二次函数复习要点.docx
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二次函数复习要点
二次函数复习知识点
、二次函数概念:
2
1•二次函数的概念:
一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a工0)的函数,叫
做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a^0,而
b,c可以为零•二次函数的定义域是全体实数•
2
2.二次函数y=ax+bx+c的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次多项式。
(①含自变量的代数式是整式,
②自变量的最高次数是2,③二次项系数不为0.)
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项•
二、二次函数的基本形式
2
1.y=ax的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质(增减性)
a>0
向上
(0,0)
y轴
x>0时,y随x的增大而增大;xcO时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值0.
ac0
向下
(0,0)
y轴
x>0时,y随x的增大而减小;xc0时,y随x的增大而增大;x=0时,y有最大值0.
2.y=ax2+k的性质:
(k上加下减)
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质(增减性)
a>0
向上
(0,k)
y轴
x>0时,y随x的增大而增大;xc0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值k.
ac0
向下
(0,k)
y轴
x>0时,y随x的增大而减小;xc0时,y随x的增大而增大;x=0时,y有最大值k.
3.y=a(x-h)2的性质:
(h左加右减)
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质(增减性)
a>0
向上
(h,0)
直线
x=h
x>h时,y随x的增大而增大;xvh时,y随x的增大而减小;x=h时,y有最小值0.
av0
向下
(h,0)
直线
x=h
x>h时,y随x的增大而减小;xvh时,y随x的增大而增大;x=h时,y有最大值0.
2
4.y=a(x—h)+k的性质:
a的符号
[开口方向
顶点坐标
对称轴
性质(增减性)
a>0
向上
(h,k)
直线
x=h
x>h时,y随x的增大而增大;x a<0 向下 (h,k) 直线 x=h x>h时,y随x的增大而减小;x 2 5.y=ax+bx+c的性质: a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质(增减性) a>0 向上 ■'b4ac-b2" I2a'4a; 直线 b x=—— 2a ^-―时,y随x的增大而增大;2a xv―b时,y随x的增大而减小;2a 2 X_丄时,y有最小值4ac-b.2a4a ac0 向下 b4ac-b2' I2a'4a; 直线 b x=—— 2a X>-一时,y随x的增大而减小;2a ^-―时,y随x的增大而增大;2a x=-—时,y有最大值4acb.2a4a 三、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a.(a决定了抛物线开口的大小和方向) 2 二次函数y二axbxc中,a作为二次项系数,显然a工0 1当a0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下; 2a的绝对值越大,开口越小,反之a的绝对值越小,开口越大。 总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小. 2.一次项系数b(a和b共同决定抛物线对称轴的位置) 2b .抛物线y=ax-bx-c的对称轴是直线x,故: ①b=0时,对称轴为y轴; 2a ②(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③(即a、b异号)时,对称轴 在y轴右侧. ab的符号的判定: 对称轴x-在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则 2a ab.0,概括的说就是“左同右异” 3. 常数项C(c决定了抛物线与y轴交点的位置) 总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置. 总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 四、二次函数图象的平移 1.平移步骤: 方法一: ⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-hj+k,确定其顶点坐标(h,k); ⑵保持抛物线y二ax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下: 2.平移规律 在原有函数的基础上h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴y二ax2bxc沿y轴平移: 向上(下)平移m个单位,y二ax2bxc变成 y=axbxcm(或y=axbxc-m) ⑵y=ax2•bxc沿x轴平移: 向左(右)平移m个单位,y=ax2bxc变成 22 y=a(xm)b(xm)c(或y=a(x-m)b(x-m)c) 五、—次函数y=ax—hj亠k与y=ax2bxc的比较 从解析式上看,y=a(x—hj+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式,后者通过配 五点绘图法: 利用配方法将二次函数y=ax2-bxc化为顶点式y=a(x「h)2-k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图•一般我们 选取的五点为: 顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点Xi,0,X2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)• 画草图时应抓住以下几点: 开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点. 七、 二次函数图象的对称 1. 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称 y=ax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是 y=-ax2—bx—c; 2. 2 y=ax-hk关于x轴对称后,得到的解析式是 关于y轴对称 2 y=-ax_h;—k; 3. y=ax2bxc关于y轴对称后,得到的解析式是 2 y=ax-hk关于y轴对称后,得到的解析式是 关于原点对称 ^ax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是 y二ax2-bxc; 2 yrax'hj'k; y=-ax2bx-c; 2 y=ax-hk关于原点对称后,得到的解析式是 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变. 八、二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情 况: 1.般式: y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a^0),适用条件: 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2.顶点式: y二a(x-h)2(a,h,k为常数,a=0),适用条件: 已知图像上点两坐标,且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点 式; 3.交点式(两根式): y=a(x-xj(x-X2)(a=0,Xi,X2是抛物线与x轴两交点的横坐标),适用条件: 已知图像上三点坐标,其中两点为抛物线与x轴的两 个交点(人,0),(X2,0),一般选用交点式; 九、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小 此范围内,则需要考虑函数在Xi_X_X2范围内的增减性,如果在此范围内,y 随x的增大而增大,则当x=x2时,y最大=ax|bx2c,当x=为时,y最小二ax;bx1c;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x=论时,y最大=ax;bxic,当x=X2时,y最小=ax;bx? c。 十、掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系(以a>0为例,a<0请同学们自己补充) 判别式A二护一4处 A>0 A=0 A<0 二次函数a>0 A y=ax+c 丄卜为对称轴: \-■x%+x2 交点式: y=a(x_xj(x_x2) 当xvx! 或xax2时,y>0 当为 kz 当"la时, y>0 J 当X为全体实数时,y>0 二次函数a<0 2 y=ax+c I 1 J 1 ■ 1 兀二次方程 ax2+Ax+c=0 两根为x-i,x2 -b±VX/、 X—(XiVX2) 2a (有两个不相等的实数根) b X]二屯二 1彳2a (有两个相等的实数根) 无实根 ▲抛物线上两点A(Xi,y°),B(X2,yo),则抛物线对称轴为直线x山X2 十一、函数的应用 「刹车距离 二次函数应用何时获得最大利润 、最大面积是多少 十二、二次函数常用解题方法总结: ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; f2、b ⑵求二次函数的最大(小)值利用顶点坐标公式,4a_b,即当%时 I2a4a丿2a ⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2•bx•c中a,b,c的符号,或由二次函数中a, b,c的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标 二次函数考查重点与常见题型 1、已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x2•m2-m-2的图像经过原点,则m的 值是-1 2•写出一个开口向上,顶点坐标是(2,-3)的函数解析式。 3.将二次函数y=』x2+6x—5配成y=(x—h)2+k的形式是. 4•抛物线y=x2—5x+6与x轴交点的坐标是(2,0)、(3,0) 5.已知函数y=x2_3x+m,当x=1时,y=—5,则x=—1时,y的值是-1-。 6•王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式,跳跃路线正好和抛物线y=2x2•3x3相吻 合,那么他能跳过的最大高度为m 7.将抛物线y=3x2的图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线是 (B)。 2222 A.y=3(x2)-3b•y=3(x2)-2C•y=3(x—2)-3D•y=3(x—2)-2 &下列描述抛物线y=(1-x)(x2)的开口方向及其最值情况正确的是(C)。 A.开口向上,y有最大值B.开口向上,y有最小值 ■ min A D B i C C.开口向下,y有最大值D.开口向下,y有最小值 9•如图,一边靠墙(墙有足够长),其他三边用12米长的篱笆围成一个矩形(ABCD花园,这个花园的最大面积是(18)平方米。 10、如图,如果函数y二kx•b的图像在第一、二、三象限内,那么函数 11、 A 12、 二次函数 y =ax2 bxc的图像如图1,则点 .第二象限C.第三象限 •第一象限 2 已知二次函数y=ax+bx+c(0)的图象如图 当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当 数是(B) A.1个B .4个 c亠 M(b,—)在 a D.第四象限 2所示,? 则下列结论: ①a、b同号;②y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个 13、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,0)、(xi,0),且1 ①a0;③4a+c<0;④2a-b+1>0,其中正确结论的个数为(D) A1个B.2个C.3个D.4个 14、已知: 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为(C) A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2) 15、你知道吗? 平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示, 正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m距地面均为1m学生丙、丁分别站在 距甲拿绳的手水平距离1m2.5m处•绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶•已 知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所 示)(B) A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m 16、已知一条抛物线经过 5 (0,3),(4,6)两点,对称轴为x,求这条抛物线的解析式。 3 17、已知抛物线y二ax2,bx(a丰0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点 一3 的纵坐标是一 (1)确定抛物线的解析式; (2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 125 18、已知抛物线y=x2+x-」 22 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴. (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长. 19、如图,二次函数y=ax2bxc的图象经过a、b、c三点. (1)观察图象,写出A、BC三点的坐标,并求出抛物线解析式 (2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴; 22 20、已知抛物线y=x+(2k+1)x-k+k (1)求证: 此抛物线与x轴总有两个不同的交点; (2)设A(X1,0)和B(X2,0)是此抛物线与x轴的两个交点,且满足X12+X22=-2k2+2k+1, ①求抛物线的解析式 ②此抛物线上是否存在一点巳使厶PAB的面积等于3,若存在,请求出点P的坐标; 若不存在,请说明理由。 【解析】⑴•••△=(2k+1)2-4*1*(-k2+k)=8k2+1>0恒成立 •••此抛物线线与x轴总有两个不同的交点 (2)①TX12+X22=-2k2+2k+1x1+X2=-b/a=2k+1x1*X2=c/a=-k2+k •••X12+X22=(X1+X2)2-2x1X2=(2k+1)2-2(-k2+k)=6K2+2k+1=-2k2+2k+1 解得k=0•抛物线的解析式是y=x2+x ②•••点A和点B是抛物线y=x2+x与x轴的两个交点 •••由x2+x=0,得x1=-1,X2=0则AB=1 又•••△PAB的面积等于3设P(x,y)「.S=(1/2)*1*y=3贝Uy=6 •••由x2+x=6,得X1=2,X2=-3即R(2,6)或P2(-3,6) 21、如图(单位: m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为丫卅. (1)写出y与x的关系式; (2)当x=2,3.5时,y分别是多少? (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间? 求抛物线顶点坐 标、对称轴. 22、某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)? 与产品的日销售量y(件) 之间的关系如下表: x(元) 15 20 30 y(件) 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数. (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? ? 此时每日销售利润是多少元? 【解析】 (1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则15kb25,解得k=-1,b=40,? 即一 2k+b=20 次函数表达式为y=-x+40. (2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元 22 w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225. 产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元. 23.如图,抛物线y--X25x•n经过点A(1,0),与 y轴交于点B。 (1)求抛物线的解析式; (2)P是y轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,请 写出P点坐标。 解: (1)•••A(1,0)在抛物线上,•••可把A点坐标代入方程得-12+5X1+n=0, 2 解得n=-4,•抛物线的解析式为y=-x+5x-4; (2)把x=0代入抛物线方程得y=-4,•B点坐标为(0,-4), •••△PAB是以AB为腰的等腰三角形, •可分两种情况: ①PA=AB②PB=AB 若PA=AB则P点和B点关于原点对称, •P点坐标为(0,4); 若PB=AB且曲二如,
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