《离散数学》试题及答案.docx
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《离散数学》试题及答案
一、填空题
1设集合A,B,其中A={1,2,3},B={1,2},则A-B={3};?
(A)-?
(B)={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2.设有限集合A,|A|=n,则|?
(A×A)|=
.
3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是?
1={(a,1),(b,1)},?
2={(a,2),(b,2)},?
3={(a,1),(b,2)},?
4={(a,2),(b,1)},其中双射的是?
3,?
4.
4.已知命题公式G=?
(P?
Q)∧R,则G的主析取范式是(P∧?
Q∧R)
5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为12,分枝点数为3.
6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从A?
B={4};A?
B={1,2,3,4};
A-B={1,2}.
7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是自反性,对称性
传递性.
8.设命题公式G=?
(P?
(Q?
R)),则使公式G为真的解释有(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0)
9.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R1={(1,4),(2,3),(3,2)},R2={(2,1),(3,2),(4,3)},则R1?
R2={(1,3),(2,2),(3,1)},R2?
R1={(2,4),(3,3),(4,2)}_R12={(2,2),(3,3).
10.设有限集A,B,|A|=m,|B|=n,则||?
(A?
B)|=
.
11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A={x|-1≤x≤1,x?
R},B={x|0≤x<2,x?
R},则A-B=-1<=x<0,B-A={x|1 R}, A∩B={x|0≤x≤1,x? R},. 13.设集合A={2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,则R以集合形式(列举法)记为 {(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}. 14.设一阶逻辑公式G=? xP(x)? ? xQ(x),则G的前束范式是? x(? P(x)∨Q(x)). 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加21条边才能把G变成完全图。 (完全图的边数 ,树的边数为n-1) 16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式? xR(x)→? xS(x)中量词消除,写成与之对应的命题公式是_(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b))_. 17.设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R={(1,1),(1,2),(2,3)},S={(1,3),(2,3),(3,2)}。 则R? S={(1,3),(2,2)}, R2={(1,1),(1,2),(1,3)}. 二、选择题 1设集合A={2,{a},3,4},B={{a},3,4,1},E为全集,则下列命题正确的是(C)。 (A){2}? A(B){a}? A(C)? ? {{a}}? B? E(D){{a},1,3,4}? B. 2设集合A={1,2,3},A上的关系R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)},则R不具备(D). (A)自反性(B)传递性(C)对称性(D)反对称性 3设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示,若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的(B)。 (A)下界(B)上界(C)最小上界(D)以上答案都不对 4下列语句中,(B)是命题。 (A)请把门关上(B)地球外的星球上也有人 (C)x+5>6(D)下午有会吗? 5设I是如下一个解释: D={a,b}, 则在解释I下取真值为1的公式是(D). (A)? x? yP(x,y)(B)? x? yP(x,y)(C)? xP(x,x)(D)? x? yP(x,y). 6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是(C). (A)(1,2,2,3,4,5)(B)(1,2,3,4,5,5)(C)(1,1,1,2,3)(D)(2,3,3,4,5,6). 7.设G、H是一阶逻辑公式,P是一个谓词,G=? xP(x),H=? xP(x),则一阶逻辑公式G? H是(C). (A)恒真的(B)恒假的(C)可满足的(D)前束范式. 8设命题公式G=? (P? Q),H=P? (Q? ? P),则G与H的关系是(A)。 (A)G? H(B)H? G(C)G=H(D)以上都不是. 9设A,B为集合,当(D)时A-B=B. (A)A=B(B)A? B(C)B? A(D)A=B=? . 10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},则R具有(B)。 (A)自反性(B)传递性(C)对称性(D)以上答案都不对 11下列关于集合的表示中正确的为(B)。 (A){a}? {a,b,c}(B){a}? {a,b,c}(C)? ? {a,b,c}(D){a,b}? {a,b,c} 12命题? xG(x)取真值1的充分必要条件是(A). (A)对任意x,G(x)都取真值1.(B)有一个x0,使G(x0)取真值1. (C)有某些x,使G(x0)取真值1.(D)以上答案都不对. 13.设G是连通平面图,有5个顶点,6个面,则G的边数是(A). (A)9条(B)5条(C)6条(D)11条. 14.设G是5个顶点的完全图,则从G中删去(A)条边可以得到树. (A)6(B)5(C)10(D)4. 15.设图G的相邻矩阵为 ,则G的顶点数与边数分别为(D). (A)4,5(B)5,6(C)4,10(D)5,8. 三、计算证明题 1.设集合A={1,2,3,4,6,8,9,12},R为整除关系。 (1)画出半序集(A,R)的哈斯图; (2)写出A的子集B={3,6,9,12}的上界,下界,最小上界,最大下界; (3)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元。 解: (1) (2)B无上界,也无最小上界。 下界1,3;最大下界是3 (3)A无最大元,最小元是1,极大元8,12,9;极小元是1 2.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(x,y)|x,y? A且x? y},求 (1)画出R的关系图; (2)写出R的关系矩阵. 解: (1) (2) 3.设R是实数集合,? ? ? 是R上的三个映射,? (x)=x+3,? (x)=2x,? (x)=x/4,试求复合映射? ? ? ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? . 解: (1)? ? ? =? (? (x))=? (x)+3=2x+3=2x+3. (2)? ? ? =? (? (x))=? (x)+3=(x+3)+3=x+6, (3)? ? ? =? (? (x))=? (x)+3=x/4+3, (4)? ? ? =? (? (x))=? (x)/4=2x/4=x/2, (5)? ? ? ? ? =? ? (? ? ? )=? ? ? +3=2x/4+3=x/2+3. ▲4.设I是如下一个解释: D={2,3}, a b f (2) f(3) P(2,2) P(2,3) P(3,2) P(3,3) 3 2 3 2 0 0 1 1 试求 (1)P(a,f(a))∧P(b,f(b)); (2)? x? yP(y,x). 解: (1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))=P(3,f(3))∧P(2,f (2)) =P(3,2)∧P(2,3) =1∧0 =0. (2)? x? yP(y,x)=? x(P(2,x)∨P(3,x)) =(P(2,2)∨P(3,2))∧(P(2,3)∨P(3,3)) =(0∨1)∧(0∨1) =1∧1 =1. 5.设集合A={1,2,4,6,8,12},R为A上整除关系。 (1)画出半序集(A,R)的哈斯图; (2)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元; (3)写出A的子集B={4,6,8,12}的上界,下界,最小上界,最大下界. 解: (1) (2)无最大元,最小元1,极大元8,12;极小元是1. (3)B无上界,无最小上界。 下界1,2;最大下界2. 6.设命题公式G=? (P→Q)∨(Q∧(? P→R)),求G的主析取范式。 解: G=? (P→Q)∨(Q∧(? P→R)) =? (? P∨Q)∨(Q∧(P∨R)) =(P∧? Q)∨(Q∧(P∨R)) =(P∧? Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R) =(P∧? Q∧R)∨(P∧? Q∧? R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧? R)∨(P∧Q∧R)∨(? P∧Q∧R) =(P∧? Q∧R)∨(P∧? Q∧? R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧? R)∨(? P∧Q∧R) =m3∨m4∨m5∨m6∨m7=? (3,4,5,6,7). 7.(9分)设一阶逻辑公式: G=(? xP(x)∨? yQ(y))→? xR(x),把G化成前束范式. 解: G=(? xP(x)∨? yQ(y))→? xR(x) =? (? xP(x)∨? yQ(y))∨? xR(x) =(? ? xP(x)∧? ? yQ(y))∨? xR(x) =(? x? P(x)∧? y? Q(y))∨? zR(z) =? x? y? z((? P(x)∧? Q(y))∨R(z)) 9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)}, (1)求出r(R),s(R),t(R); (2)画出r(R),s(R),t(R)的关系图. 解: (1) r(R)=R∪IA={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, s(R)=R∪R-1={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)}, t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}; (2)关系图: 11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价: (1)G=(P∧Q)∨(? P∧Q∧R) (2)H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(? P∧R)) 解: G=(P∧Q)∨(? P∧Q∧R) =(P∧Q∧? R)∨(P∧Q∧R)∨(? P∧Q∧R) =m6∨m7∨m3 =? (3,6,7) H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(? P∧R)) =(P∧Q)∨(Q∧R))∨(? P∧Q∧R) =(P∧Q∧? R)∨(P∧Q∧R)∨(? P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(? P∧Q∧R) =(P∧Q∧? R)∨(? P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) =m6∨m3∨m7 G,H的主析取范式相同,所以G=H. 13.设R和S是集合A={a,b,c,d}上的关系,其中R={(a,a),(a,c),(b,c),(c,d)},S={(a,b),(b,c),(b,d),(d,d)}. (1)试写出R和S的关系矩阵; (2)计算R? S,R∪S,R-1,S-1? R-1. 解: (1) (2)R? S={(a,b),(c,d)}, R∪S={(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d),(d,d)}, R-1={(a,a),(c,a),(c,b),(d,c)}, S-1? R-1={(b,a),(d,c)}. 四、证明题 1.利用形式演绎法证明: {P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。 解: (1)P∨RP (2)? R→PQ (1) (3)P→QP (4)? R→QQ (2)(3) (5)? Q→RQ(4) (6)R→SP (7)? Q→SQ(5)(6) (8)Q∨SQ(7) 2.设A,B为任意集合,证明: (A-B)-C=A-(B∪C). 解: (A-B)-C= 3.(本题10分)利用形式演绎法证明: {? A∨B,? C→? B,C→D}蕴涵A→D。 解: (1)AD(附加) (2)? A∨BP (3)BQ (1) (2) (4)? C→? BP (5)B→CQ(4) (6)CQ(3)(5) (7)C→DP (8)DQ(6)(7) (9)A→DD (1)(8) 所以{? A∨B,? C→? B,C→D}蕴涵A→D. 4.(本题10分)A,B为两个任意集合,求证: A-(A∩B)=(A∪B)-B. 解: 4.A-(A∩B) =A∩~(A∩B) =A∩(~A∪~B) =(A∩~A)∪(A∩~B) =? ∪(A∩~B) =(A∩~B) =A-B 而(A∪B)-B =(A∪B)∩~B =(A∩~B)∪(B∩~B) =(A∩~B)∪? =A-B 所以: A-(A∩B)=(A∪B)-B. 参考答案 一、填空题 1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. 2. . 3.? 1={(a,1),(b,1)},? 2={(a,2),(b,2)},? 3={(a,1),(b,2)},? 4={(a,2),(b,1)};? 3,? 4. 4.(P∧? Q∧R). 5.12,3. 6.{4},{1,2,3,4},{1,2}. 7.自反性;对称性;传递性. 8.(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0). 9.{(1,3),(2,2),(3,1)};{(2,4),(3,3),(4,2)};{(2,2),(3,3)}. 10.2m? n. 11.{x|-1≤x<0,x? R};{x|1 R};{x|0≤x≤1,x? R}. 12.12;6. 13.{(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}. 14.? x(? P(x)∨Q(x)). 15.21. 16.(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17.{(1,3),(2,2)};{(1,1),(1,2),(1,3)}. 二、选择题 1.C.2.D.3.B.4.B. 5.D.6.C.7.C. 8.A.9.D.10.B.11.B. 13.A.14.A.15.D 三、计算证明题 1. (1) (2)B无上界,也无最小上界。 下界1,3;最大下界是3. (3)A无最大元,最小元是1,极大元8,12,90+;极小元是1. 2.R={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. (1) (2) 3. (1)? ? ? =? (? (x))=? (x)+3=2x+3=2x+3. (2)? ? ? =? (? (x))=? (x)+3=(x+3)+3=x+6, (3)? ? ? =? (? (x))=? (x)+3=x/4+3, (4)? ? ? =? (? (x))=? (x)/4=2x/4=x/2, (5)? ? ? ? ? =? ? (? ? ? )=? ? ? +3=2x/4+3=x/2+3. 4. (1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))=P(3,f(3))∧P(2,f (2)) =P(3,2)∧P(2,3) =1∧0 =0. (2)? x? yP(y,x)=? x(P(2,x)∨P(3,x)) =(P(2,2)∨P(3,2))∧(P(2,3)∨P(3,3)) =(0∨1)∧(0∨1) =1∧1 =1. 5. (1) (2)无最大元,最小元1,极大元8,12;极小元是1. (3)B无上界,无最小上界。 下界1,2;最大下界2. 6.G=? (P→Q)∨(Q∧(? P→R)) =? (? P∨Q)∨(Q∧(P∨R)) =(P∧? Q)∨(Q∧(P∨R)) =(P∧? Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R) =(P∧? Q∧R)∨(P∧? Q∧? R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧? R)∨(P∧Q∧R)∨(? P∧Q∧R) =(P∧? Q∧R)∨(P∧? Q∧? R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧? R)∨(? P∧Q∧R) =m3∨m4∨m5∨m6∨m7=? (3,4,5,6,7). 7.G=(? xP(x)∨? yQ(y))→? xR(x) =? (? xP(x)∨? yQ(y))∨? xR(x) =(? ? xP(x)∧? ? yQ(y))∨? xR(x) =(? x? P(x)∧? y? Q(y))∨? zR(z) =? x? y? z((? P(x)∧? Q(y))∨R(z)) 9. (1)r(R)=R∪IA={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, s(R)=R∪R-1={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)}, t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}; (2)关系图: 11.G=(P∧Q)∨(? P∧Q∧R) =(P∧Q∧? R)∨(P∧Q∧R)∨(? P∧Q∧R) =m6∨m7∨m3 =? (3,6,7) H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(? P∧R)) =(P∧Q)∨(Q∧R))∨(? P∧Q∧R) =(P∧Q∧? R)∨(P∧Q∧R)∨(? P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(? P∧Q∧R) =(P∧Q∧? R)∨(? P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) =m6∨m3∨m7 =? (3,6,7) G,H的主析取范式相同,所以G=H. 13. (1) (2)R? S={(a,b),(c,d)}, R∪S={(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d),(d,d)}, R-1={(a,a),(c,a),(c,b),(d,c)}, S-1? R-1={(b,a),(d,c)}. 四证明题 1.证明: {P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S (1)P∨RP (2)? R→PQ (1) (3)P→QP (4)? R→QQ (2)(3) (5)? Q→RQ(4) (6)R→SP (7)? Q→SQ(5)(6) (8)Q∨SQ(7) 2.证明: (A-B)-C=(A∩~B)∩~C =A∩(~B∩~C) =A∩~(B∪C) =A-(B∪C) 3.证明: {? A∨B,? C→? B,C→D}蕴涵A→D (1)AD(附加) (2)? A∨BP (3)BQ (1) (2) (4)? C→? BP (5)B→CQ(4) (6)CQ(3)(5) (7)C→DP (8)DQ(6)(7) (9)A→DD (1)(8) 所以{? A∨B,? C→? B,C→D}蕴涵A→D. 5.证明: A-(A∩B) =A∩~(A∩B) =A∩(~A∪~B) =(A∩~A)∪(A∩~B) =? ∪(A∩~B) =(A∩~B) =A-B 而(A∪B)-B =(A∪B)∩~B =(A∩~B)∪(B∩~B) =(A∩~B)∪? =A-B 所以: A-(A∩B)=(A∪B)-B.
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