毕业论文-对称性在简化积分运算中的应用.doc
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毕业设计(论文)
题目:
对称性在简化积分运算中的应用
学生姓名:
学号:
所在学院:
金融与数学学院
专业班级:
应数1001班
届别:
指导教师:
目录
前言 1
1.对称性在定积分中的应用 2
1.1相关定理及其应用 2
2.对称性在重积分计算中的应用 3
2.1对称性在二重积分中的应用 3
2.2对称性在三重积分计算中的应用 4
3.对称性在曲线积分计算中的应用 5
3.1对称性在第一类曲线积分中的应用 5
3.2对称性在第二类曲线积分计算中的应用 6
4.对称性在曲面积分计算中的应用 9
4.1对称性在第一类曲面积分计算中的应用 9
4.2对称性在第二类曲面积分运算中的应用 10
5.化积分区域为对称区域的几种方法 11
结束语 12
参考文献:
12
皖西学院2014届本科毕业设计(论文)
对称性在简化积分运算中的应用
摘要:
在计算积分中,恰当的使用轮换对成性和对称性,以及奇偶性都可以简化计算。
本文主要结合实例阐述对称性在化简几类积分计算中的妙用。
具体总结平移变换和区域划分方法来构造对称性。
关键字:
对称性;奇偶性;定积分;曲线积分;曲面积分
SymmetryInTheIntegralCalculation
Abstract:
Incalculatingofthecalculus,properusetranslatablesymmetry、symmetryandparitycansimplifythecalculation.Thispapermainlyuseexampletoelaboratedsymmetryinthesimplifythecalcalation.Specificsummarizeparallelmovingtransformationanddividetheareatoconstructsymmetry.
Keywords:
Symmetry;parity;definiteintegral;curvepoints;surfaceintegrals
前言
微积分是高等数学中的难点和重点。
在很多复杂的微积分证明和计算过程中,尤其是涉及多元微积分问题,常规的方法很难解决,恰当的利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,可以大大简化积分计算。
积分计算中,有很多积分区域存在对称性的问题.合理、恰当的利用其所具有的对称性的性质,则可以使其计算过程得到简化,甚至有些问题直接可以判断出其结果.当积分形式不具有对称性时,有时可以通过变换积分的区域形成对称。
本文具体总结平移变换和区域划分等方法来构造对称性,从而达到简化积分计算的效果。
本文主要结合实例阐述对称性在简化定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分计算中的妙用。
1.对称性在定积分中的应用
1.1相关定理及其应用
定理1.1【1】设在区间可积:
(1)若为奇函数,则;
(2)若为偶函数,则
例1.1:
计算积分其中为偶函数,则
令,则
在定积分的计算中,当积分区间为任意有限区间时,该积分区间一定关于直线对称,由此我们可得以下出定理。
定理1.2[4]设f(x)在[a,b]上连续,则
例1.2计算定积分
解:
令,则由定理1.2知
以上是对称性在定积分计算中的应用,可以得出对称性可以大大的简化定积分的运算。
2.对称性在重积分计算中的应用
2.1对称性在二重积分中的应用
相关定理及应用
定理2.1.1[3][5]若D关于x轴对称,D1位于x轴上半部分,当函数是关于y的奇函数,即时,;当函数是关于y的偶函数,即时,
定理2.1.2[5]若D关于y轴对称,D2位于y轴右半部份,
当函数f(x,y)是关于x的奇函数,即时:
;
当函数f(x,y)是关于x的偶函数,即时:
。
定理2.1.3[6]若区域D为关于原点对称,其中D3为D中关于原点对称的右侧。
当为奇函数即时,有
当为偶函数即时,有
推论1设D是有界平面区域,函数在平面内连续,且D关于x轴、y轴对称,则
(1)若函数关于变量x、y都是偶函数,则,
(2)若函数关于其中一个变量x或者变量y为奇函数,则
为方便叙述,以下为轮换对称性的定理和定义:
定理2.1.5[7]设函数在xoy平面上的有界区域D上连续,且D关于x,y存在轮换对称性,则
定义2.1.4[7]设D为一有界可度量平面区域(或光滑平面曲线段),若,则称区域D(或光滑平面曲线段)关于x,y具有轮换对称性。
例2.1.2设区域D由x=0,y=0,x+y=1围城,求
解由题意得,变量x,y互换,积分区域区域D不变
则
所以
2.2对称性在三重积分计算中的应用
三重积分应用对称性定理如下:
定理2.2.1[8]设函数是定义在空间有界闭区间区域Ω上的连续函数,且Ω关于坐标平面对称,则
(1)若是关于变量的奇函数,则;
(2)若是关于变量的偶函数,则。
其中是的前半部分,
同理可写出关于坐标平面对称时的情形
相似于二重积分,得出结论
定理2.2.2设函数为定义在空间有界区域的连续函数,且关于原点对称,则
(1)若,,则
(2)若,,则
,,
类似于二重积分,为方便叙述,三重积分轮换对称性的定理与定义如下:
定理2.2.2[7]设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域Ω上的连续函数,且Ω关于变量x,y,z具有轮换对称性,则
定义2.2.1[7]设是一个有界可度量的集合体(可为空间区域、空间曲线或曲面块),且它的边界光滑,若,则称关于变量具有轮换对称性。
例2.2.2计算三重积分,
解:
有题意知,关于为奇函数,由上述定理知
3.对称性在曲线积分计算中的应用
3.1对称性在第一类曲线积分中的应用
平面上第一类曲线积分的对称性定理:
定理3.1.1[10]设平滑分段光滑曲线关于轴(或轴)对称,且在上有定义、可积,则
(1)若为关于(或)的奇函数,则;
(2)若为关于(或)的偶函数,则,
例3.1.1设L是圆周,求解[12]
解:
,因为关于轴、轴对称,且关于变量和是偶函数,由上述推论可得为位于第一象限的部分。
又因为
故
当曲线关于原点对称时,相关定理如下:
定理3.1.2[11]设平面分段光滑曲线关于原点对称,且在L上有定义、可积,则
(1)若
是的上半平面或右半平面部分。
曲线的轮换对称性定理如下:
定理3.1.3设平面分段光滑曲线关于存在轮换对称性,在上有定义且可积,则
3.2对称性在第二类曲线积分计算中的应用
由第二类曲线积分的物理背景为变力做功可知,它与曲线的方向相关,与上述积分对称性的几种结论不同,与第二类曲线积分相关结论如下。
定理3.2.1[12]设为平面上分段光滑的定向曲线,为定义在上的连续函数;
(1)当关于轴对称时:
①若是关于的偶函数,则;
若是关于的奇函数,则
②若是关于的偶函数,则;
若是关于的奇函数,则
(2)当关于轴对称时:
①若是关于的偶函数,则;
若是关于的奇函数,则
②若是关于的偶函数,则;
若是关于的奇函数,则
。
(3)当关于原点对称时:
若,关于为偶函数,则
若,关于为奇函数,则,是的上半或右半平面部分。
(1)(3)证明如下,
(2)证明方法类似于
(1),此处不做重复。
证明
(1)若关于轴对称,设,且令,则
①
若为的偶函数,则
若为的奇函数,则
L1为L在x轴上方部分。
②
若Q(x,y)为y的奇函数,则
若Q(x,y)为y的偶函数,则
L1为L在x轴上方部分。
(3)若关于原点对称时,令,分别为关于原点对称的两部分之一,则,
令的参数方程为,,则的参数方程为,;
则
①如果P(x,y),Q(x,y)关于(x,y)是偶函数,则,
得到;
②如果P(x,y),Q(x,y)关于(x,y)是奇函数,则,
得到。
L1是L的右半或上半平面部分。
综上所述,定理得证。
例3.2.1求解第二类曲线积分,L是椭圆沿顺时针方向。
解因为于原点对称,已知,都是的偶函数,
由上述定理知
相应轮换对称性定理如下
定理3.2.2[12]设是平面上分段光滑的定向曲线,是定义在上的连续函数。
若曲线关于具有轮换对称性,则
例3.2.2求解第二类曲线积分,,沿逆时针方向。
解,已知关于轴对称,关于为偶函数
由上述定理易知,
有题意知关于存在轮换对称性,由上述定理已知,则
4.对称性在曲面积分计算中的应用
4.1对称性在第一类曲面积分中的应用
在第一类曲面积分中,与上述类似,可以利用积分区域的对称性(关于坐标面对称、原点对称、轮换对称)以及被积函数奇偶性,简化计算第一类曲面积分,相关定理如下。
定理4.1.1[13]设分块光滑曲面关于坐标面对称,且在上有定义、可积,则
(1)若是关于的奇函数,则,
(2)若是关于的偶函数,
则
其中
同理得出曲面关于坐标面对称的相应结论。
例4.1.1求解第一类曲面积分,是球面上部分
解
因为曲面关于坐标面对称,且是关于的奇函数,由上定理知
因为曲面关于坐标面对称,且是关于的奇函数,由上定理知
又因为,
则
第一类曲面积分轮换对称性的定理如下
定理4.1.2[12]设分片光滑曲面关于存在轮换对称性,并且在上有定义且可积,即
例4.1.2求第一类曲面积分,为。
解由题意知关于有轮换对称性,则
则
4.2对称性在第二类曲面积分运算中的应用
第二类曲面积分类似于第二类曲线积分,根据其定义及物理背景,推导出对称性在第二类曲面积分中的结论。
定理4.2.1[14]设积分曲面光滑或分段光滑,且,曲面和的法线方向相反,若曲面、关于平面对称,则
(1)若,则;
(2)若,则,为的的部分。
轮换对称性定理在第二类曲面积分中如下:
定理4.2.2[13]设积分曲面光滑或分段光滑,函数在曲面上有定义和可积,若积分曲面∑关于有轮换对称性,则
小结:
通过上述相关定理、定义的陈述和证明,我们可以把与积分相关的对称性统一成一个形式。
现将被积函数用表示,积分区域记为,在区域上在的积分记为,相关定理如下。
定理[15]设是定义为上的连续函数,且具有某种对称性,记的对称点为,则
(1)若;
(2)若;为的一半。
(3)。
(注:
上述定理在第二类曲线积分、第二类曲面积分领域中无效)
5.化积分区域为对称区域的几种方法
以下是当积分区域不具有对称性时,可以用下面方法转化为具有对称性的区域。
方法一重新划分区域,构造对称性
当积分区域不对称时,可以将积分局域重新进行分割划分,使得每个小区域都具有对称性,从而在划分的每个小区域使用上述的方法进行运算求和。
例5.1计算,其中D是由y=2x,y=-2,x=1围城的平面区域。
解:
为使用对称性简化计算,对整个区域D重新划分为和,是上方的部分,是直线下方的部分,易知关于轴对称,关于轴对称,关于和为奇函数。
则
方法二平移变换构造对称性
当积分区域关于某条坐标轴平行时,可以通过平
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- 毕业论文 对称性 简化 积分 运算 中的 应用
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