图象的几何变换.docx

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图象的几何变换

第2章图象的几何变换

这一章我们将介绍图象的几何变换，包括图象的平移、旋转、镜象变换、转置、放缩等。

如果你熟悉矩阵运算，你将发现，实现这些变换是非常容易的。

2.1平移

平移（translation）变换大概是几何变换中最简单的一种了。

如图2.1所示，初始坐标为（x0,y0）的点经过平移（tx,ty）（以向右，向下为正方向）后，坐标变为（x1,y1）。

这两点之间的关系是x1=x0+tx，y1=y0+ty。

图2.1    平移的示意图

以矩阵的形式表示为

                （2.1）

我们更关心的是它的逆变换：

（2.2）

这是因为：

我们想知道的是平移后的图象中每个象素的颜色。

例如我们想知道，新图中左上角点的RGB值是多少？

很显然，该点是原图的某点经过平移后得到的，这两点的颜色肯定是一样的，所以只要知道了原图那点的RGB值即可。

那么到底新图中的左上角点对应原图中的哪一点呢？

将左上角点的坐标（0,0）入公式（2.2），得到x0=-tx，y0=-ty；所以新图中的（0,0）点的颜色和原图中（-tx,-ty）的一样。

这样就存在一个问题：

如果新图中有一点（x1,y1），按照公式（2.2）得到的（x0,y0）不在原图中该怎么办？

通常的做法是，把该点的RGB值统一设成（0,0,0）或者（255,255,255）。

另一个问题是：

平移后的图象是否要放大？

一种做法是不放大，移出的部分被截断。

例如，图2.2为原图，图2.3为移动后的图。

这种处理，文件大小不会改变。

图2.2    移动前的图

图2.3    移动后的图

还有一种做法是：

将图象放大，使得能够显示下所有部分，如图2.4所示。

图2.4   移动后图象被放大

这种处理，文件大小要改变。

设原图的宽和高分别是w1,h1则新图的宽和高变为w1+|tx|和h1+|ty|，加绝对值符号是因为tx,ty有可能为负（即向左，向上移动）。

下面的函数Translation采用的是第一种做法，即移出的部分被截断。

在给出源代码之前，先说明一个问题。

如果你用过Photoshop,CorelPhotoPaint等图象处理软件，可能听说过“灰度图”（grayscale）这个词。

灰度图是指只含亮度信息，不含色彩信息的图象，就象我们平时看到的黑白照片：

亮度由暗到明，变化是连续的。

因此，要表示灰度图，就需要把亮度值进行量化。

通常划分成0到255共256个级别，其中0最暗（全黑），255最亮（全白）。

.bmp格式的文件中，并没有灰度图这个概念，但是，我们可以很容易在.bmp文件中表示灰度图。

方法是用256色的调色板，只不过这个调色板有点特殊，每一项的RGB值都是相同的。

也就是说RGB值从（0，0，0），（1，1，1）一直到（255，255，255）。

（0，0，0）是全黑色，（255，255，255）是全白色，中间的是灰色。

这样，灰度图就可以用256色图来表示了。

为什么会这样呢？

难道是一种巧合？

其实并不是。

在表示颜色的方法中，除了RGB外，还有一种叫YUV的表示方法，应用也很多。

电视信号中用的就是一种类似于YUV的颜色表示方法。

在这种表示方法中，Y分量的物理含义就是亮度，U和V分量代表了色差信号（你不必了解什么是色差，只要知道有这么一个概念就可以了）。

使用这种表示方法有很多好处，最主要的有两点：

（1）   因为Y代表了亮度，所以Y分量包含了灰度图的所有信息，只用Y分量就能完全能够表示出一幅灰度图来。

当同时考虑U，V分量时，就能够表示出彩色信息来。

这样，用同一种表示方法可以很方便的在灰度和彩色图之间切换，而RGB表示方法就做不到这一点了。

（2）   人眼对于亮度信号非常敏感，而对色差信号的敏感程度相对较弱。

也就是说，图象的主要信息包含在Y分量中。

这就提示我们：

如果在对YUV信号进行量化时，可以“偏心”一点，让Y的量化级别多一些（谁让它重要呢？

）而让UV的量化级别少一些，就可以实现图象信息的压缩。

这一点将在第9章介绍图象压缩时仔细研究，这里就不深入讨论了。

而RGB的表示方法就做不到这一点，因为RGB三个分量同等重要，缺了谁也不行。

YUV和RGB之间有着如下的对应关系

（2.3）

（2.4）

当RGB三个分量的大小一样时，假设都是a，代入公式（2.3），得到Y=a，U=0，V=0。

你现在该明白我前面所说不是巧合的原因了吧。

使用灰度图有一个好处，那就是方便。

首先RGB的值都一样；其次，图象数据即调色板索引值，也就是实际的RGB值，也就是亮度值；另外，因为是256色调色板，所以图象数据中一个字节代表一个象素，很整齐。

如果是2色图或16色图，还要拼凑字节，很麻烦。

如果是彩色的256色图，由于图象处理后有可能会产生不属于这256种颜色的新颜色，就更麻烦了；这一点，今后你就会有深刻体会的。

所以，做图象处理时，一般采用灰度图。

为了将重点放在算法本身上，今后给出的程序如不做特殊说明，都是针对256级灰度图的。

其它颜色的情况，你可以自己想一想，把算法补全。

如果想得到一幅灰度图，可以使用Sea或者PhotoShop等软件提供的颜色转换功能将彩色图转换成灰度图。

好了，言归正传，下面给出Translation的源代码。

算法的思想是先将所有区域填成白色，然后找平移后显示区域的左上角点（x0,y0）和右下角点（x1,y1），分几种情况进行处理。

先看x方向（width指图象的宽度）

（1）   tx≤-width：

很显然，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理；

（2）   -width

如图2.5所示。

容易看出，图象区域的x范围从0到width-|tx|,对应原图的范围从|tx|到width；

图2.5    tx≤0，ty≤0的情况

（3）   0

如图2.6所示。

容易看出，图象区域的x范围从tx到width，对应原图的范围从0到width-tx；

图2.6    0

（4）   tx≥width：

很显然，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理。

y方向是对应的（height表示图象的高度）：

（1）   ty≤-height，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理；

（2）   -height

（3）   0

（4）   ty≥height，图象完全移出了屏幕，不用做任何处理。

这种做法利用了位图存储的连续性，即同一行的象素在内存中是相邻的。

利用memcpy函数，从（x0,y0）点开始，一次可以拷贝一整行（宽度为x1－x0），然后将内存指针移到（x0,y0+1）处，拷贝下一行。

这样拷贝（y1-y0）行就完成了全部操作，避免了一个一个象素的计算，提高了效率。

Translation的源代码如下：

int   xOffset=0,yOffset=0;

BOOLTranslation（HWNDhWnd）

{

DLGPROC                              dlgInputBox=NULL;

DWORD                                 OffBits,BufSize;

LPBITMAPINFOHEADER  lpImgData;

LPSTR                                    lpPtr;

HLOCAL                                 hTempImgData;

LPBITMAPINFOHEADER  lpTempImgData;

LPSTR                                    lpTempPtr;

int                                            SrcX0,SrcY0,SrcX1,SrcY1;

int                                            DstX0,DstY0,DstX1,DstY1;

int                                           RectWidth,RectHeight;

BOOL                                     xVisible,yVisible;

HDC                                       hDc;

HFILE                                     hf;

int                                           i;

//出现对话框，输入x偏移量xOffset，和y偏移量yOffset

dlgInputBox=（DLGPROC）MakeProcInstance（（FARPROC）InputBox,ghInst）;

DialogBox（ghInst,"INPUTBOX",hWnd,dlgInputBox）;

FreeProcInstance（（FARPROC）dlgInputBox）;

//OffBits为BITMAPINFOHEADER结构长度加调色板的大小

OffBits=bf.bfOffBits-sizeof（BITMAPFILEHEADER）;

BufSize=OffBits+bi.biHeight*LineBytes;//要开的缓冲区的大小

//为新产生的位图分配缓冲区内存

if（（hTempImgData=LocalAlloc（LHND,BufSize））==NULL）

{

MessageBox（hWnd,"Errorallocmemory!

","ErrorMessage",MB_OK|

MB_ICONEXCLAMATION）;

returnFALSE;//失败，返回

}

//lpImgData为指向原来位图数据的指针

lpImgData=（LPBITMAPINFOHEADER）GlobalLock（hImgData）;

//lpTempImgData为指向新产生位图数据的指针

lpTempImgData=（LPBITMAPINFOHEADER）LocalLock（hTempImgData）;

lpPtr=（char*）lpImgData;

lpTempPtr=（char*）lpTempImgData;

//将新的缓冲区中的每个字节都填成255，这样以后未处理的象素就是白色

memset（lpTempPtr,（BYTE）255,BufSize）;

//两幅图之间的头信息，包括调色板都是相同的，所以直接拷贝头和调色板

memcpy（lpTempPtr,lpPtr,OffBits）;

//xVisible为FALSE时，表示x方向已经移出了可显示的范围

xVisible=TRUE;

if（xOffset<=-bi.biWidth）

xVisible=FALSE;

elseif（xOffset<=0）{

DstX0=0; //表示移动后，有图区域的左上角点的x坐标

DstX1=bi.biWidth+xOffset;//表示移动后，有图区域的右下角点的x坐标

}

elseif（xOffset

DstX0=xOffset;

DstX1=bi.biWidth;

}

else

xVisible=FALSE;

SrcX0=DstX0-xOffset;//对应DstX0在原图中的x坐标

SrcX1=DstX1-xOffset;//对应DstX1在原图中的x坐标

RectWidth=DstX1-DstX0;//有图区域的宽度

//yVisible为FALSE时，表示y方向已经移出了可显示的范围

yVisible=TRUE;

if（yOffset<=-bi.biHeight）

yVisible=FALSE;

elseif（yOffset<=0）{

DstY0=0;//表示移动后，有图区域的左上角点的y坐标

DstY1=bi.biHeight+yOffset;//表示移动后，有图区域的右下角点的y坐标

}

elseif（yOffset

DstY0=yOffset;

DstY1=bi.biHeight;

}

else

yVisible=FALSE;

SrcY0=DstY0-yOffset;//对应DstY0在原图中的y坐标

SrcY1=DstY1-yOffset;//对应DstY1在原图中的y坐标

RectHeight=DstY1-DstY0;//有图区域的高度

if（xVisible&&yVisible）{//x,y方向都没有完全移出可显示的范围

for（i=0;i

//lpPtr指向要拷贝的那一行的最左边的象素对应在原图中的位

//置。

特别要注意的是，由于.bmp是上下颠倒的，偏移是

//（BufSize-LineBytes-（i+SrcY0）*LineBytes）+SrcX0，而不是

//（i+SrcY0）*LineBytes）+SrcX0，你试着举个例子就明白了。

lpPtr=（char*）lpImgData+（BufSize-LineBytes-

（i+SrcY0）*LineBytes）+SrcX0;

//lpTempPtr指向要拷贝的那一行的最左边的象素对应在新图中//的位置。

同样要注意上面//的问题。

lpTempPtr=（char*）lpTempImgData+

（BufSize-LineBytes-（i+DstY0）*LineBytes）+DstX0;

//拷贝一行（宽度为RectWidth）

             memcpy（lpTempPtr,lpPtr,RectWidth）;

}

}

hDc=GetDC（hWnd）;

if（hBitmap!

=NULL）

DeleteObject（hBitmap）;//释放原来的位图句柄

//产生新的位图

hBitmap=CreateDIBitmap（hDc,（LPBITMAPINFOHEADER）lpTempImgData,

（LONG）CBM_INIT,

（LPSTR）lpTempImgData+

sizeof（BITMAPINFOHEADER）+

NumColors*sizeof（RGBQUAD）,

（LPBITMAPINFO）lpTempImgData,

DIB_RGB_COLORS）;

//将平移后的图象存成文件

hf=_lcreat（"c:

\\translation.bmp",0）;

_lwrite（hf,（LPSTR）&bf,sizeof（BITMAPFILEHEADER））;

_lwrite（hf,（LPSTR）lpTempImgData,BufSize）;

_lclose（hf）;

//释放资源和内存

ReleaseDC（hWnd,hDc）;

LocalUnlock（hTempImgData）;

LocalFree（hTempImgData）;

GlobalUnlock（hImgData）;

returnTRUE;

}

2.2旋转

旋转（rotation）有一个绕着什么转的问题，通常的做法是以图象的中心为圆心旋转，举个例子，图2.7旋转30度（顺时针方向）后如图2.8所示：

图2.7    旋转前的图

图2.8    旋转后的图

可以看出，旋转后图象变大了。

另一种做法是不让图象变大，转出的部分被裁剪掉。

如图2.9所示。

我们采用第一种做法，首先给出变换矩阵。

在我们熟悉的坐标系中，将一个点顺时针旋转a角后的坐标变换公式，如图2.10所示，r为该点到原点的距离，在旋转过程中，r保持不变；b为r与x轴之间的夹角。

图2.9旋转后保持原图大小，

转出的部分被裁掉

图2.10  旋转示意图

旋转前：

x0=rcosb；y0=rsinb

旋转a角度后：

x1=rcos（b-a）=rcosbcosa+rsinbsina=x0cosa+y0sina；

y1=rsin（b-a）=rsinbcosa-rcosbsina=-x0sina+y0cosa；

以矩阵的形式表示：

（2.5）

上面的公式中，坐标系xoy是以图象的中心为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向。

它和以图象左上角点为原点o’，向右为x’轴正方向，向下为y’轴正方向的坐标系x’o’y’之间的转换关系如何呢？

如图2.11所示。

图2.11   两种坐标系间的转换关系

设图象的宽为w，高为h，容易得到：

（2.6）

逆变换为：

（2.7）

有了上面的公式，我们可以把变换分成三步：

1.将坐标系o’变成o；

2.将该点顺时针旋转a角；

3.将坐标系o变回o’，这样，我们就得到了变换矩阵，是上面三个矩阵的级联。

（2.8）

要注意的是，因为新图变大，所以上面公式中出现了wold，hold，wnew，hnew，它们分别表示原图（old）和新图（new）的宽、高。

我们从图2.8中容易看出：

wnew=max（|x4-x1|,|x3-x2|）；hnew=max（|y4-y1|,|y3-y2|）。

（2.8）的逆变换为

（2.9）

这样，对于新图中的每一点，我们就可以根据公式（2.9）求出对应原图中的点，得到它的灰度。

如果超出原图范围，则填成白色。

要注意的是，由于有浮点运算，计算出来点的坐标可能不是整数，采用取整处理，即找最接近的点，这样会带来一些误差（图象可能会出现锯齿）。

更精确的方法是采用插值，将在图象缩放时介绍。

源程序如下：

#definePI3.1415926535

#defineRADIAN（angle）（（angle）*PI/180.0）//角度到弧度转化的宏

BOOLRotation（HWNDhWnd）

{

DLGPROC                              dlgInputBox=NULL;

DWORD                                OffBits,SrcBufSize,DstBufSize,DstLineBytes;

LPBITMAPINFOHEADER  lpImgData;

LPSTR                                    lpPtr;

HLOCAL                                 hTempImgData;

LPBITMAPINFOHEADER  lpTempImgData;

LPSTR                                   lpTempPtr;

float                                      SrcX1,SrcY1,SrcX2,SrcY2;

float                                         SrcX3,SrcY3,SrcX4,SrcY4;

float                                        DstX1,DstY1,DstX2,DstY2;

float                                         DstX3,DstY3,DstX4,DstY4;

DWORD                                 Wold,Hold,Wnew,Hnew;

HDC                                       hDc;

HFILE                                     hf;

DWORD                                 x0,y0,x1,y1;

float                                        cosa,sina;//cos（a）,sin（a）;

float                                        num1,num2;

BITMAPFILEHEADER      DstBf;

BITMAPINFOHEADER            DstBi;

//出现对话框，输入旋转角度（顺时针方向）

dlgInputBox=（DLGPROC）MakeProcInstance（（FARPROC）InputBox,ghInst）;

DialogBox（ghInst,"INPUTBOX",hWnd,dlgInputBox）;

FreeProcInstance（（FARPROC）dlgInputBox）;

//角度到弧度的转化

RotateAngle=（float）RADIAN（RotateAngle）;

cosa=（float）cos（（double）RotateAngle）;

sina=（float）sin（（double）RotateAngle）;

//原图的宽度和高度

Wold=bi.biWidth;

Hold=bi.biHeight;

//原图的四个角的坐标

SrcX1=（float）（-0.5*Wold）;

SrcY1=（float）（0.5*Hold）;

SrcX2=（float）（0.5*Wold）;

SrcY2=（float）（0.5*Hold）;

SrcX3=（float）（-0.5*Wold）;

SrcY3=（float）（-0.5*Hold）;

SrcX4=（float）（0.5*Wold）;

SrcY4=（float）（-0.5*Hold）;

//新图四个角的坐标

DstX1=cosa*SrcX1+sina*SrcY1;

DstY1=-sina*SrcX1+cosa*SrcY1;

DstX2=cosa*SrcX2+sina*SrcY2;

DstY2=-sina*SrcX2+cosa*SrcY2;

DstX3=cosa*SrcX3+sina*SrcY3;

DstY3=-sina*SrcX3+cosa*SrcY3;

DstX4=cosa*SrcX4+sina*SrcY4;

DstY4=-sina*SrcX4+cosa*SrcY4;

//计算新图的宽度，高度

Wnew=（DWORD）（max（fabs（DstX4-DstX1）,fabs（DstX3-DstX2））+0.5）;

Hnew=（DWORD）（max（fabs（DstY4-DstY1）,fabs（DstY3-DstY2））+0.5）;

//计算矩阵（2.9）中的两个常数，这样不用以后每次都计算了

num1=（float）（-0.5*Wnew*cosa-0.5*Hnew