中考数学压轴专题圆的综合含答案.docx
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中考数学压轴专题圆的综合含答案
2020 中考数学 压轴专题 圆的综合(含答案)
1.如图,PB 为⊙O 的切线,B 为切点,直线 PO 交⊙O 于点 E、F,过点 B 作 PO 的垂线
BA,垂足为点 D,交⊙O 于点 A,延长 AO 与⊙O 交于点 C,连接 BC,AF.
(1)求证:
直线 PA 为⊙O 的切线;
(2)求证:
EF2=4OD·OP;
1
2
第 1 题图
(1)证明:
如解图,连接 OB,
第 1 题解图
⊙PB 是⊙O 的切线,
⊙⊙PBO=90°,
⊙OA=OB,BA⊙PO 于点 D,
⊙AD=BD,
⊙点 D 为 AB 的中点,即 OP 垂直平分 AB,
⊙⊙APO=⊙BPO,
⊙⊙ADP=⊙BDP=90°,
⊙⊙APD⊙⊙BPD,
⊙AP=BP,
在⊙PAO 和⊙PBO 中,
⎧⎪PA=PB
⎨⊙APO=⊙BPO,
⎪⎩OP=OP
⊙⊙PAO⊙⊙PBO(SAS),
⊙⊙PAO=⊙PBO=90°,
⊙OA 为⊙O 的半径,
⊙直线 PA 为⊙O 的切线;
(2)证明:
⊙⊙PAO=⊙PDA=90°,
⊙⊙OAD+⊙AOD=90°,⊙OPA+⊙AOP=90°,
⊙⊙OAD=⊙OPA,
⊙⊙OAD⊙⊙OPA,
OAOD
OPOA
又⊙EF=2OA,
⊙EF 2=4OD·OP;
(3)解:
⊙OA=OC,AD=BD,BC=6,
1
2
设 AD=x,
ADx1
DFDF2
⊙DF=2x,⊙OA=OF=2x-3,
在 Rt⊙AOD 中,由勾股定理得
(2x-3)2=x2+32,解得 x1=4 或 x2=0(不合题意,舍去),
⊙OA=2x-3=5,
⊙AC 为⊙O 的直径,
⊙AC=2OA=10.
2.如图,在⊙ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 与边 BC,AC 分别交于 D,E 两点,
过点 D 作 DF⊙AC,垂足为点 F.
(1)求证:
DF 是⊙O 的切线;
2
5
第 2 题图
(1)证明:
如解图,连接 OD,
G
第 2 题解图
⊙OB=OD,
⊙⊙ODB=⊙B,
又⊙AB=AC,
⊙⊙C=⊙B,
⊙⊙ODB=⊙C,
⊙OD⊙AC,
⊙DF⊙AC,
⊙⊙DFC=90°,
⊙⊙ODF=⊙DFC=90°,
⊙OD 是⊙O 的半径,
⊙DF 是⊙O 的切线;
(2)解:
如解图,过点 O 作 OG⊙AC,垂足为 G,
1
2
AG22
OAOA5
⊙OA=5,
⊙OG=OA2-AG2= 21,
⊙⊙ODF=⊙DFG=⊙OGF=90°,
⊙四边形 OGFD 为矩形,
⊙DF=OG= 21.
3.如图,在⊙O 中,直径 CD⊙弦 AB 于点 E,AM⊙BC 于点 M,交 CD 于点 N,连接 AD.
(1)求证:
AD=AN;
(2)若 AB=4 2,ON=1,求⊙O 的半径.
第 3 题图
(1)证明:
⊙⊙BAD 与⊙BCD 是同弧所对的圆周角,
⊙⊙BAD=⊙BCD,
⊙AE⊙CD,AM⊙BC,
⊙⊙AEN=⊙AMC=90°,
⊙⊙ANE=⊙CNM,
⊙⊙BAM=⊙BCD,
⊙⊙BAM=⊙BAD,
在⊙ANE 与⊙ADE 中,
⎧⎪⊙BAM=⊙BAD
⎨AE=AE,
⎪⎩⊙AEN=⊙AED
⊙⊙ANE⊙⊙ADE(ASA),
⊙AN=AD;
(2)解:
⊙AB=4 2,AE⊙CD,
1
2
又⊙ON=1,
⊙设 NE=x,则 OE=x-1,NE=ED=x,OD=OE+ED=2x-1,
如解图,连接 AO,则 AO=OD=2x-1,
第 3 题解图
⊙⊙AOE 是直角三角形,AE=2 2,OE=x-1,AO=2x-1,
⊙(2 2)2+(x-1)2=(2x-1)2,
4
12
⊙AO=2x-1=3,
即⊙O 的半径为 3.
4.如图,在⊙ABC 中,⊙C=90°,D 是 BC 边上一点,以 DB 为直径的⊙O 经过 AB 的中点
E,交 AD 的延长线于点 F,连接 EF.
(1)求证:
⊙1=⊙F;
5
第 4 题图
(1)证明:
如解图,连接 DE.
第 4 题解图
⊙BD 是⊙O 的直径,
⊙⊙DEB=90°.
⊙E 是 AB 的中点,
⊙DA=DB,
⊙⊙1=⊙B.
⊙⊙B=⊙F,
⊙⊙1=⊙F;
(2)解:
⊙⊙1=⊙F,
⊙AE=EF=2 5,
⊙AB=2AE=4 5.
在 Rt⊙ABC 中,AC=AB·sinB=4,
⊙BC=AB2-AC2=8.
设 CD=x,则 AD=BD=8-x.
在 Rt⊙ACD 中,由勾股定理得 AC2+CD2=AD2,
即 42+x2=(8-x)2,
解得 x=3,
⊙CD=3.
5.如图,直线 DP 和⊙O 相切于点 C,交直径 AE 的延长线于点 P,过点 C 作 AE 的垂线,
交 AE 于点 F,交⊙O 于点 B,作 Y ABCD,连接 BE,DO,CO.
(1)求证:
DA=DC;
(2)求⊙P 及⊙AEB 的度数.
第 5 题图
(1)证明:
⊙四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD⊙BC,
⊙CB⊙AE,
⊙AD⊙AE,
⊙⊙DAO=90°,
又⊙直线 DP 和⊙O 相切于点 C,
⊙DC⊙OC,
⊙⊙DCO=90°,
⊙在 Rt⊙DAO 和 Rt⊙DCO 中,
⎧⎪DO=DO
⎨,
⎪⎩AO=CO
⊙Rt⊙DAO⊙Rt⊙DCO(HL),
⊙DA=DC;
(2)解:
⊙CB⊙AE,AE 是⊙O 的直径,
1
2
又⊙四边形 ABCD 是平行四边形,
⊙AD=BC,
1
2
又⊙CF⊙DA,
⊙⊙PCF⊙⊙PDA,
PCCF111
PDAD222
由
(1)知 DA=DC,
1
2
⊙在 Rt⊙DAP 中,⊙P=30°.
⊙DP⊙AB,
⊙⊙FAB=⊙P=30°,
又⊙⊙ABE=90°,
⊙⊙AEB=90°-30°=60°.
6.如图,在⊙ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 与 BC 交于点 D,过点 D 作⊙O 的切
线交 AC 于点 E.
(1)求证:
⊙ABD=⊙ADE;
2520
63
第 6 题图
(1)证明:
如解图,连接 OD.
第 6 题解图
⊙DE 为⊙O 的切线,
⊙OD⊙DE,
⊙⊙ADO+⊙ADE=90°.
⊙AB 为⊙O 的直径,
⊙⊙ADB=90°,
⊙⊙ADO+⊙ODB=90°.
⊙⊙ADE=⊙ODB,
⊙OB=OD,
⊙⊙OBD=⊙ODB,
⊙⊙ABD =⊙ADE;
2525
63
⊙⊙ABC=⊙C,BD=CD.
⊙O 为 AB 的中点,
⊙OD 为⊙ABC 的中位线,
⊙OD⊙AC,
⊙OD⊙DE,
⊙AC⊙DE,
在 Rt⊙ACD 中,
20
33
⊙⊙C=⊙C,⊙DEC=⊙ADC=90°,
⊙⊙DEC⊙⊙ADC,
CEDCCE5
DCAC525
3
⊙CE=3.
7.如图,在⊙ABC 中,⊙ACB=90°,D 是边 AB 上的一点,且⊙A=2⊙DCB,点 E 是 BC 上
的一点,以 EC 为直径的⊙O 经过点 D.
(1)求证:
AB 是⊙O 的切线;
(2)若 CD 的弦心距为 1,BE=EO,求 BD 的长.
第 7 题图
(1)证明:
如解图⊙,连接 OD,
第 7 题解图⊙
则⊙DOB=2⊙DCB,
又⊙⊙A=2⊙DCB,
⊙⊙A=⊙DOB,
又⊙⊙A+⊙B=90°,
⊙⊙DOB+⊙B=90°,
⊙⊙BDO=90°,
即 OD⊙AB,
又⊙OD 是⊙O 的半径,
⊙AB 是⊙O 的切线.
(2)解:
如解图⊙,过点 O 作 OM⊙CD 于点 M,连接 DE,
第 7 题解图⊙
1
2
⊙⊙B=30°,
⊙⊙DOB=60°,
⊙⊙DCB=30°,
⊙OC=2OM=2,
⊙OD=2,
⊙BD=ODtan60°=2 3.
8.如图,PB 为⊙O 的切线,B 为切点,过 B 作 OP 的垂线 BA,垂足为 C,交⊙O 于点 A,
连接 PA,AO,并延长 AO 交⊙O 于点 E,与 PB 的延长线交于点 D.
(1)求证:
PA 是⊙O 的切线;
4
5
第 8 题图
(1)证明:
如解图,连接 OB,
第 8 题解图
⊙OA=OB,
⊙⊙OAB=⊙OBA,
⊙OP⊙AB,
⊙AC=BC,
⊙OP 是 AB 的垂直平分线,
⊙PA=PB,
⊙⊙PAB=⊙PBA,
⊙⊙PAO=⊙PBO.
⊙PB 为⊙O 的切线,
⊙⊙OBP=90°,
⊙⊙PAO=90°,
⊙OA 为⊙O 的半径,
⊙PA 是⊙O 的切线;
4
5
⊙设 AC=4k,AO=5k,由勾股定理可知 OC=3k,
34
53
CO363
OA5OA5
AP4
AO3
440
1033
⊙PA=PB,
40
3
9.如图,在⊙ABC 中,以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D,⊙ACD=⊙ABC.
(1)求证:
CA 是⊙O 的切线;
25
33
第 9 题图
(1)证明:
⊙BC 是⊙O 的直径,
⊙⊙BDC=90°,
⊙⊙ABC+⊙DCB=90°,
⊙⊙ACD=⊙ABC,
⊙⊙ACD+⊙DCB=90°,
⊙⊙ACB=90°,
即 BC⊙CA,
又⊙BC 是⊙O 的直径,
⊙CA 是⊙O 的切线;
5
3
AC53
EC35
2
3
AC23
BC32
⊙BC-EC=BE=6,
3320
253
3 20
2 3
即⊙O 的直径为 10.
10. 如图,在⊙ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,过点 D 作⊙O 的切线
DE 交 AC 于点 E,交 AB 延长线于点 F.
(1)求证:
DE⊙AC;
(2)若 AB=10,AE=8,求 BF 的长.
第 10 题图
(1)证明:
如解图,连接 OD,AD,
第 10 题解图
3
⊙DE 与⊙O 相切于点 D,
⊙OD⊙DE.
⊙AB 是⊙O 的直径,
⊙⊙ADB=90°,
⊙AB=AC,
⊙D 为 BC 中点,
又⊙O 为 AB 中点,
⊙OD⊙AC,⊙DE⊙AC;
(2)解:
⊙AB=10,
⊙OB=OD=5.
由
(1)知 OD⊙AC,
⊙⊙ODF⊙⊙AEF,
ODOFBF + OB
==
⊙ AEAFBF + AB
设 BF=x,
则有 5x + 5 解得 x= 10 ,
=
8x + 10
,
⊙BF=
10
3
.
11. 如图,已知 AB 为⊙O 的直径,F 为⊙O 上一点,AC 平分⊙BAF 且交⊙O 于点 C,过点 C
作 CD⊙AF 于点 D,延长 AB、DC 交于点 E,连接 BC、CF.
(1)求证:
CD 是⊙O 的切线;
(2)若 AD=6,DE=8,求 BE 的长;
(3)求证:
AF+2DF=AB.
第 11 题图
(1)证明:
如解图,连接 OC.
第 11 题解图
⊙AC 平分⊙BAD,⊙⊙OAC=⊙CAD,
又⊙OAC=⊙OCA,⊙⊙OCA=⊙CAD,
⊙CO⊙AD.
又 CD⊙AD,
⊙CD⊙OC,
又⊙OC 是⊙O 的半径,
⊙CD 是⊙O 的切线;
(2)解:
在 Rt⊙ADE 中,⊙AD=6,DE=8,
根据勾股定理得:
AE=10,
⊙CO⊙AD,
⊙⊙EOC⊙⊙EAD,
OC
=.
EAAD
设⊙O 的半径为 r,⊙OE=10-r.
⊙
10 - r r
= ,
10 6
15
⊙r=,
4
5
⊙BE=10-2r=;
2
(3)证明:
如解图,过点 C 作 CG⊙AB 于点 G.
⊙⊙OAC=⊙CAD,AD⊙CD,
⊙CG=CD,
在 Rt⊙AGC 和 Rt⊙ADC 中,
⊙CG=CD,AC=AC,
⊙Rt⊙AGC⊙Rt⊙ADC(HL),
⊙AG=AD.
又⊙⊙BAC=⊙CAD,
⊙BC=CF,
在 Rt⊙CGB 和 Rt⊙CDF 中,
⊙BC=FC,CG=CD,
⊙Rt⊙CGB⊙Rt⊙CDF(HL),
⊙GB=DF.
⊙AG+GB=AB,⊙AD+DF=AB,即 AF+2DF=AB.
12. 如图,在 Rt⊙ABC 中,⊙ACB=90°,以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D,E 是 AC 的中
点,OE 交 CD 于点 F.
︵
(1)若⊙BCD=36°,BC=10,求BD的长;
(2)判断直线 DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(3)求证:
2CE2=AB·EF.
第 12 题图
(1)解:
如解图,连接 OD,
第 12 题解图
⊙⊙BCD=36°,
⊙⊙BOD=2⊙BCD=2×36°=72°,
⊙BC 是⊙O 的直径,BC=10,
⊙OB=5,
︵72π×5
180
(2)解:
DE 是⊙O 的切线;理由如下:
⊙BC 是⊙O 的直径,
⊙⊙ADC=180°-⊙BDC=90°,
又⊙点 E 是线段 AC 中点,
1
2
在⊙DOE 与⊙COE 中,
⎧⎪OD=OC
⎨OE=OE ,
⎪⎩DE=CE
⊙⊙DOE⊙⊙COE(SSS).
⊙⊙ACB=90°,
⊙⊙ODE=⊙OCE=90°,
⊙OD 是⊙O 的半径,
⊙DE 是⊙O 的切线;
(3)证明:
由
(2)知,⊙DOE⊙⊙COE,
⊙OE 是线段 CD 的垂直平分线,
⊙点 F 是线段 CD 中点,
1
2
⊙⊙BAC=⊙CAD,⊙ADC=⊙ACB,
⊙⊙ACD⊙⊙ABC,
ACAD
ABAC
而 AC=2CE,AD=2EF,
⊙(2CE)2=AB·2EF,
即 4CE2=AB·2EF,
⊙2CE2=AB·EF.
13. 如图,AB 是⊙O 的直径,点 D 是 AE 上的一点,且⊙BDE=⊙CBE,BD 与 AE 交于点 F.
(1)求证:
BC 是⊙O 的切线;
(2)若 BD 平分⊙ABE,延长 ED、BA 交于点 P,若 PA=AO,DE=2,求 PD 的长.
第 13 题图
(1)证明:
⊙AB 是⊙O 的直径,
⊙⊙AEB=90°,
⊙⊙EAB+⊙EBA=90°,
⊙⊙BDE=⊙EAB,⊙BDE=⊙CBE,
⊙⊙EAB=⊙CBE,
⊙⊙ABE+⊙CBE=90°,
⊙CB⊙AB,
⊙AB 是⊙O 的直径,
⊙BC 是⊙O 的切线;
(2)解:
⊙BD 平分⊙ABE,
⊙⊙ABD=⊙DBE,
如解图,连接 DO,
第 13 题解图
⊙OD=OB,
⊙⊙ODB=⊙OBD,
⊙⊙EBD=⊙OBD,
⊙⊙EBD=⊙ODB,
⊙OD⊙BE,
PDPO
PEPB
⊙PA=AO,
⊙PA=AO=OB,
PO2
PB3
PD2
PE3
PD2
PD+DE3
⊙DE=2,
⊙PD=4.
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