三角函数连乘式题型解题技巧.docx
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三角函数连乘式题型解题技巧
三角函数连乘式题型常用技巧
主讲:
梦梦
引言:
对于三角函数的连乘式化简,一般题目给的都是一些非特殊角的化简,像sin80°等类的,常规的把它们都算出来再带入显然不现实,而且也不需要,下面说说几种连乘式的常用变形技巧
技巧一:
二倍角公式、恒等式的性质
拿到题目我们先观察一下各角之间有着什么样的数量关系,再联系我们学过的公式,有时候可以利用恒等式的性质比如分子分母同时乘以某个数,这样方便凑成我们学过的公式,进而求解,我们来看看例1
例1:
求值:
cos20°cos40°cos80°
分析:
第一次看到这题时梦梦直接就懵了,不知道你有没有这么一种感觉,是二倍角的关系,但又不太像二倍角公式的样子,你看这里全是余弦,又没有正弦,而且还是前面一个是后面的一半的,矮油!
怎么办啊?
呜呜~OK,既然感觉像二倍角,那我们试试,二倍角公式连乘的好像只有正弦的吧,那我们构造一个正弦函数吧,那我们乘以一个2sin20°再除以2sin20°,看看会怎么样?
很好,已经出了一个sin40°的二倍角了,后面刚好又有一个cos40°,于是再二倍角,直到把cos80°也合并过来为止,这个过程我们暂时无视分母,搞不好后面还有可能消掉,车到山前必有路嘛,先试着用二倍角化完再说哈。
然后,你会发现分子有sin160°,用个诱导公式,sin160°就等于sin20°,这题完了!
全消掉了,只剩1/8,就是答案啦~
答案:
技巧二:
利用诱导公式
很多时候一些角以题目目前呈现的关系有点难入手,如果我们暂时转一下,再解题过程中找到切入点再慢慢化回来,会简单些
题目还是用例1的题哈
分析:
题目是余弦相乘,我们转化成正弦会怎么样?
sin10°sin50°sin70°,然后依旧是同前面的方法,其实cos连乘式是最简单的,用cos就不要转成sin的了,我只是想告诉你如果题目给的是sin连乘形式的,你可以考虑把它转成cos形式,这样好用二倍角公式,因为二倍角公式里面只有sin的才有乘积的形式嘛
答案:
比如说像下面这道例题,不仅是sin形式,而且还很麻烦,怎么办?
例2:
求值sin6°sin42°sin66°sin78°
分析:
诱导公式试试?
你会发现转成余弦的,那就是二倍角关系,于是又回到我们技巧一的方法了
答案:
技巧三:
利用积化和差公式
这里补充一组公式:
积化和差
对于已知条件,有时候它既不是什么余弦二倍角关系,但又怎么都凑不成想要的方便化简的东西,这个时候我们可以考虑用积化和差公式(注意:
这个很少用在解多项连乘式的题,而且对思维有一定难度,不建议用,实在没办法再试试)
例3:
求sin20°sin40°sin60°sin80°的值
分析:
这个嘛……我可不可以弱弱地说:
还真没有什么一眼就看得出的方法(其实有,后面说),只能试一下积化和差,别报太大希望哈,积化和差有个项是1/2吧,那我们就乘以2再除以2试试?
sin60°可以直接出来,我们先无视它,拿sin40°和sin80°积化和差看看,嗯。
。
。
不错,出了一个sin120°,那就展开,矮油还有一个积式啊,那继续积化和差,嘿嘿,刚好弄成对消式,答案就出来啦~很多时候都是要尝试一下的哦
答案:
技巧四:
利用三倍角公式
这个技巧是所有当中最简单的也是用得最多的了,而且比前面的都容易学会,过程还很少哦!
嘿嘿,好戏一般放最后嘛~下面我们看看三倍角公式:
例题还是用前面的cos20°cos40°cos80°哈
分析:
很显然就观察得出来α为20°时完全符合三倍角公式,直接带进去就好啦
答案:
那可不可以解刚才那个很麻烦的sin20°sin40°sin60°sin80°呢?
分析:
我们发现,sin60°是可以直接算的,先无视,无视掉sin60°以后变成sin20°sin40°sin80°和前面的一样,符合三倍角公式,所以直接带入就行啦
答案:
嗯。
。
。
关于连乘式的问题就说到这了,考试连乘式是有点偏向于竞赛方面的知识,一般的考试最难也只能出到这样了,希望看完之后能理解并掌握这些技巧,尤其是三倍角公式的变形。
(话说我本来想把文档底色换成哆啦A梦背景,考虑到可能文字会看不清,就忍住没整了,嘻嘻)
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