半角模型收集专练.docx
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半角模型收集专练.docx
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半角模型收集专练
半角模型例题
已知,正方形ABCD中,/EAF两边分别交线段BC、DC于点E、F,且ZEAF=45
结论1:
BE+DF=EF
结论2:
S/ABE+S/ADF=S/AEF
结论3:
AH=AD
结论4:
△:
EF的周长=2倍的正方形边长=2AB
结论5:
当BE=DF时,MEF的面积最小
结论6:
BM2+DN2=MN2
结论7:
三角形相似,可由三角形相似的传递性得到
结论8:
EA、FA是△:
EF的外角平分线
结论9:
四点共圆结论10:
△ANE和A\MF是等腰直角三角形(可通过共圆得到)
结论11:
MN=#EF(可由相似得到)
结论12:
S^kEF=2S△KMN(可由相似的性质得到)
设正方形ABCD的边长为1
结论5的证明:
贝USaaef=1-S1-S2-S3
=1-》-》-2(1-x)(1-y)
11
=厂丹
所以当x=y时,AAEF的面积最小
结论6的证明:
将△ADN顺时针旋转90°使\D与AB重合
•••DN=BN
易证AAMN也AMN
•••MN=MN'
在Rt△BMN中,由勾股定理可得:
BM2+BN2=MN2
即BM2+DN2=MN2
结论7的所有相似三角形:
A
△AMNs/DFN
△AMNszbme
D
△XMNs/DMA
△XMNs/AFE
△AMNs/BAN
结论8的证明:
因为AAMNs/AFE
••z3=/2
因为AAMNs/BAN
••z3=/4
••z2=/4
因为AB//CD
•-Z1=/4•-Z1=/2
结论9的证明:
因为/EAN=ZEBN=45
**必会结论图形研究正方形半角模型
、全等关系
(1)求证:
①DFBEEF:
②DG2+BH2=HG2;@AE平分
二、相似关系
(2)求证:
①CE、2DG:
②CF.2BH:
③EF.2HG.
(3)求证:
④AB2BGDH:
⑤AG2BGHG;®业匹-
CECF2
三、垂直关系
AB
(4)求证:
①AGEG:
②AHFH:
③tanHCF.BE
(5)、和差关系
求证:
①BGDG、2BE;®ADDF2DH;
BEF,AF平分DFE.
③|BEDF|■2|BHDG|.
例1、在正方形ABCD中,已知/MAN=45°,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动,
1•试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.
2.求证:
AB=AH.
例2、在四边形ABCD中,/B+ZD=180°,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD上,且满足EF=BE+DF.
1
求证:
/EAF=j/BAD
例3、在△ABC中,AB=AC,/BAC=2ZDAE=120°若BD=5,
CE=8,求DE的长。
例4、请阅读下列材料:
已知:
如图1在RtABC中,BAC90,ABAC,点D、E分别为线段BC上两动点,若DAE45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:
把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连结ED,
使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明.
图1
例5、探究:
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且ZEAF=45。
,试判断BE、DF
与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:
;
(2)如图2,若把
(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F
1
分别是边BC、CD上的点,且/EAF=2/BAD”,则
(1)问中的结论是否仍然成立?
若成立,请
给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)在
(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,
如图3所示,其它条件不变,则
(1)问中的结论是否发生变化?
若变化,请给出结论并予以证明
练习巩固1:
如图,在四边形ABCD中,/B=ZD=90°,AB=AD,若E、F分
1
别在边BC、CD上的点,且/EAF=-/BAD.
求证:
EF=BE+DF.
练习巩固2:
如图,在五边形ABCDE中,AB=BC=CD=DE=EA,
1
/CAD=-/BAE,求/BAE的度数
练习巩固3:
已知:
正方形ABCD中,MAN45,绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的
延长线)于点M、N.
(1)如图1,当MAN绕点A旋转到BMDN时,有BMDNMN.当MAN绕点A旋转到
BMDN时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?
如果成立,请给予证明,如果不成立,请
说明理由;
(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的等量关系?
请写出你的猜想,并证明.
A
C
N
练习巩固4
(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别
1
是边BC、CD上的点,且ZEAF=2/BAD.
求证:
EFBEFD;
(2)
如图在四边形ABCD中,AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别
1
是边BC、CD上的点,且ZEAF=2/BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
不用证明.
(3)
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、F
1
分别是边BC、CD延长线上的点,且ZEAF=2/BAD,
(1)中的结论是
否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关
系,并证明.
(4)
如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①△AEM的周长二cm;
②求证:
EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),
△°DM的周长是否发生变化?
请说明理由.
(5).如图17,正方形ABCD,E、F分别为BC、CD边上一点.
(1)若ZEAF=45o.求证:
EF=BE+DF.
(2)若△AEF绕A点旋转,保持/EAF=45o,问zdCEF的周长是否随
△KEF位置的变化而变化?
(3)已知正方形ABCD的边长为1,如果/CEF的周长为2.求/EAF的度数.
练习巩固5、如图,已知在正方形ABCD中,MAN=45。
,连接BD与AM,AN分别交于E、F两点
求证:
(1)MN=MB+DN;
(2)点A到MN的距离等于正方形的边长;
(3)CMN勺周长等于正方形ABCD边长的2倍;
ABCD
S'cmn
■J
2AB
MN
(5)若MAB=20°,求AMN
(6)若MAB0<<45',求AMN
(7)EFeWDF;
(8)AEN与AFM是等腰三角形;
S'
AEF
——
S'
AMN
练习巩固6、
MDN60,
在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为ABC外一点,且
BDC120,BDCD,探究:
当点M,N分别爱直线
AB,AC上移动时,
BM,BN,MN
之间的数量
关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.
(2)如图②,当点M,N在边AB,AC上,且DMDN时,猜想⑴问的两个结论还成立吗?
写出你
的猜想并加以证明;
练习巩固7、
练习巩固8、
巩固练习9、
如图1,Rt△KBC细t生DF,ZACB=ZF=90°,A=ZE=30°。
EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段.AC于点M,K.
⑴①如图2、图3,当/CDF=0°或60。
时,AM+CKMK填“〉”,“<”或“=”).
②如图4,当/CDF=30。
时,AM+CK___MK(只填“>”或“<”).
MK证明你所得到的结论.
⑵猜想:
如图1,当0°v/DFv60。
时,AM+CK
⑶如果MK2CK2AM2,请直接写出/CDF的度数和匹的值.
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