4年级奥数培优讲义21统筹与规划难版.docx
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4年级奥数培优讲义21统筹与规划难版
第21讲
统筹与规划
知识梳理
在我国古代,人们就知道:
“运筹于惟幄之中,决胜于千里之外。
”现代人以此来说明正确地制定策略、策划、统筹安排的重要作用。
只有掌握了最优化的思想,合理统筹安排操作程序,才能够提高效率,节省人力、物力、时间,争取获得最好的结果。
这种思想还可以使我们养成遇事爱动脑筋,做事合理安排的良好习惯。
在这一章节中我们将通过对一些例题的介绍,使大家熟悉如何合理统筹安排。
典型例题
【例1】★车间里有一批16米长的原材料,现在要截成6米长的毛坯40根,4米长的毛坯36根,试设计最省料的下料方案。
问要几根原材料?
【解析】先找到把16米的原材料截成6米和4米两种毛坯的不同方法。
然后从中找到最优的方案。
16米原材料下料方法如下表:
要使原材料不出现浪费,截取原材料的方法应从第一种和第三种方法中选取。
由于第三种方法中只能得到一种4米的毛坯,因此应先采用第一种方法,截取20根原材料,这时得到6米的毛坯40根,4米的毛坯20根。
那么还需得到4米的毛坯36-20=16(根),这16根4米的毛坯采用方法三,需要原材料16÷4=4(根)。
这样正好满足题目的要求。
解答过程:
欲使原材料不浪费,截取16米原材料的方法有两种:
方法一:
截成2根6米的毛坯和1根4米的毛坯。
方法二:
截成4根4米的毛坯。
先按方法一截20根原材料,得到40根6米毛坯和20根4米毛坯。
再按方法二截4根原材料,得16根4米毛坯。
可满足题中条件,共需20+4=24(根)原材料。
【例2】★在火炉上烤烧饼,烤好一个烧饼需要4分钟,每烤完一面需要2分钟,炉上只能同时烤2个饼,现在需烤201个烧饼,至少需要多长时间?
【解析】烤一个烧饼,每一面需要2分钟,两张饼有4个面,共需8分钟,而一个炉上可以同时放2个饼,则可节约一半的时间,那么烤两个饼需8÷2=4(分钟)。
现考虑烤三张饼的情况,为了充分利用炉子,不至出现浪费的情况,可以这样安排,先把两张饼放进去,2分钟后把一个翻面,另一个取出,再放一张新的进去,再过2分钟后,取出熟的;把原来取出的放回,并把炉里的翻面再烤2分钟即可,那么烤三张饼需至少2+2+2=6(分钟)。
要烤201张饼,由于201是奇数,可以将它们分成两个饼为一组的和三个饼为一组地分别按照两种烤法进行。
解答过程:
将201张饼,分成2个饼为一组,共有(201-3)÷2=99(组),共需4×99=396(分钟)。
剩下的三个饼为一组,在这组中先将前2个放进去,2分钟后将一个翻面,另一个取出,放入新的,再过两分钟后,将熟的取出,把另外两个翻面后放入,再过2分钟后烤好。
这样总共用了396+6=402(分钟)。
【小试牛刀】《小学生数学报》数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面,如果烙熟一块饼的正、反面,各用去3分钟,那么用一次可容下2块饼的锅来烙2007块饼,至少需要多少分钟?
【解析】先将两块饼同时放人锅内一起烙,3分钟后两块饼都熟了一面,这时取出一块,第二块翻个身,再放人第三块,又烙了3分钟,第二块烙熟取出,第三块翻个身,再将第一块放入烙另一面,再烙3分钟,锅内两块饼均烙熟.这样烙3块饼,用去9分钟,所以烙2007块饼,至少用2007÷3×9=6021(分钟).这种方法保证了所有时间段都能充分地利用锅,不造成浪费.因此这种方法是用时最短的.
【例3】★★如图1是一个物资调运问题。
A、B、C、D是产地,E、F、G、M、N是销地,产销量(吨)及距离(公里)数如图所注,试作一个吨公里总数最小的调运方案。
【解析】欲满足吨公里总数最小的目的,那么从产地运出的货物要优先地并尽可能多地运往最近的销地。
A地只能将30吨货运往E地,则E地还可销60-30=30(吨)货。
B地将全部20吨货运往F地,则F地还可销40-20=20(吨)货。
C地可将其中的20吨货运到G地,那么C地还剩50吨货。
G地销量已满。
D地可将其中的30吨货运往N地,那么D地还剩90吨货,而N地销量已满。
此时产销情况如图2所示。
从图2中可以提出运往F地的20吨货物若从C地来,则路程大于从D地运来。
那么D地其中有20吨货运往F地。
因此C地50吨货全部运往M地。
M地还可销90-50=40(吨)货。
D地剩下的90-20=70(吨)货,其中40吨运往M地,30吨运往E地。
调运方案如图3所示:
【小试牛刀】在图中,每个数表示走这段路所需要的时间(单位:
分钟).求A到B的最短时间.
【解析】用“标数法”标出时间最小值。
我们可以在每条能通往B点的途径中标出所需的时间,最后找到最短时间,如图所示:
从图中可以看出有三种较近的走法:
(1)A→C→M→D→E→B
(2)A→O→P→N→F→B
(3)A→O→P→H→E→B
比较得第(3)种时间最短.
18+7+10+9+10=54(分钟)答:
A到B的最短时间是54分钟
【例4】★★有2001名学生分散在一条公路上义务宣传环境保护,问活动结束后应该在公路的什么地点集合,可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最短?
【解析】一下子考虑2001个人的情况很难入手。
那我们先从2个人的情况考虑起,设2个人宣传岗位分别为
,易知集合地点选在
点或
点或者
之间的任何一个地点都可以。
因为选在这些点时,两个人走过的路程总和都是
。
当有3个人时,则集合地点应该选在中点的人所在地
,
。
因为若集合地点选在
之间的B点,那时3个人所走的路程总和是
;若集合地点选在
之间的C点,那时3人所走的路程总和是
。
只有当集合地点选在
点时,3个人所走的路程总和为
,显然小于选在B点、C点时的路程。
当有4个人时,
对于
、
岗位上的人来说,集合地点无论选在
之间的任何位置,他们的路程和都是
。
那么集会地点应由
、
来决定,这时问题转化为“只有2个人时的情况”。
根据前面得到的结论,集合地点应选在
、
或者
之间的任何地点。
当有5个人时,类似地可将问题看作“有3个人”的情况,由前面得出的结论可知、集合地点应选在
点。
由前面的分析,可以得出这样一个规律:
当有偶数个人时,集合地点选在中间两个人或他们之间的任何地点。
当有奇数个人时,集合地点应选在正中间那个人的位置。
解答过程:
因为2001=2×1000+1,有奇数个人,所以集合地点应选在从某一端数起第1000+1=1001个人的位置。
【例5】★A、B、C、D四位同学分别拿着5、3、4、2个暖瓶去打开水,热水龙头只有一个,怎么安排他们打水的顺序,才使他们打完水所花的总时间(含排队、打水的时间)最少?
假如打满一瓶水需1分钟,那么打水的总时间是多少分钟?
【解析】按占用时间由少到多的顺序安排四个人为:
D、B、C、A。
等候时间:
D打水时4个人等候,为2×4;B打水时3个人等候,为3×3;C打水时2个人等候,为4×2;A打水时1个人等候,为5×1。
总共等候:
2×4+3×3+4×2+5×1=30(分钟)
答:
四人打水顺序安排如下:
D、B、C、A,总共需花费30分钟。
【小试牛刀】★★6个人各拿一只水桶到水龙头接水,注满6个人的水桶所用时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。
现在如果有甲、乙两个水龙头可用,怎么安排这6个人打水,才能使他们等候的总时间最短,最短时间是多少?
【解析】只有一个水龙头时应该把所需时间最短的尽量安排在前边,例如应该最先安排需3分钟的那个人,这样后面的5个人和他自己都等了3分钟.依此类推,以下安排4,5,6,7,10,很容易计算出等候的总时间是3×6+4×5+5×4+6×3+7×2+10=100(分)
现在来看看两个水龙头的情况.由刚才的分析我们可以看出为使总的等待时间尽量短,应让打水所需时间少的任先打.安排需3分钟的、5分钟的和7分钟的依次在甲水龙头打;安排需4分钟的、6分钟的和10分钟的在乙水龙头打;在甲水龙头需3分钟的任打水时,有2人在等待,占3任的时间和为(3×3)分;接着,需5分钟的人打水,有1人等待,占用两人的时间和为(5×2)分;最后,需7分钟的人打水,只有他自己等待.甲水龙头打水的3个人,共用(3×3+5×2+7)分,乙水龙头的3人,共用(4×3+6×2+10)分.总的占用时间为(3×3+5×2+7)+(4×3+6×2+10)=60(分)。
【例6】★★★北京和上海分别制成了同一型号的电子计算机若干台.除本地应用外,北京可以支援外地10台,上海可以支援外地4台.现在决定给重庆8台、汉口6台.若每台计算机的运费如表(单位:
元),应该如何调运,才能使总的运费最省?
【解析】如果上海有1台运往汉口,那么将它改运重庆,运费增加500-300=200元,但这时北京将1台运往重庆的改运汉口,运费减少800-400=400(元).总运费减少400-200=200(元).因此,应将上海4台全运往重庆,北京运4台到重庆,6台到汉口,总运费为500×4+800×4+400×6=7600(元).
【小试牛刀】A、B两地各有10万吨煤和5万吨煤可供外运.现上海需8万吨,南京需7万吨.A地到南京和上海的运费分别是每吨0.6元和0.8元,B地到南京和上海的运费分别是每吨0.5元和0.7元.问怎样调运使运费最省?
【解析】0.8+0.5=0.7+0.6,无论B的煤运往上海还是南京(其余的A补足),总运费都是一祥的.
【例7】★★在一条公路上每隔100千米,有一个仓库(如图)共有5个仓库,一号仓库存有10吨货物,二号仓库有20吨货物,五号仓库存有40吨货物,其余两个仓库是空的.现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输1公里需要
元运输费,那么最少要多少运费才行?
【解析】做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠”的原则进行判断,观察可知五号仓的最大,所以先把一号仓库的10吨货物往五号方向靠拢,先集中到二号仓库,那么现在二号仓库中就有30吨货物了.再根据“小往大处靠”的原则,那么这30吨货物应该集中到五号仓库中.
所以所需的费用是:
(元),
(元),共需要:
(元).
【小试牛刀】(人大附中分班考试题)在一条公路上,每隔10千米有一座仓库(如图),共有五座,图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输1千米需要运费
元,那么集中到哪个仓库运费最少?
【解析】这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决.E点60吨,存的货物最多,那么先处理小势力,A往E那个方向集中,集中到B,B变成40吨,判断仍是E的势力最大,所以继续向E方向集中,B点集中到C点,C点变成60吨.此时C点和E点都是60吨,那么C、E谁看成大势力都可以.例如把E点集中到D点,D点是70吨.所以C点也要集中到D点.确定了集中地点,运输费用也就容易求了.运费最少为:
(元).
【例8】★★一个物流港有6个货站,用4辆同样的载重汽车经过这6个货站组织循环运输.每个货站所需要的装卸工人数如下图.为了节省人力,可安排流动的装卸工随车到任何一个货站装卸.在最优的安排下使物流港装卸工总人数最少,则是人.
【解析】如果每辆车配4人,此时共有装卸工
人,
如果每辆车配5人,此时共有装卸工
人,
如果每辆车配6人,此时共有装卸工
人,
如上我们发现人数是越来越多的,23小于24小于26,故最少23人.
【小试牛刀】一个工厂有7个车间,分散在一条环形铁路上,三列火车循环运输产品.每个车间装卸货物所需工人数为25、18、27、10、20、15、30.若改为部分工人跟车,部分工人固定在车间,那么安排多少名装卸工,所用总人数最合理?
【解析】如果车上不跟人,各车间所需人数和为:
(人),
如果每列车上跟1人,共多3人;每个车间可少1人,共少7人,多3少7,可减少4人.
每列车上跟10人,总人数可减少40人.
从11至15,列车上每增加1人,总人数可减少3人.
从16至18,列车上每增加1人,总人数可减少2人.
从19至20,列车上每增加1人,总人数可减少1人.
21增3减3无意义.
总人数为
(人)最少.
【例9】★★★有十个村.坐落在从县城出发的一条公路上〔如图,距离单位是千米).要安装水管,从县城送自来水供给各村可以用粗、细两种水管.粗管足够供应所有各村用水,细管只能供一个村用水.粗管每千米要用8000元,细管每千米要用2000元.把粗管和细管适当搭配、互相连接,可以降低工程的总费用,按你认为最节约办法,费用应是多少?
【解析】∵8000÷2000-1=3∴最后三个村用细管,前面几个村用粗管.(30+5+2+4+2+3+2)×8000+2×3×2000+2×2×2000+5×2000=414000(元)
答:
最节约的办法,费用是414000元.
课后作业
1.小明每天早晨起床后要做如下事情:
洗漱用5分钟,收拾床褥用4分钟,听广播15分钟,吃早饭8分钟。
要完成这些事情,小明至少要花费多长时间?
【解析】洗漱、收拾床褥、吃早饭这三件事需要逐一去完成,它们与听广播没有先后顺序,因此可同时进行。
由于做前面的三件事共需5+4+8=17(分钟),大于听广播的时间,因此要完成这些事情小明至少需要17分钟。
2.把187吨货物从A地运往B地,大卡车的载重量是5吨,小卡车的载重量是2吨,大卡车和小卡车每次的耗油量分别是10升和5升。
如何选派车辆才能使运输耗油量最少?
这时共需耗油多少升?
【解析】大卡车载重量5吨,每次的耗油量是10升,相当于每吨耗油10÷5=2(升);小卡车载重量2吨,每次耗油量是5升,相当于每吨耗油5÷2=2.5(升)。
由此可知要尽量使用大卡车才能减少耗油量,187÷5=37……2,因此派37辆大卡车,和1辆小卡车。
需耗油:
37×10+l×5=375(升)
答:
派37辆大卡车和1辆小卡车可使耗油量最少,耗油量为375升。
3..某食堂用一只平底锅烙饼,每次能同时放4个饼,烙好一个饼需要6分钟(每面各需3分钟),那么烙好50个饼至少需要多长时间?
【解析】若只烙4个饼,显然只需要6分钟;若要烙6个饼,先将饼分成3对。
将前2对饼先放进去,3分钟后将第1对翻面,将第2对取出,放入第3对,再过3分钟后,将熟的取出,将余下的2对翻面后放入,再过3分钟后即可。
那么烙6张饼需3+3+3=9(分钟)。
因为50=6+4×ll,烙前6个饼需9分钟,烙后面的44个饼,每4个饼需要6分钟。
总共用时:
9+6×ll=75(分钟)
答:
烙好50个饼至少需要75分钟。
4.(第一届“华杯赛”初赛试题)妈妈让小明给客人烧水沏茶,洗水壶要用1分钟,烧开水要用15分钟,洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,拿茶叶要用2分钟,小明估算一下,完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶,按你认为最合理的安排多少分钟就能沏茶了?
【解析】如图所示:
将洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶三件事与浇开水同时进行,比小明的估算节约了4分钟.即只用1+15=16(分).
答:
最少16分钟就可以沏茶了.
5.5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水,他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟。
如果只有一个水龙头,试问怎样安排他们的打水顺序,才能使每个人排队和打水时间的总和最少?
并求出最小值。
【解析】5个人排队一共有5×4×3×2×1=20(种)顺序,把所有情形的时间总和都计算出来,就太繁琐了,凭直觉、应该把打水时间少的人排在前面,大家等待所费的总时间会省些.如果打水时间需1分钟的人、前面有一个人,打水时间为a(a>1分钟,那么(暂不管其他的人)这两个人排队、打水的总时间是a+(1+a)=a+l+a(分).而将这两个人顺序交换一下,总时间变为1+(1+a)=1+1+a(分).显然后者比前者少.由于这两个人顺序交换对其他人没有影响,所以应将打水时间需1分钟的人排在前面.这样逐步交换顺序,打水时间需1分钟的人应当在最前面.同理,应将五个人按打水时间由少到多的顺序排队,所用时间最省.这样得出5人排队打水所费时间总和的最小值是:
1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35(分钟).
6.用一只平底锅煎饼,每次能同时放两个饼。
如果煎1个饼需要2分钟(假定正、反面各需l分钟),问煎1993个饼至少需要几分钟?
问煎1994个饼至少需要几分钟?
【解析】1993=1990+3,前1990张饼2张为一组,每组用2分钟,后3张饼为一组,用3分钟(先将两块饼同时放人锅内一起烙,1分钟后两块饼都熟了一面,这时取出一块,第二块翻个身,再放人第三块,又烙了1分钟,第二块烙熟取出,第三块翻个身,再将第一块放入烙另一面,再烙1分钟,锅内两块饼均烙熟.这样烙3块饼,用去3分钟),因此总共用1990÷2×2十3=1993分钟,1994张饼每两个一组,每组用2分钟,共用1994÷2×2=1994分钟.
7.理发室里有甲、乙2位理发师,同时来了5位顾客,根据他们所要理的发型,分别需要10、12、15、20和24分钟.怎样安排他们的理发顺序,才能使这5人理发的等候时间的总和最少?
最少要用多少时间?
【解析】甲给需10分钟的人理发时,有2人等待,占用3人的时间和为l0×3(分);然后,甲给需15分钟的人理发,有1人等待,占用两人的时间和为15×2(分);最后,甲给需24分钟的人理发,无人等待.甲理发的3个人共用10×3+15×2+24(分),乙8.如下图,在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼,每栋楼里每天都有20个人要坐车,现在想设立一个公交站,使居民到达车站的距离之和最短,应该设在何处?
【解析】依据“向中心靠拢”的思想来分析.
首先,在A、F之间(含A、F)无论设在哪,它们的距离和都不变,且最短.同理,在B、E之间.C、D之间,都能得到最短距离,所以,建在C、D之间及C、D均可.
【评析】有“奇数”个点时就选最中间的那个点,有“偶数”个点的时候就选择最中间的两个点之间的任意一点.
9.(第二届“华杯赛”复赛试题)下图是一张道路图,每段路上的数是小王走这段路所需的分钟数。
请问小王从A出发走到B,最快需要多少分钟?
【解析】到I、E、F的最少时间如图,到B的最少时间为48(=36+12-15+11+10+12).
答:
小王最快需要48分.
10.某乡共有六块麦田.每块麦田的产量如图所示.试问打麦场应设置在何处,才能使运输总量(吨·千米)最小?
【解析】到C的每条线上的产量的和都不到总产量的一半,所以打麦场应设在C处.
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