考研数学一考试大纲.docx

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考研数学一考试大纲

NETM

2011年全国硕士研究生入学考试数学

（一）考试大纲

　　考试科目：

数学

高等数学、线性代数、概率论与数理统计 

高等数学

试卷结构

（一）题分及考试时刻

　　试卷总分值为150分，考试时刻为180分钟。

（二）内容比例 

　　高等教学　约60％

　　线性代数　约20%

　　概率论与数理统计20％

　　（三）题型比例

　　填空题与选择题　约40％

　　解答题（包括证明题）　约60%

一、函数、极限、持续

考试内容

函数的概念及表示法　函数的有界性（有界和收敛的关系存在正数M使f（x）

数列极限（转化为函数极限单调有界定积分夹逼定理）与函数极限（四那么变换无穷小代换积分中值定理洛必塔法那么泰勒公式-要齐次展开）的概念及其性质（局部保号性）　函数的左极限与右极限（注意正负号）　无穷小（以零为极限）和无穷大（大于任意正数）的概念及其关系　无穷小的性质（和性质积性质）及无穷小的比较（求导定阶）　极限的四那么运算（要在各自极限存在的条件下）　极限存在的两个准那么：

单调有界准那么和夹逼准那么　两个重要极限:

函数持续的概念（点极限存在且等于函数值）　函数中断点的类型（第一型（有概念）：

可去型，跳跃型第二型（无概念）：

无穷型，振荡型）　初等函数的持续性　闭区间上持续函数的性质（零点定理介值定理）

考试要求

．明白得函数的概念，把握函数的表示法，并会成立简单应用问题中的函数关系式。

．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 

　　3．明白得复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 

　　4.　把握大体初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

　　5.　明白得极限的概念，明白得函数左极限与右极限的概念，和函数极限存在与左、右极限之间的关系．

　　6．把握极限的性质及四那么运算法那么

　　7． 把握极限存在的两个准那么，并会利用它们求极限，把握利用两个重要极限求极限的方式．

　　8． 明白得无穷小、无穷大的概念，把握无穷小的比较方式，会用等价无穷小求极限．

　　9． 明白得函数持续性的概念（含左持续与右持续），会判别函数中断点的类型．

　　10． 了解持续函数的性质和初等函数的持续性，明白得闭区间上持续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 

二、一元函数微分学

考试内容。

导数和微分的概念（点可导与域可导的关系）　导数的几何意义和物理意义　函数的可导性与持续性之间的关系　平面曲线的切线和法线　导数和微分的四那么运算大体初等函数的导数　复合函数、反函数、隐函数和参数方程所确信的函数的微分法　高阶导数（数学归纳法赖布妮子公式法）一阶微分形式的不变性　微分中值定理（闭区间持续开区间可导ζ不是常数）　洛必达（L’Hospital）法那么（注意利用条件洛必塔求解不存在时，原极限可能存在）　函数单调性的判别（利用导数）函数的极值（极值的判定：

概念一阶去心邻域可导且左右邻域导数异号二阶可导且该点一阶导为零）　函数图形的凹凸性（证明）、拐点及渐近线（求解步骤：

垂直水平斜）　函数图形的刻画　函数最大值和最小值　弧微分　曲率的概念（有绝对值注意参数方程公式）　曲率半径

考试要求

1.明白得导数和微分的概念，明白得导数与微分的关系，明白得导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，明白得函数的可导性与持续性之间的关系． 

2．把握导数的四那么运算法那么和复合函数的求导法那么，把握大体初等函数的导数公式．了解微分的四那么运算法那么和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分（后面要加上dx）． 

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数． 

4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确信的函数和反函数的导数

5．明白得并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理（典型函数的展开），了解并会用柯西中值定理．

6．把握用洛必达法那么求未定式极限的方式．（洛必达法那么受阻时：

拆项积分中值中值定理）

7． 明白得函数的极值概念，把握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方式（一阶导定点二阶导定性），把握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．

8．会用导数判定函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和水平、铅直和斜渐近线，会刻画函数的图形． 

9．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．

三、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念（被积函数的要求持续只是原函数存在的充分条件）　不定积分的大体性质（线性和差与求导互逆）　大体积分公式　定积分的概念（求极限的应用）和大体性质（注意上下限的位置线性分区间上限大于下限时比大小估值定理）　定积分中值定理　用定积分表达和计算质心积分上限的函数及其导数　牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式　不定积分和定积分的换元积分法（换元要完全，不要忘了dx定积分换元要注意上下限也要换）与分部积分法　有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分　广义积分概定积分的应用

考试要求

1．明白得原函数概念，明白得不定积分和定积分的概念． 

2．把握不定积分的大体公式，把握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，把握换元积分法与分部积分法（常见代换：

倒代换三角换元全能代换不要跳步计算，以避免显现毁灭性的低级失误）． 

3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分． 

4．明白得积分上限的函数，会求它的导数（用途远非于此，常与罗尔定理结合解决零点问题），把握牛顿一莱布尼茨公式． 

5．了解广义积分的概念，会计算广义积分（用极限的观点）． 

6．把握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值等．

四、向量代数和空间解析几何 

考试内容 

向量的概念（自由移动）　　向量的线性运算　向量的数量积（是数可互换）和向量积（是向量互换后变号）　向量的混合积（互换的性质与行列式性质相同几何意义用于求异面直线的距离）　两向量垂直（数量积为零）、平行（向量积与零向量）的条件　两向量的夹角（面面线线线面）　向量的坐标表达式及其运算　单位向量　方向数与方向余弦　曲面方程和空间曲线方程的概念　平面方程（点法式截距式一样式平面束方程）、直线方程（对称式参数式一样式）　平面与平面、平面与直线、直线与直线的和平行、垂直的条件（转化为向量之间的关系）　点到平面和点到直线的距离（利用平行四边形）　球面　母线平行于坐标轴的柱面　旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程　经常使用的二次曲面方程及其图形　空间曲线的参数方程和一样方程　空间曲线在座标面上的投影曲线方程

考试要求 

1.  明白得空间直角坐标系，明白得向量的概念及其表示。

2．把握向量的运算（线性运算、数量积（求向量夹角判定垂直）、向量积（平行四边形面积及点到直线的距离）、混合积（求六面体体积及异面直线公垂线长判定三个向量是不是共面）），了解两个向量垂直、平行的条件。

3．明白得单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，把握用坐标表达式进行向量运算的方式。

4．把握平面方程（点法式混合积）和直线方程（点向失一样式）及其求法。

5．会求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的彼此絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6．会求点到直线和点到平面的距离。

7.　了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

8. 了解经常使用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

9. 了解空间曲线的参数方程和一样方程.了解空间曲线在座标平面上的投影，并会求其方程。

五、多元函数微分学 

考试内容 

多元函数的概念　二元函数的几何意义　二元函数的极限（极限存在的判定）和持续的概念有界闭区域上多元持续函数的性质（有界性最值存在介值定理）　多元函数偏导数和全微分（和全增量的区别）　全微分存在的必要条件（持续偏导存在任意方向的方向导数存在）和充分条件（偏导存在且持续）多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数　方向导数和梯度　空间曲线的切线和法平面（参数方程—注意以x,y,z为参数方程组）　曲面的切平面和法线　二元函数的二阶泰勒公式　多元函数的极值和条件极值　多元函数的最大值、最小值及其简单应用

考试要求 

1．明白得多元函数的概念，明白得二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与持续性的概念，和有界闭区域上持续函数的性质。

3．明白得多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

　　4．明白得方向导数与梯度的概念并把握其计算方式。

　　5．把握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

　　6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

　　7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

　　8．了解二元函数的二阶泰勒公式。

　　9．明白得多元函数极值和条件极值的概念，把握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值（解方程时要警惕哦），会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

六、多元函数积分学 

考试内容 

二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算　两类曲线积分的关系　格林（Green）公式　平面曲线积分与途径无关的条件（注意单连通域与复连通域的区别）　已知全微分求原函数　两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系　高斯（Gauss）公式　斯托克斯（STOKES）公式　散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

考试要求 

1．明白得二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

　　2．把握二重积分的计算方式（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

　　3．明白得两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

　　4．把握计算两类曲线积分的方式。

　　5．把握格林公式并会运用平面曲线积分与途径元关的条件，会求全微分的原函数。

　　6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，把握计算两类曲面积分的方式，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。

　　7．了解散度与旋度的概念，并会计算。

　　8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

七、无穷级数 

考试内容 

常数项级数（级数是数列和的概念）的收敛与发散的概念　收敛级数的和（和函数）的概念　级数的大体性质与收敛的必要条件（一样项趋零）　几何级数与p级数和它们的收敛性　正项级数收敛性的判别法（比较根值比值）　交织级数与莱布尼茨定理（一样项趋零递减）　任意项级数的绝对收敛与条件收敛　函数项级数的收敛域与和函数的概念　幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域　幂级数的和函数（有收敛域的要求）　幂级数在其收敛区间内的大体性质（阿贝尔定理及其推论持续性可积可导且收敛区间不变） 简单幂级数的和函数的求法（有收敛域的要求）　初等幂级数展开式（有收敛域的要求） 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数　狄利克雷（Dlrichlei）定理　函数在[-l，l]上的傅里叶级数　函数在[０,l]上的正弦级数和余弦级数

考试要求

1．明白得常数项级数收敛、发散和收敛级数的和的概念，把握级数的大体性质及收敛的必要条件。

　　2．把握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

　　3．把握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

　　4．把握交织级数的莱布尼茨判别法。

　　5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，和绝对收敛与条件收敛的关系。

　　6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

　　7．明白得幂级数的收敛半径的概念、并把握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

　　8．了解幂级数在其收敛区间内的一些大体性质（和函数的持续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

　　9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件（泰勒余项极限为零）。

　　10．把握ex、sinx、cosx、ln（1+x）和（1+x）α的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

　　11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将概念在[-L，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将概念在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

八、常微分方程

考试内容

常微分方程的大体概念　　变量可分离的方程　齐次微分方程　一阶线性微分方程　伯努利（Bernoulli）方程　全微分方程　可用简单的变量代换求解的某些微分方程　可降阶的高阶微分方程　线性微分方程解的性质及解的结构定理　二阶常系数齐次线性微分方程　高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程　简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程　微分方程简单应用

考试要求

　　1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念

　　2．把握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法．

　　3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程

　　4．会用降阶法解以下方程：

y（n）＝f（x），y''= f（x，y'）和y''＝f（y，y'）．

　　5．明白得线性微分方程解的性质及解的结构定理．

　　6．把握二队常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

　　7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，和它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．

　　8．会解欧拉方程．

　　9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．

线性代数

一、行列式

考试内容

行列式的概念和大体性质（转置不变互换两行变号公因子成比例分行可加性一行乘数加另一行不变）　行列式按行（列）展开定理（余子式代数余子式）行列式的计算（三角式反的猛数学归纳法）

考试要求

1．了解行列式的概念，把握行列式的性质．

　　2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式． 

二、矩阵

考试内容

矩阵的概念　矩阵的线性运算　矩阵的乘法　方阵的幂　方阵乘积的行列式　矩阵的转置　逆矩阵的概念和性质　矩阵可逆的充分必要条件　伴随矩阵　矩阵的初等变换（求逆矩阵解方程组求行列式求向量组极大无关组）　初等矩阵　　矩阵的秩（对非零子式的明白得）　矩阵等价　分块矩阵及其运算（彼此的分块之间也是同型矩阵）

考试要求

1．明白得矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，和它们的性质．

　　2． 把握矩阵的线性运算、乘法、转置，和它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质

　　3． 明白得逆矩阵的概念，把握逆矩阵的性质，和矩阵可逆的充分必要条件，明白得伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵． 

　　4．把握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，明白得矩阵的秩的概念，把握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方式．

　　5． 了解分块矩阵及其运算．

三、向量

考试内容

向量的概念向量的线性组合和线性表示（不考虑系数是不是为零）向量组的线性相关与线性无关（考虑是不是存在一组系数不为零）向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间和相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交标准化方式标准正交基正交矩阵及其性质

考试要求

1．明白得n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示的概念． 

　　2．明白得向量组线性相关、线性无关的概念，把握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法． 

　　3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩． 

4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与与其行（列）向量组的关系．

 明白得向量组等价的概念，明白得矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系（矩阵的秩等于行向量组的秩也等于其列向量组的秩极为注意与最高非零子式的关系）

　　5．了解n维向星空间、子空间（数乘封锁加法封锁）、基底（极大无关组中的向量）、维数（秩）、坐标（系数）等概念．

　　6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．

　　7．了解内积（互换线形分派）的概念，把握线性无关向量组标准标准化的施密特（SChnddt）方式． 

　　8．了解标准正交基（不是对称阵的特权）、正交矩阵的概念，和它们的性质．

四、线性方程组

考试内容

　　线性方程组的克莱姆（又译：

克拉默）（Cramer）法那么齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系（单个解向量）和通解解空间（解向量的线形组合）非齐次线性方程组的通解（行变换最简型）

考试要求

l．会用克莱姆法那么．

　　2．明白得齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．

　　3．明白得齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，把握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

　　4．明白得非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．

　　5．把握用初等行变换求解线性方程组的方式．

五、矩阵的特点值和特点向量

考试内容

矩阵的特点值和特点向量的概念及性质相似变换、相似矩阵的概念及性质（相似同秩，但同秩未必相似）矩阵可相似对角化的充分必要条件（存在n个线形无关特点向量）及相似对角矩阵实对称矩阵的特点值、特点向量及相似对角矩阵

考试要求

．明白得矩阵的特点值和特点向量的概念及性质，会求矩阵的特点值和特点向量。

．了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，把握将矩阵化为相似对角矩阵的方式。

　　3．把握实对称矩阵的特点值和特点向量的性质（n重特点值有n个线形无关的特点向量不同特点值所对应的特点向量必正交）。

六、二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形（只反映特点值的正负个数）和标准形（系数只能是1，-1，0）用正交变换（系数是特点值）和配方式化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性

考试要求

1．把握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念（与其矩阵表示同秩），了解合同转变和合同矩阵的概念了解二次型的标准形、标准形的概念和惯性定理（涉及到正负惯性系数）． 

　　2．把握用正交变换化二次型为标准形的方式（仅此法能判定二次型形状），会用配方式化二次型为标准形． 

3．明白得正定二次型、正定矩阵的概念，并把握其判别法（概念秩与E合同正惯性系数为零顺序主子式）

概率论与数理统计初步

　　一、随机事件和概率

考试内容

　　随机事件（可能发生可能不发生的情形）与样本空间（包括所有的样本点）事件的关系（包括相等和积差互斥对立）与运算（互换分派结合德摸根对差事件文氏图）完全事件组（所有大体事件的集合）概率的概念概率的大体性质（非负性标准性可列可加性）古典型概率几何型概率条件概率概率的大体公式事件的独立性独立重复实验

考试要求

　　1．了解样本空间（大体事件空间）的概念，明白得随机事件的概念，把握事件的关系与运算． 

　　2．明白得概率、条件概率的概念，把握概率的大体性质，会计算古典型概率和几何型概率（弄清几何意义），把握概率的加法公式（PAUB=PA+PB--PAB）、减法公式（P（A--B）=PA--PAB）、乘法公式（PAB=PA*PB|A）、全概率公式（关键是对S进行正确的划分），和贝叶斯公式．

　　3．明白得事件的独立性（PAB=PA*PB）的概念，把握用事件独立性进行概率计算；明白得独立重复实验的概念，把握计算有关事件概率的方式．

　　二、随机变量及其概率散布

考试内容

　　随机变量（事件结果数量化）及其概率散布（取某一个随机变量的概率）随机变量的散布函数的概念（F（x）=P{X<=x}）及其性质离散型随机变量的概率散布持续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率散布随机变量函数的概率散布

考试要求

1．明白得随机变量及其概率分市的概念．明白得散布函数

F（x）=P{X＜=x}（-∞

的概念及性质．会计算与随机变量有关的事件的概率． 

　　2．明白得离散型随机变量及其概率散布的概念，把握0－l散布、二项散布、超几何散布、泊松（Poisson）散布及其应用．

　　3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松散布近似表示二项散布。

　　4．明白得持续型随机变量及其概率密度的概念，把握均匀散布、正态散布N（μ，σ2）、指数散布及其应用，其中参数为λ（λ>0）的指数散布的密度函数为

5．会求随机变量函数的散布（离散型持续型（注意单调性）：

公式法散布函数法）．

　　三、二维随机变量及其概率散布

考试内容

　　多维随机变量及其散布　二维离散型随机变量的概率散布、边缘散布和条件散布　二维持续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性（判定）和相关性　经常使用二维随机变量的概率散布　两个及两个以上随机变量简单函数的散布

考试要求

　　1．明白得多维随机变量的概念，明白得多维随机变量的散布的概念和性质明白得二维离散型随机变量的概率散布、边缘散布和条件散布；明白得二维离散型随机变量（注意独立性的应用）的概率密度、边缘密度和条件密度．会求与二维持续型随机变量相关事件的概率． 

　　2． 明白得随机变量的独立性及不相关性的概念，把握随机变量彼此独立的条件

　　3．把握二维均匀散布，了解二维正态散布的概率密度，明白得其中参数的概率意义． 

4． 会求两个随机变量简单函数的散布（划分区域积分法公式法），会求多个彼此独立随机变量简单函数的散布（卷积法）

　　四、随机变量的数字特点

考试内客

　　随机变量的数学期望（均值）、方差和标准差及其性质　随机变量函数的数学期望　矩、协方差　相关系数及其性质

考试要求

　　1．明白