初一下学期数学拔高训练.docx
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初一下学期数学拔高训练.docx
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初一下学期数学拔高训练
初一下学期数学拔高训练例题
二元一次方程(组)
【例1】 已知方程组
的解x,y满足方程5x-y=3,求k的值.
【思考与分析】 本题有三种解法,前两种为一般解法,后一种为巧解法.
(1) 由已知方程组消去k,得x与y的关系式,再与5x-y=3联立组成方程组求出x,y的值,最后将x,y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.
(2) 把k当做已知数,解方程组,再根据5x-y=3建立关于k的方程,便可求出k的值.
(3) 将方程组中的两个方程相加,得5x-y=2k+11,又知5x-y=3,所以整体代入即可求出k的值.
把
代入①,得
,解得 k=-4.
解法二:
①×3-②×2,得 17y=k-22,
解法三:
①+②,得 5x-y=2k+11.
又由5x-y=3,得 2k+11=3,解得 k=-4.
【小结】 解题时我们要以一般解法为主,特殊方法虽然巧妙,但是不容易想到,有思考巧妙解法的时间,可能这道题我们已经用一般解法解了一半了,当然,巧妙解法很容易想到的话,那就应该用巧妙解法了.
【例2】 某种商品价格为每件33元,某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币各若干张,买了一件这种商品.若无需找零钱,则付款方式有哪几种(指付出2元和5元钱的张数)?
哪种付款方式付出的张数最少?
【思考与分析】 本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出问题中的数量关系,再找出最主要的数量关系,构建等式.然后找出已知量和未知量设元,列方程组求解.
最后,比较各个解对应的x+y的值,即可知道哪种付款方式付出的张数最少.
解:
设付出2元钱的张数为x,付出5元钱的张数为y,则x,y的取值均为自然数.依题意可得方程:
2x+5y=33.
因为5y个位上的数只可能是0或5,
所以2x个位上数应为3或8.
又因为2x是偶数,所以2x个位上的数是8,从而此方程的解为:
由
得x+y=12;由
得x+y=15.所以第一种付款方式付出的张数最少.
答:
付款方式有3种,分别是:
付出4张2元钱和5张5元钱;付出9张2元钱和3张5元钱;付出14张2元钱和1张5元钱. 其中第一种付款方式付出的张数最少.
【例3】解方程组
【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样,在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时,也需要弄清字母的取值是否为零。
解:
由①,得y=4-mx, ③
把③代入②,得 2x+5(4-mx)=8,
解得(2-5m)x=-12,当2-5m=0,
即m=
时,方程无解,则原方程组无解.
当2-5m≠0,即m≠
时,方程解为
将
代入③,得
故当m≠
时,
原方程组的解为
【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同,但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况.
对于x、y的方程组
中,a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数,且a1与b1、a2与b2都至少有一个不等于零,则
①
时,原方程组有惟一解;
②
时,原方程组有无穷多组解;
③
时,原方程组无解.
【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,这栋大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同.安全检查中,对4道门进行了训练:
当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟可以通过800名学生.
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
(2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低20%.安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问:
建造的这4道门是否符合安全规定?
请说明理由.
【思考与解】
(1)设平均每分钟一道正门可通过x名学生,一道侧门可以通过y名学生.
根据题意,得
所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人,一道侧门可以通过学生80人.
(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(人).拥挤时5分钟4道门能通过
5×2×(120+80)×(1-20%)=1600(人).
因为1600>1440,所以建造的4道门符合安全规定.
答:
平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生;建造的这4道门符合安全规定.
不等式(组)
【例1】:
解不等式
解:
利用分数的性质(即左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2),得8x+4-2(x-2)≤2,
去括号,得8x+4-2x+4≤2,移项,合并同类项,得6x≤-6两边同时除以6得x≤-1.
【例2】设a、b是不相等的任意正数,又x=
,则x、y这两个数一定是()
A.都不大于2B.都不小于2
C.至少有一个大于2D.至少有一个小于2
【思考与分析】不妨取a=1,b=3,得x=10,y=
从而排除A、B,再取a=3,b=4,得
,从而排除D,故选C.
答案:
C.
【反思】用特殊值法解选择题时,如果所取的特殊值使部分选项取得相同的结果,则应另选特殊值再验,直至选出答案.
比较两个数或两个代数式的大小,可以运用求差法:
如果a-b>0,则a>b;如果a-b<0,则a 运用求差法比较大小的一般步骤是: (1)作差; (2)判断差的符号;(3)确定大小. 【例4】设x>y,试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小,如果较大的代数式为正数,则其中最小的正整数x或y的值是多少? 【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差,然后再根据已知条件x>y,来判断这个差的符号,从而比较两个代数式的大小. 解: 由两式作差得-(8-10x)-[-(8-10y)]=-8+10x+8-10y=10x-10y. 因为x>y,所以10x>10y,即10x-10y>0. 所以-(8-10x)>-(8-10y). 又由题意得-(8-10x)>0,即x> ,所以x最小的正整数值为1. 巧去括号 【例6】 【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号,再去小括号,这样会使运算简便. 解: 去中括号,得 去分母,得3x+60<28+8x,移项,合并同类项,得-5x<-32, 【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号,给后面的运算带来方便. 巧用“整体思想” 【例7】解不等式: 【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有相同的项: 2x-1,我们把2x-1视为整体,再去中括号和分母,则可使运算简捷. 解: 3(2x-1)-9(2x-1)-9<5. 合并同类项得 -6×(2x-1)<14. 解得 反思: 我们在解带有括号的一元一次不等式时,我们要善于观察题目的特点,巧去括号可使运算简便. 【例1】满足 的x的值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于 【思考与分析】要求出那些整数之和,必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解,因此我们应该先解不等式. 解: 原不等式去分母,得3(2+x)≥2(2x-1), 去括号,移项,合并同类项,得-x≥-8,即x≤8. 满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,±7,±8,-9,-10,-11. 这些整数的和为(-9)+(-10)+(-11)=-30. 【例2】如果关于x的一元一次方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程 的解,那么(). 【思考与分析】这道题把方程问题转化为解不等式问题,利用了转化的数学思想.由于第一个方程的解大于第二个方程的解,只要先分别解出关于x的两个方程的解(两个解都是关于a的式子),再令第一个方程的解大于第二个方程的解,就可以求出问题的答案. 解: 关于x的方程3(x+4)=2a+5的解为 关于x的方程 的解为 由题意得 ,解得 .因此选D. 【例3】如果 ,2+c>2,那么(). A.a-c>a+cB.c-a>c+aC.ac>-acD.3a>2a 【思考与分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式,求得它们的解集后,便可以找到正确的答案. 解: 由 所以a<0.
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- 初一 学期 数学 拔高 训练