西安石油大学现代数值计算方法第8章.ppt
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常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法8.8.11欧拉法与梯形法欧拉法与梯形法8.8.22泰勒展开法与泰勒展开法与龙格龙格-库塔库塔(RungeRungeKuttaKutta)方法)方法8.8.33线性多步法线性多步法第八章第八章8.08.0概述概述8.48.4数值算例数值算例本章着重讨论一阶常微分方程初值问题本章着重讨论一阶常微分方程初值问题的数值解法。
的数值解法。
8.08.0概述概述常微分方程初值问题的数值解是求上述初常微分方程初值问题的数值解是求上述初值问题的解值问题的解yy(xx)在区间在区间aa,bb中的点中的点列列上的近似值上的近似值.以下设以下设不变,记为不变,记为h-h-步长步长。
定理定理:
如果:
如果ff(xx,yy)满足李普希兹(满足李普希兹(LipschitzLipschitz)条件条件则上述微分方程有唯一解则上述微分方程有唯一解y(x)假设解假设解yy(xx)在区间在区间aa,bb上是存在而且唯一的,上是存在而且唯一的,并且具有充分的光滑度,因此,要求并且具有充分的光滑度,因此,要求ff(x,yx,y)也充也充分光滑。
初值问题的解析解分光滑。
初值问题的解析解(理论解)用理论解)用表示表示,数值解法的精确解用数值解法的精确解用表示。
表示。
常微分方程数值解法一般分为:
常微分方程数值解法一般分为:
(1)一步法:
在计算时,只用到,和,即前一步的值。
(2)多步法:
计算时,除用到,和以外,还要用和,即前k步的值。
(3)显式格式与隐式格式。
8.8.11欧拉法与梯形法欧拉法与梯形法设节点为设节点为,得欧拉方法计算公得欧拉方法计算公式为:
式为:
一、欧拉一、欧拉(Euler)(Euler)法法下面通过几种常用的方法来推导该公式。
下面通过几种常用的方法来推导该公式。
11、泰勒展开法、泰勒展开法假设在假设在附近把附近把yy(xx)做做TaylorTaylor展开,有:
展开,有:
取取hh的的线性部分线性部分,并用并用表示表示的近似值的近似值,得得22、数值积分法、数值积分法从到+h对等式y(t)=f(t,y(t)进行积分得到再再利用左矩形公式,得利用左矩形公式,得从而得到从而得到EulerEuler公式。
公式。
由由33、数值微分法、数值微分法44、几何方法、几何方法过过点点(xxnn,yynn)作以作以ff(xxnn,yynn)为斜率的直线方程:
为斜率的直线方程:
将将xx=xxn+n+11处该直线上的函数值做为处该直线上的函数值做为yy(xxnn+1+1)的近似值,的近似值,则有则有EulerEuler公式。
这实质上是在每个小区间上利用折公式。
这实质上是在每个小区间上利用折线来代替曲线的结果,故线来代替曲线的结果,故EulerEuler法法又称又称EulerEuler折线法折线法。
二、梯形法二、梯形法在在式式中中,将积分用将积分用梯形公式来代替,则有梯形公式来代替,则有从而得到梯形公式:
从而得到梯形公式:
梯形方法关于梯形方法关于yynn+1+1是隐式的,而是隐式的,而EulerEuler方法是显方法是显式的。
一般情形下不容易从上式解出式的。
一般情形下不容易从上式解出yynn+1+1,因而可将因而可将上式与上式与EulerEuler公式联合使用,即公式联合使用,即使用上式时,先用第一式算出使用上式时,先用第一式算出xxnn+1+1处处yynn+1+1的初始近似的初始近似再用再用第二式反复迭代,得到数列第二式反复迭代,得到数列用用来来控制迭代次数,这里控制迭代次数,这里为允许误差。
把满足误差要求的为允许误差。
把满足误差要求的可以证明可以证明,当当ff(x,yx,y)满足满足LipschitzLipschitz条件条件,即:
即:
(LL为为LipschitzLipschitz常数常数)时时,上述数列收敛。
上述数列收敛。
作为作为yy(xxnn+1+1)的近似值的近似值yynn+1+1.类似地可以得出类似地可以得出yyn+2n+2,y,yn+3n+3,证明:
证明:
由由和和有:
有:
反复使用不等式有:
反复使用不等式有:
实用中实用中,在在hh取得较小时取得较小时,用梯形公式计算用梯形公式计算,第第二式只迭代一次就结束二式只迭代一次就结束,得到得到EulerEuler预估预估-校正格式校正格式:
第一式称为第一式称为预估公式预估公式,第二式称为,第二式称为校正公式校正公式。
三、三、EulerEuler预估预估-校正格式校正格式四、方法的误差估计、收敛性和稳定性四、方法的误差估计、收敛性和稳定性定义1:
为某一数值方法在xn处的整体截断误差(不考虑舍入误差的影响)。
定义2:
对单步法,在的假设下,称为在处的局部截断误差。
(P232定义1)Remark1:
Euler法的局部截断误差为法的局部截断误差为(由泰勒余项由泰勒余项):
Remark2:
梯形方法的局部截断误差为(由梯形积分)用用泰勒展开法推导泰勒展开法推导EulerEuler预估校正预估校正格式的局部截断误差格式的局部截断误差改写改写EulerEuler预估校正公式为:
预估校正公式为:
在在的的假定下,假定下,而而而而因此有因此有故故EEuleruler预估校正方法为的局部截断误差阶为预估校正方法为的局部截断误差阶为OO(hh33)。
定义定义33:
若一个方法的局部截断误差为:
若一个方法的局部截断误差为,则则称该方法为称该方法为pp阶方法阶方法,或称该方法具有或称该方法具有pp阶精度阶精度。
P232P232定义定义22截断误差截断误差RemarkRemark:
EulerEuler方法是一阶方法,梯形法和方法是一阶方法,梯形法和EulerEuler预估校正法是二阶方法。
预估校正法是二阶方法。
整体截断误差与局部截断误差的关系整体截断误差与局部截断误差的关系且且局部截断误差有界:
局部截断误差有界:
则则EulerEuler法的整体截断误差法的整体截断误差nn满足估计式:
满足估计式:
其中其中LL为李普希兹常数,为李普希兹常数,b-ab-a为求解区间长度,为求解区间长度,定理定理:
如果:
如果ff(xx,yy)满足李普希兹(满足李普希兹(LipschitzLipschitz)条件条件收敛性与稳定性收敛性与稳定性收敛性定义收敛性定义:
如果某一数值方法对于任意固定的:
如果某一数值方法对于任意固定的xxnn=xx00+nhnh,当,当hh0(0(同时同时nn)时有时有yynnyy(xxnn),则则称该方法称该方法收敛收敛。
定义定义用一个数值方法,求解微分方程初值问题时,对给定的步长h0,若在计算时引入误差(也称扰动),但由此引起计算后面的时的误差按绝对值均不增加,则称这个数值方法是稳定的稳定的。
RemarkRemark:
该定理表明,整体截断误差比局部截断该定理表明,整体截断误差比局部截断误差低一阶。
对其它方法,也有类似的结论。
误差低一阶。
对其它方法,也有类似的结论。
稳定性定义稳定性定义稳定性稳定性RemarkRemark:
由于稳定性问题比较复杂,通常的由于稳定性问题比较复杂,通常的做法是将满足李普希兹条件的微分方程模型做法是将满足李普希兹条件的微分方程模型化。
设化。
设ffyy=常数,此时微分方程为线性常数,此时微分方程为线性方程方程yy=yy。
为保证微分方程的稳定性,为保证微分方程的稳定性,假定假定00。
讨论某方法的稳定性,就是讨论讨论某方法的稳定性,就是讨论该方法对模型方程的稳定性。
该方法对模型方程的稳定性。
稳定性结论稳定性结论EulerEuler法的稳定性条件是:
法的稳定性条件是:
梯形法梯形法是绝对稳定的。
是绝对稳定的。
EulerEuler预估校正格式的稳定性条件是:
预估校正格式的稳定性条件是:
对对非线性方程非线性方程,应视,应视,此时,此时将将是变化的。
是变化的。
的的变化将引起变化将引起hh的变化,的变化,属于绝对稳定区域,则认为对属于绝对稳定区域,则认为对如果步长如果步长hh固定,固定,此时,若此时,若此方程而言,方法是稳定的。
此方程而言,方法是稳定的。
8.8.22泰勒展开法与泰勒展开法与龙格龙格-库塔库塔(RungeRungeKuttaKutta)方法)方法问题问题:
利用泰勒展开法推导高阶单步的:
利用泰勒展开法推导高阶单步的求解常微分方程初值问题的数值方法。
求解常微分方程初值问题的数值方法。
从提高截断误差阶的阶数入手。
从提高截断误差阶的阶数入手。
假定初值问题的解假定初值问题的解yy(xx)及函数及函数ff(xx,yy)是充分光滑的,则是充分光滑的,则:
当当nn充分小时,略去余项充分小时,略去余项,则有,则有pp阶计算公式阶计算公式一、一、TaylorTaylor方法方法其中,其中,上式称为上式称为pp阶阶TaylorTaylor方法方法。
特别地,当。
特别地,当pp11时,就是时,就是EulerEuler公式。
当公式。
当pp22时,得二时,得二阶阶TaylorTaylor方法:
方法:
当当TaylorTaylor方法的阶数方法的阶数pp取的较大时,需计取的较大时,需计算算ff(xx,yy)的高阶导数值,计算量较大。
特别的高阶导数值,计算量较大。
特别当当ff(xx,yy)较较复杂时,复杂时,yy(x)(x)的高阶导数会很复的高阶导数会很复杂。
因此杂。
因此TaylorTaylor方法很少单独使用,但可以方法很少单独使用,但可以用它来启发思路。
用它来启发思路。
二、二、RungeRungeKuttaKutta方法方法基本思想基本思想:
用不同点的函数值作线性组合,构:
用不同点的函数值作线性组合,构造近似公式,把近似公式和解的造近似公式,把近似公式和解的TaylorTaylor展开比较,展开比较,使前面的若干项吻合,从而使近似公式达到一定使前面的若干项吻合,从而使近似公式达到一定的阶数。
一般的显式的阶数。
一般的显式R-KR-K方法,可以写成方法,可以写成其中,其中,为常数,选取这些常数的原则是,为常数,选取这些常数的原则是,要求第一式的右端在要求第一式的右端在处泰勒展开后,按处泰勒展开后,按h的的幂次重新整理,得到幂次重新整理,得到与微分方程的解的与微分方程的解的TaylorTaylor展开式展开式有尽可能多的项重合,即要求有尽可能多的项重合,即要求上述公式叫做上述公式叫做NN级级的的Runge-KuttaRunge-Kutta方法,其局部方法,其局部截断误差为截断误差为其中其中表示表示显然,显然,EulerEuler法是一级一阶法是一级一阶R-KR-K方法。
方法。
下面以二级下面以二级R-KR-K公式为例,来说明公式为例,来说明R-KR-K方法的推导方法的推导过程。
过程。
二阶龙格-库塔公式适当选择适当选择,p,使,使yn+1具有具有2阶精度阶精度注意到注意到将将在在处展开,有处展开,有而而yy(xxnn+1+1)在在xxnn处的处的TaylorTaylor展式为:
展式为:
将将k1,k2表示式代入表示式代入EulerEuler预估预估-校正格式校正格式若取若取Remark1Remark1:
我们可以构造无穷多个二级我们可以构造无穷多个二级R-KR-K方方法,这些方法的截断误差均为法,这些方法的截断误差均为OO(hh33),),即都是二即都是二阶方法。
其中二阶阶方法。
其中二阶HeunHeun方法是截断误差项数最方法是截断误差项数最少,且允许少,且允许ff任意变化的情况下截断误差最小任意变化的情况下截断误差最小的二阶方法。
的二阶方法。
Remark2Remark2:
二级二级R-KR-K方法不可能达到三阶方法不可能达到三阶Remark3Remark3:
同同样样可可构构造造其其他他阶阶的的R-KR-K方方法法,它它们们都都有有
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