4)等腰三角形的证明:
主要用等腰三角形的两腰相等,两底角相等和三线合一性质解题。
1、填空:
(1)△中,∠A∶∠B∶∠1∶2∶3,最小边4,最长边。
(2)直角三角形两直角边分别是5、12,其斜边上的高是。
(3)若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点,则此三角形是三角形。
(4)三角形三边分别为a、b、c,且a2-(b-c),则这个三角形(按边分类)一定是
2、已知:
如图,D是△的边上的中点,⊥,⊥,垂足分别是E、F,且。
求证:
△是等腰三角形。
3、如图,在△中,,的垂直平分线交于点E,已知△的周长为8,-2.求与的长.
4、已知,在△中,垂直平分,且=,点B、D、C、E在同一条直线上。
求证:
+=
1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为
2、如图1,在△中,已知27,的垂直平分线交于点D,交于点E,△的周长等于50,则的长为。
3、如图2,在△中,∠90°平分∠,⊥于D,如果3,那么等于。
图2
4、命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是.它是一个命题。
等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是,这个逆命题是命题.
5、如图,平分∠,⊥,⊥,E、F是垂足,且=。
求证:
(1)△≌△;
(2)=。
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