华师大版初中数学七年级下册《913 三角形的三边关系》同步练习卷.docx
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华师大版初中数学七年级下册《913三角形的三边关系》同步练习卷
华师大新版七年级下学期《9.1.3三角形的三边关系》2019年同步练习卷
一.选择题(共1小题)
1.如图,△ABC的三边长均为整数,且周长为22,AM是边BC上的中线,△ABM的周长比△ACM的周长大2,则BC长的可能值有( )个.
A.4B.5C.6D.7
二.填空题(共2小题)
2.若一个三角形的三边长分别是m+2,10,2m﹣1,则m的取值范围为 .
3.如果三角形的两边长分别是3和7,那么第三边的长应大于 ,而小于 ,如果这个三角形中有两条边相等,那么它的周长是 .
三.解答题(共47小题)
4.一个四边形的周长为48cm,已知第一条边长acm,第二条边比第一条边的2倍长3cm,第三条边等于第一,第二两条边的和.
(1)求出表示第四条边长的式子;
(2)当a=3cm时,还能得到四边形吗?
请简要说明理由.
5.“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数(单位:
分米)的不同规格的三角形木框.
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有 种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元╱分米,问至少需要多少钱购买材料?
(忽略接头)
6.已知a、b、c分别为△ABC的三边,你能判断(a2+b2﹣c2)2﹣4a2b2的符号吗?
并说明理由.
7.用一条长18cm的铁丝围成一个三角形,其中三边长分别为4cm,xcm,ycm,且有两边相等,求x,y的值.
8.一个三角形的两条边相等,周长为18cm,三角形一边长4cm,求其它两边长?
9.已知△ABC三边长都是整数且互不相等,它的周长为12,当BC为最大边时,求△ABC三边长.
10.如图,在△ABC中,∠1=∠2,点E、F、G分别在BC、AB、AC上.
(1)若在△BCD中,BC=5,BD=4,设CD的长为奇数,则CD的取值是 ;
(2)若EF⊥AB,DG∥BC,请判断CD与AB的位置关系,并说明理由.
11.如图,在△BCD中,BC=4,BD=5,
(1)若设CD的长为奇数,则CD的取值是 ;
(2)若AE∥BD,∠A=55°,∠BDE=125°,求∠C的度数.
12.a,b,c分别为△ABC的三边,且满足a+b=3c﹣2,a﹣b=2c﹣6.
(1)求c的取值范围;
(2)若△ABC的周长为18,求c的值.
13.一个三角形的两边长为3和5,
(1)求它的第三边a的取值范围;
(2)求它的周长L的取值范围;
(3)若周长为偶数,求三角形的第三边长.
14.已知a,b,c是三角形的三边长.
(1)化简:
|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|;
(2)在
(1)的条件下,若a=5,b=4,c=3,求这个式子的值.
15.小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地,用于饲养鸡,已知第一条边长为m米,由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米.
①用含m的式子表示第三条边长;
②第一条边长能否为10米?
为什么?
③若第一条边长最短,求m的取值范围.
16.如图,已知△ABC.
(1)若AB=4,AC=5,则BC边的取值范围是 ;
(2)点D为BC延长线上一点,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E,若∠E=55°,∠ACD=125°,求∠B的度数.
17.已知,a,b,c为△ABC的三边,化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|.
18.已知a、b、c是三角形三边长,化简:
|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|﹣|b+c﹣a|.
19.已知△ABC三边长都是整数且互不相等,它的周长为12,当BC为最大边时,求∠A的度数.
20.在△ABC中,AB=AC,AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分,求三角形三边的长.
21.已知△ABC三边长是a、b、c,试化简代数式|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|.
22.将长度为24的一根铝丝折成各边均为正整数的三角形,这个三角形的三边分别记为a、b、c,且a≤b≤c,请尽可能地写出满足题意的a、b、c.
23.已知△ABC的三边长均为整数,△ABC的周长为奇数.
(1)若AC=8,BC=2,求AB的长;
(2)若AC﹣BC=5,求AB的最小值.
24.一个不等边三角形的边长都是整数,且周长是12,这样的三角形共有多少个?
25.小颖要制作一个三角形木架,现有两根长度为8m和5m的木棒.如果要求第三根木棒的长度是整数,小颖有几种选法?
第三根木棒的长度可以是多少?
26.已知三角形的三边长分别是x,x﹣1,x+1.求x的取值范围.
27.设a、b、c是△ABC的三边,化简:
|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|+|b﹣c+a|.
28.若三个互不相等的数:
5、3、a能作为一个三角形的三边长,求a的取值范围.
29.如图所示,已知O是△ABC内的一点,是说明OA+OB+OC与AB+BC+CA之间的大小关系.
30.已知a、b、c分别为△ABC的三边长,化简|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|.
31.如图所示,P是△ABC内一点,连接PB、PC,试比较PB+PC与AB+AC的大小.
32.
(1)下面两图是分别用三根、五根火材搭成的三角形,那么用九根火材你能搭成几种不同的三角形,画出示意图,并写出三角形的类型.
(2)将一个正方形剖分成d个小正方形称为该正方形的d阶正方形剖分(注意:
不要求分出的正方形大小一定要一样),如下面两图是一个正方形的4阶剖分(即d=4)、8阶剖分(即d=8),请你在另两个正方形中画出d=6和d=7的图形.
33.已知△ABC有两边的长分别为3和7,第三边的长是关于x的方程
解,求a的取值范围.
34.如图,已知线段AD是△ABC的中线,且AB=6,AD=4,AC边长为奇数.求边AC的长.
35.有人说,自己的步子大,一步能走三米多,你相信吗?
用你学过的数学知识说明理由.
36.如图,D,E是△ABC内两点,求证:
AB+AC>BD+DE+CE.
37.如图,点P是△ABC内任意一点,试说明PB+PC<AB+AC.
38.小明家与学校相距2千米,与少年宫相距3千米,那么学校与少年宫相距一定是5千米吗?
请说明理由.
39.将长度为2n(n为不小于4的自然数)的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形.把三边长分别为α、b、c且满足a≤b≤c的三角形简记为数组(a,b,c)如当n=4时,有(2,3,3).
(1)就n=5、6的情况.分别写出所有满足题意的(α,b,c).
(2)根据前面的结果猜想:
当铅丝的长度为2n(n为不小于4的自然数)时.对应(a,b,c)的个数是 .为了检验这个的猜想是否正确,请分别写出当n=8、10时所有的(a,b,c),并判断这个猜想 (选填“正确”或“不正确”)
40.想一想,下面各题的三条线段能组成三角形吗?
如果能,会组成什么样的三角形?
(1)6cm,9cm,5cm;
(2)6cm,8cm,10cm;
(3)5cm,7cm,5cm;
(4)12cm,3cm,7cm.
41.某海军在南海某海域进行实战演习,小岛A的周围方圆12km内的区域为危险区域,有一艘渔船误入离A地7km的B处(如图),为了尽快驶离危险区域,该船应沿哪条射线方向航行?
为什么?
42.已知:
如图,在△ABC中有D、E两点,求证:
BD+DE+EC<AB+AC.
43.用长度相等的100根火柴,摆放成一个三角形,使最大边的长度是最小边长度的3倍,求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数.
44.有四个村庄(点)A、B、C、D,要建一所学校P,使PA+PB+PC+PD最小.画图说明P在哪里.
45.①设△ABC的三边分别为a、b、c,试证明:
a<
(a+b+c)
②设四边形的四边长依次为a、b、c、d,两条对角线分别为e、f,证明:
e+f>
(a+b+c+d)
46.小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等,你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它?
47.从1,2,3,…,2004中任选K﹣1个数中,一定可以找到能构成三角形边长的三个数(这里要求三角形三边长互不相等),试问满足条件的K的最小值是多少?
48.如图,四个工厂A、B、C、D,试找一个供应站M,使它到四个工厂的距离之和为最小.
49.现有长为150cm的铁丝,要截成n(n>2)小段,每段的长为不小于1(cm)的整数.如果其中任意3小段都不能拼成三角形,试求n的最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段.
50.已知三角形的一边是另一边的3倍,求证:
三角形的最小边在周长的
与
之间.
华师大新版七年级下学期《9.1.3三角形的三边关系》2019年同步练习卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共1小题)
1.如图,△ABC的三边长均为整数,且周长为22,AM是边BC上的中线,△ABM的周长比△ACM的周长大2,则BC长的可能值有( )个.
A.4B.5C.6D.7
【分析】依据△ABC的周长为22,△ABM的周长比△ACM的周长大2,可得2<BC<11,再根据△ABC的三边长均为整数,即可得到BC=4,6,8,10.
【解答】解:
∵△ABC的周长为22,△ABM的周长比△ACM的周长大2,
∴2<BC<22﹣BC,
解得2<BC<11,
又∵△ABC的三边长均为整数,△ABM的周长比△ACM的周长大2,
∴AC=
为整数,
∴BC边长为偶数,
∴BC=4,6,8,10,
故选:
A.
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用,解题时注意:
三角形两边之和大于第三边,三角形的两边差小于第三边.
二.填空题(共2小题)
2.若一个三角形的三边长分别是m+2,10,2m﹣1,则m的取值范围为 3<m<13 .
【分析】根据在三角形中,“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”列不等式组求解.
【解答】解:
根据三角形的三边关系,得
即
,
解不等式组得,3<m<13.
【点评】本题利用了三角形中三边的关系求解,同时还要能够熟练解不等式组.
3.如果三角形的两边长分别是3和7,那么第三边的长应大于 4 ,而小于 10 ,如果这个三角形中有两条边相等,那么它的周长是 17 .
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.即可求解.
【解答】解:
第三边的取值范围是大于4而小于10;
如果三角形中,有两边相等,则分情况讨论:
当三边是3,3,7时,3+3<7,不符合三角形的三边关系,舍去;
当三角形的三边是3,7,7时,符合,此时周长是17.
【点评】考查了三角形的三边关系.注意等腰三角形的时候,一定要分情况讨论.
三.解答题(共47小题)
4.一个四边形的周长为48cm,已知第一条边长acm,第二条边比第一条边的2倍长3cm,第三条边等于第一,第二两条边的和.
(1)求出表示第四条边长的式子;
(2)当a=3cm时,还能得到四边形吗?
请简要说明理由.
【分析】
(1)由四边形的周长是四条边的和,首先表示出第二条边长为(2a+3)cm,第三条边为(a+2a+3)cm,即可得到第四边的长;
(2)利用组成四边形的线段的条件,即可得到.
【解答】解:
(1)∵第一条边长是acm,依题意得:
第二条边长为(2a+3)cm,第三条边为(a+2a+3)cm,
又四边形的周长是48cm,
∴第四条边长为:
48﹣a﹣(2a+3)﹣(3a+3),
=48﹣a﹣2a﹣3﹣3a﹣3,
=42﹣6a(cm);
(2)当a=3时,四条边的边长分别为3,9,12,24,因为3+9+12=24.不是四边形.是四条在同一条直线上的线段.
【点评】本题考查了列代数式,代数式的值,构成四边形的关系,合并同类项法则的运用.
5.“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数(单位:
分米)的不同规格的三角形木框.
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有 3 种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元╱分米,问至少需要多少钱购买材料?
(忽略接头)
【分析】
(1)根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,确定第三边的取值范围,从而确定符合条件的三角形的个数.
(2)求出各三角形的周长的和,再乘以售价为8元╱分米,可求其所需钱数.
【解答】解:
(1)三角形的第三边x满足:
7﹣3<x<3+7,即4<x<10.因为第三边又为奇数,因而第三边可以为5、7或9.故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种.
(2)制作这种木框的木条的长为:
3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米),
∴51×8=408(元).
答:
至少需要408元购买材料.
【点评】本题主要考查三角形三边关系的应用,注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
6.已知a、b、c分别为△ABC的三边,你能判断(a2+b2﹣c2)2﹣4a2b2的符号吗?
并说明理由.
【分析】理由公式法因式分解即可解决问题;
【解答】解:
(a2+b2﹣c2)2﹣4a2b2=(a2+b2﹣c2+2ab)(a2+b2﹣c2﹣2ab)
=[(a+b)2﹣c2][(a﹣b)2﹣c2]
=(a+b+c)(a+b﹣c)(a﹣b+c)(a﹣b﹣c)
∵a+b+c>0,a+b﹣c>0,a﹣b+c>0,a﹣b﹣c<0,
∴(a2+b2﹣c2)2﹣4a2b2<0
【点评】本题考查三角形的三边关系、平方差公式、完全平方公式等知识,解题的关键是熟练掌握因式分解,属于中考常考题型.
7.用一条长18cm的铁丝围成一个三角形,其中三边长分别为4cm,xcm,ycm,且有两边相等,求x,y的值.
【分析】根据三角形的三边关系即可解决问题;
【解答】解:
①当x=4时,y=18﹣8=10,4+4<10,不能构成三角形,不符合题意;
②当y=4时,x=18﹣8=10,4+4<10,不能构成三角形,不符合题意;
③当x=y时,x=y=14÷2=7,符合题意,
∴x=y=7.
【点评】本题考查三角形的三边关系,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
8.一个三角形的两条边相等,周长为18cm,三角形一边长4cm,求其它两边长?
【分析】分两种情形讨论求解即可:
①若4cm为底边.②若4cm为腰长;
【解答】解:
①若4cm为底边,则另外两边均为
(18﹣4)=7厘米;
②若4cm为腰长,则另一腰为4厘米,底边为18﹣4×2=10厘米
∵4+4<10,
∴此时不能构成三角形,舍去.
因此其他两边的长分别为7cm、7cm.
【点评】本题考查三角形的三边关系,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
9.已知△ABC三边长都是整数且互不相等,它的周长为12,当BC为最大边时,求△ABC三边长.
【分析】首先设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c,则a+b+c=12;然后根据△ABC三边长都是整数且互不相等,判断出△ABC三边长.
【解答】解:
根据题意,设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c,
则a+b+c=12;
∵BC为最大边,
∴a最大,
又∵b+c>a,
∴a<6,
∵△ABC三边长都是整数,
∴a=5,
又∵△ABC三边长互不相等,
∴其他两边分别为3,4,
∴三角形的三边长为AB=4,BC=5,AC=3或AB=3,BC=5,AC=4.
【点评】此题主要考查了三角形三边的关系,以及勾股定理的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
(1)三角形三边关系定理:
三角形两边之和大于第三边.
(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.(3)三角形的两边差小于第三边.
10.如图,在△ABC中,∠1=∠2,点E、F、G分别在BC、AB、AC上.
(1)若在△BCD中,BC=5,BD=4,设CD的长为奇数,则CD的取值是 3,5,7 ;
(2)若EF⊥AB,DG∥BC,请判断CD与AB的位置关系,并说明理由.
【分析】
(1)根据三角形三边关系定理求出CD取值范围,再根据CD的长为奇数即可得出CD的取值;
(2)由平行线的性质和已知条件可证明CD∥EF,可求得∠CDB=90°,可判断CD⊥AB.
【解答】解:
(1)∵在△BCD中,BC=5,BD=4,
∴1<CD<9,
∵CD的长为奇数,
∴CD的取值是3,5,7.
故答案为3,5,7;
(2)CD⊥AB.理由如下:
∴DG∥BC,
∴∠1=∠DCB,
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠DCB,
∴CD∥EF,
∴∠CDB=∠EFB,
∵EF⊥AB,
∴∠EFB=90°,
∴∠CDB=90°,
∴CD⊥AB.
【点评】本题考查了三角形三边关系定理,平行线的性质和判定,掌握定理与性质是解题的关键.
11.如图,在△BCD中,BC=4,BD=5,
(1)若设CD的长为奇数,则CD的取值是 3或5或7 ;
(2)若AE∥BD,∠A=55°,∠BDE=125°,求∠C的度数.
【分析】
(1)利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可;
(2)利用平行线的性质得出∠AEC的度数,再利用三角形内角和定理得出答案.
【解答】解:
(1)∵在△BCD中,BC=4,BD=5,
∴1<DC<9;
∵CD的长为奇数,
∴CD的值为3或5或7;
故答案为:
3或5或7;
(2)∵AE∥BD,∠BDE=125°,
∴∠AEC=55°,
又∵∠A=55°,
∴∠C=70°.
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质,得出∠AEC的度数是解题关键.
12.a,b,c分别为△ABC的三边,且满足a+b=3c﹣2,a﹣b=2c﹣6.
(1)求c的取值范围;
(2)若△ABC的周长为18,求c的值.
【分析】
(1)根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c﹣2>c,任意两边之差小于第三边得出|2c﹣6|<c,列不等式组求解即可;
(2)由△ABC的周长为18,a+b=3c﹣2,4c﹣2=18,解方程得出答案即可.
【解答】解:
(1)∵a,b,c分别为△ABC的三边,a+b=3c﹣2,a﹣b=2c﹣6,
∴
,
解得:
2<c<6;
(2)∵△ABC的周长为18,a+b=3c﹣2,
∴a+b+c=4c﹣2=18,
解得c=5.
【点评】此题考查三角形的三边关系,利用三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,建立不等式解决问题.
13.一个三角形的两边长为3和5,
(1)求它的第三边a的取值范围;
(2)求它的周长L的取值范围;
(3)若周长为偶数,求三角形的第三边长.
【分析】根据三角形的三边关系定理可得第三边的范围是:
大于已知的两边的差,而小于两边的和.再根据范围确定a的值.
【解答】解:
(1)根据三角形的三边关系可得5﹣3<a<5+3,
即:
2<a<8,
(2)∵第三边a的取值范围为2<a<8,
∴它的周长L的取值范围2+3+5<L<5+3+8
即10<L<16;
(3)∵第三边a的取值范围为2<a<8,
周长为偶数,
∴第三边的长为4或6.
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件.注意:
用两条较短的线段相加,如果大于最长那条就能够组成三角形.
14.已知a,b,c是三角形的三边长.
(1)化简:
|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|;
(2)在
(1)的条件下,若a=5,b=4,c=3,求这个式子的值.
【分析】
(1)根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c,b﹣c﹣a及c﹣a﹣b的符号,再根据绝对值的性质化简;
(2)将a=5,b=4,c=3代入计算即可.
【解答】解:
(1)∵a、b、c是三角形的三边长,
∴a﹣b﹣c<0,b﹣c﹣a<0,c﹣a﹣b<0,
∴原式=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b
=a+b+c;
(2)当a=5,b=4,c=3时,
原式=5+4+3=12.
【点评】本题考查的是三角形的三边关系以及绝对值的性质的运用,熟知三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是解答此题的关键.
15.小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地,用于饲养鸡,已知第一条边长为m米,由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米.
①用含m的式子表示第三条边长;
②第一条边长能否为10米?
为什么?
③若第一条边长最短,求m的取值范围.
【分析】
(1)本题需先表示出第二条边长,即可得出第三条边长;
(2)当m=10时,三边长分别为10,28,12,根据三角形三边关系即可作出判断;
(3)根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组,即可求出m的取值范围.
【解答】解:
(1)∵第二条边长为(3m﹣2)米,
∴第三条边长为50﹣m﹣(3m﹣2)=(52﹣4m)米;
(2)当m=10时,三边长分别为10,28,12,
由于10+12<28,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为10米;
(3)由题意,得
,
解得
<m<9.
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用,在解题时根据三角形的三边关系,列出不等式组是本题的关键.
16.如图,已知△ABC.
(1)若AB=4,AC=5,则BC边的取值范围是 1<BC<9 ;
(2)点D为BC延长线上一点,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E,若∠E=55°,∠ACD=125°,求∠B的度数.
【分析】
(1)利用三角形的三边关系确定第三边的取值范围即可;
(2)首先利用平行线的性质确定∠EDB的度数,然后利用三角形内角和定理确定∠B的度数即可.
【解答】解:
(1)∵AB=4,AC=5,
∴5﹣4<BC<4+5,
即1<BC<9,
故答案为:
1<BC<9;
(2)∵∠ACD=125°,
∴∠ACB=180°﹣∠ACD=55°,
∵DE∥AC,
∴∠BDE=∠ACB=55°.
∵∠E=55°,
∴∠B=180°﹣∠E﹣∠BDE=180°﹣55°﹣55°=70°.
【点评】本题考查了三角形的三边关系及平行线的性质,解题的关键是能够了解三角形的三边关系及两直线平行同位角相等的知识,难度不大.
17.已知,a,b,c为△ABC的三边,化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|.
【分析】根据三角形三边关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,来判定绝对值里的式子的正负值,然后去绝对值进行计算即可.
【解答】解:
|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|
=﹣(a﹣b﹣c)+2(b﹣c﹣a)+(a+b﹣c)
=﹣a+b+c+2b﹣2c﹣2a+a+b﹣c
=﹣2a+4b﹣2c.
【点评】此题主要考查了三角形三边关系,以及绝对值的性质,关键是掌握三边关系定理.
18.已知a、b、c是三角形三边长,化简:
|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|﹣|b+c﹣a|.
【分析】根据三角形三边关系得到a+b﹣c>0,a﹣c﹣b<0,b+c﹣a>0,再去绝对值,合并同类项即可求解.
【解答】解:
∵a,b,c是一个三角形的三条边长,
∴a+b﹣c>0,a﹣c﹣b<0,b+c﹣a>0,
∴|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|﹣|b+c﹣a|
=a+b﹣c﹣a+c+b﹣b﹣c+a
=a+b﹣c.
【点评】考查了三角形三边关系,绝对值的性质,整
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- 913 三角形的三边关系 华师大版初中数学七年级下册913 三角形的三边关系同步练习卷 师大 初中 数学 年级 下册 913 三角形 三边 关系 同步 练习