统计建模与R软件-第四讲-_精品文档.ppt
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第四章参数估计关于统计量的诱导关系:
关于统计量的诱导关系:
两个正态母体诱导的统计量:
两个正态母体诱导的统计量:
两个完全不同的正态分布母体诱导F分布具有相同方差的正态分布母体诱导t分布主要内容主要内容4.1矩法4.2极大似然估计4.3估计量的优良性准则4.4区间估计思想:
用样本矩去估计总体矩,总体矩与总体的参数有关,从而得到总体参数的估计。
设总体X的分布函数F(x;1m)中有m个未知参数,假设总体的m阶原点矩存在,n个样本x1xn,令总体的k阶原点矩等于样本的k阶原点矩,即4.14.1矩法矩法解此方程组得到则称为参数k的矩法估计量。
一阶,二阶矩法估计参数:
一阶,二阶矩法估计参数:
更一般的提法为:
利用样本的数字特征作为总体的数字特征的估计.例如:
无论总体服从什么分布,其均值和方差分别为:
解得均值与方差的矩法点估计:
设总体服从二项分布B(k;p);k,p为未知参数。
X1,x2,xn是总体X的一个样本,求参数k,p的矩估计。
M1是总体均值(一阶原点矩)M2是总体方差(二阶中心矩)解得:
RR实现实现:
(1):
(1)#N=20,p=0.7,试验次数n=100xm1113.84m214.8544#由解析计算给定结果:
N=m12/(m1-m2);N#121.31695p=(m1-m2)/m1;p#10.6492486RR实现实现:
(2):
(2)moment_fun-function(p)f-c(p1*p2-M1,p1*p2-p1*p22-M2)J-matrix(c(p2,p1,p2-p22,p1-2*p1*p2),nrow=2,byrow=T)list(f=f,J=J)牛顿法:
Newtons-function(fun,x,ep=1e-5,it_max=100)index-0;k-1while(k=it_max)x1-x;obj-fun(x);x-x-solve(obj$J,obj$f);norm-sqrt(x-x1)%*%(x-x1)if(normep)index-1;breakk-k+1obj-fun(x);list(root=x,it=k,index=index,FunVal=obj$f)#fun是列表,返回函数表达式和函数的Jacobi矩阵;x是迭代初值#初始化#把初值记下来#牛顿法:
x1=x0-J-1f#index是示性指标,如果等于1表示牛顿法解存在,否则没有解#函数返回一个列表:
根,迭代次数,示性指标,函数值主函数:
x-rbinom(100,20,0.7);n-length(x)M1-mean(x);M2-(n-1)/n*var(x)source(moment_fun.R);source(Newtons.R)p-c(10,0.5);Newtons(moment_fun,p)f,JNewtons-function(fun,x,ep=1e-5,it_max=100)index-0;k-1while(k=it_max)x1-x;obj-fun(x);x-x-solve(obj$J,obj$f);norm-sqrt(x-x1)%*%(x-x1)if(normep)index-1;breakk-k+1obj-fun(x);list(root=x,it=k,index=index,FunVal=obj$f)K0,p0$root120.91589830.6564385$it15极大似然法极大似然法定义1:
设总体X的概率密度函数或分布律为是未知参数,为来自总体X的样本,称为的似然函数(likelihoodfunction).定义2:
设总体X的概率密度函数或分布律为是未知参数,为来自总体X的样本,为的似然函数,若:
是一个统计量,且满足:
则称为的极大似然估计.1.1.似然函数关于似然函数关于连续连续极值条件,得:
似然方程。
独立同分布的样本,似然函数具有连乘的形式例子:
正态分布例子:
正态分布对数似然函数:
#multiroot()函数计算#e1=mu,e2=sigma,x=样本modelmean(x)10.1273094sum(x-mean(x)2)/1011.267102$root10.24807940.90770642.2.似然函数关于似然函数关于有间断点有间断点设总体X服从区间a;b的均匀分布,x=x1;xn为来自总体的一组样本,用极大似然估计法估计参数a;b。
似然函数为L(a;b,x)不是a;b的连续函数,其似然方程为:
不能求解从极大似然估计的定义出发来求L(a;b,x)的最大值,要使L达到最大,那么b-a应该尽可能的小,但是a不能大于min(x),b不能小于max(x),因此a;b的极大似然估计为:
3.3.是离散参数空间是离散参数空间一般地:
在鱼塘钓出r条鱼,做上记号,然后再钓出s条,发现有x条有标记第二次钓出的鱼的条数x服从超几何分布:
似然函数为L(N;x)=P(X=x)似然函数的比为:
将数字带入上式得池塘中鱼的总数为:
500*1000/72=6944例子:
例子:
在鱼塘捞出500条鱼,做上记号,然后再捞出1000条,发现有72条有标记,试估计鱼塘所有的鱼有多少?
4.4.在解似然方程时无法得到解析解,采用数值方法在解似然方程时无法得到解析解,采用数值方法设总体X服从Cauchy分布,其概率密度函数为:
其中为未知参数.X1,X2,Xn是总体X的样本,求极大似然估计.Cauchy分布的似然函数为:
求导求对数似然方程的解析解是困难的,考虑使用数值方法。
1.使用uniroot函数:
#参数为1的cauchy分布x=rcauchy(100,1)f-function(p)sum(x-p)/(1+(x-p)2)outout$root10.9020655$f.root11.800204e-072.使用optmize()函数x=rcauchy(100,1)loglikeoptimize(loglike,c(0,5)minimum=0.9021objective=254.4463exitflag=1#的近似解#-lnL(,x)的近似值$minimum11.03418$objective1239.4626matlab解#-lnL=min,则lnL=max,#optimize只能求最小,最大问题转化为负的最小问题关于二项分布的极大似然估计:
关于二项分布的极大似然估计:
matlab输出的极大似然估计数值解:
x=20.00000.7065fval=210.2846%matlabfunctionf=fg(sita)x=load(abc.txt);s=0;fori=1:
100s1=log(nchoosek(fix(sita
(1),x(i);s2=log(sita
(2)*x(i);s3=log(1-sita
(2)*(sita
(1)-x(i);s=s+s1+s2+s3;endf=-s;%matlab主函数:
x0=21,0.5A=0,1;0,-1;-1,0b=1;0;-20x,fval=fmincon(fg,x0,A,b)矩法估计值:
$root120.91589830.6564385$it15R实现:
实现:
obj=function(n)x-rbinom(100,20,0.7);m-length(x)f=-sum(log(choose(n1%/%1),x)-(log(n2)*sum(x)+log(1-n2)*(m*n1-sum(x)sita0=c(20,0.5)#初值constrOptim(sita0,obj,NULL,ui=rbind(c(0,-1),c(0,1),c(1,0),ci=c(-1,0,-20)R输出结果:
$par122.03402140.6179089$value1209.5277matlab输出的极大似然估计数值解:
x=20.00000.7065fval=210.2846结果对比区间估计:
区间估计:
设总体X的分布函数F(x,)含有未知参数,对于给定值(01),若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量,和满足:
则称随机区间是参数的置信度为1-的置信区间。
置信下限置信上限置信度越短越好3.13.1一个正态总体的情况一个正态总体的情况3.1.1均值的区间估计:
已知时:
参数的置信度为1-的双侧置信区间未知时:
参数的置信度为1-的双侧置信区间interval_estimate1-function(x,sigma=-1,alpha=0.05)n-length(x);xb=0)tmp-sigma/sqrt(n)*qnorm(1-alpha/2);df-nelsetmp-sd(x)/sqrt(n)*qt(1-alpha/2,n-1);df-n-1data.frame(mean=xb,df=df,a=xb-tmp,b=xb+tmp)#默认未知#函数返回一个数据框例子:
例子:
4.14某工厂生产的零件长度X被认为服从N(,0.04),现从该产品中随机抽取6个,其长度的测量值如下(单位:
mm):
试求该零件长度的置信系数为0.95的区间估计。
15.115.214.814.915.114.6source(interval_estimate1.R)x=c(14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1)interval_estimate1(x,sigma=0.2)meandfab14.95614.7899715.11003置信区间t.test(x):
OneSamplet-testdata:
xt=162.1555,df=5,p-value=1.692e-10alternativehypothesis:
truemeanisnotequalto095percentconfidenceinterval:
14.7130015.18700sampleestimates:
meanofx14.95假设:
H1拒绝H1(接受H0)的概率几乎所有的统计软件P-value都是这个意思当已知时:
3.1.23.1.2方差方差的区间估计的区间估计参数的置信度为1-的双侧置信区间当未知时:
参数的置信度为1-的双侧置信区间interval_var1-function(x,mu=Inf,alpha=0.05)n-length(x)if(muInf)S2-sum(x-mu)2)/n;df-nelseS2-var(x);df-n-1a-df*S2/qchisq(1-alpha/2,df)b-df*S2/qchisq(alpha/2,df)data.frame(var=S2,df=df,a=a,b=b)#默认未知,未知标志=inf#已知时,muInf#未知时,mu=Inf例例4.164.16:
用区间估计方法估计例4.15的测量误差2,分别对均值已知(=10)和均值未知两种情况进行讨论。
#输入数据,调用编好的程序x=c(10.1,10,9.8,10.5,9.7,10.1,9.9,10.2,10.3,9.9)interval_var1(x,mu=10)vardfab0.055100.026851300.1693885interval_var1(x)vardfab0.0583333390.027598510.19441644.3.24.3.2两个正态总体的情况两个正态总体的情况interval_estimate2-function(x,y,sigma=c(-1,-1),var.equal=FALSE,alpha=0.05)n1-length(x);n2-length(y)xb-mean(x);yb=0)#均值差1-2的区间估计(置信度为1-)tmp-qnorm(1-alpha/2)*sqrt(sigma12/n1+sigma22/n2)df-n1+n2elseif(var.equal=TRUE)Sw-(n1-1)*var(x)+(n2-1)*var(y)/(n1+n2-2)tmp-sqrt(
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- 统计 建模 软件 第四 精品 文档
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