立体几何题型的解题技巧适合总结提高用.docx
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立体几何题型的解题技巧适合总结提高用
第六讲立体几何新题型的解题技巧
考点1点到平面的距离
例1(20XX年福建卷理)如图,正三棱柱ABCABC的所有棱长都为2,D为CG中点•
(I)求证:
AB1丄平面ABD;
(□)求二面角AA,DB的大小;
(川)求点C到平面ABD的距离.
例2.(20XX年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥
Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.
(I)证明PQ丄平面ABCD;
(n)求异面直线AQ与PB所成的角;
(川)求点P到平面QAD的距离.
考点2异面直线的距离例3已知三棱锥SABC,底面是边长为4._2的正三角形,棱
SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点,求CD与SE间的距离.
考点3直线到平面的距离
例4.
如图,在棱长为
2的正方体ACi中,G是AAi的中点,求
BD到平面GBiDi的距离.
如图,在Rt△AOB中,
考点4异面直线所成的角例5(20XX年北京卷文)
OABn,斜边AB4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB
6
以直线AO为轴旋转得到,且二面角BAOC的直二面角.D是AB的中点.
(I)求证:
平面COD平面AOB;
(II)求异面直线AO与CD所成角的大小.
例6.(20XX年广东卷)如图所示,AF、DE分别是OO、OOi的直径.AD与两圆所在的平
面均垂直,AD=8,BC是OO的直径,AB=AC=6,OE//AD.
(I)求二面角B—AD—F的大小;
(II)求直线BD与EF所成的角.
考点5直线和平面所成的角例7.(20XX年全国卷I理)四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面
AB2,BC22,SASB3.
(I)证明SABC;
(I)求直线SD与平面SAB所成角的大小.
考点6二面角
例8.(20XX年湖南卷文)
如图,已知直二面角PQ,APQ,B直线CA和平面所成的角为30°.
(I)证明BC丄PQ;
(II)求二面角BACP的大小.
例9.(20XX年重庆卷)如图,在四棱锥P—ABCD中,FA底面ABCD,DAB为直角,AB||CD,AD=CD=2AB,E、F分另U为PC、CD的中点.
(I)试证:
CD平面BEF;
(H)设PA=k•AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30,求k的取值范围.
考点7利用空间向量求空间距离和角
例10.(20XX年江苏卷)
如图,已知ABCDABQD,是棱长为3的正方体,
点E在AA,上,点F在CC,上,且AEFC,1.
(1)求证:
E,B,F,D1四点共面;
2
(2)若点G在BC上,BG,点M在BB1上,
3
GM丄BF,垂足为H,求证:
EM丄平面BCC^;
(3)用表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小,求tan
例11.(20XX年全国I卷)如图」1、12是互相垂直的两条异面直线,
11上,C在12上,AM=MB=MN
(I)证明ACNB;
(II)若ACB60,求NB与平面ABC所成角的余弦值
考点8简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、性质,主要以填空、选择题为主,通常结合多面体的定义、性质进行判断
例12.如图
(1),将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚
线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.
例13•如图左,在正三角形ABC中,D、E、F分别为各边的中点,
AD、BE、DE的中点,将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后,
A、90°
B、60°
C、45
例14.长方体ABCD—AiBiCiDi中,
1设对角线DiB与自Di出发的三条棱分别成a、卩、
求证:
cos2a+cos2卩+cos2=1
2设DiB与自D1出发的三个面成a、卩、角,求证:
COS2a+COS2卩+COS2=2
考点9•简单多面体的侧面积及体积和球的计算例15.如图,在三棱柱ABC—AiBiCi中,AB=-..2a,BC=CA=AAi=a,
Ai在底面△ABC上的射影O在AC上
1求AB与侧面ACi所成角;
2若O恰好是AC的中点,求此三棱柱的侧面积
例16.等边三角形ABC的边长为4,M、N分别为AB、AC的中点,沿MN将厶AMN折起,使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°,则四棱锥A—MNCB的体积为()
bV
例18.(20XX年全国卷n)已知圆Oi是半径为R的球0的一
2
个小圆,且圆Oi的面积与球0的表面积的比值为,则线段
9
OOi与R的比值为.
【专题训练与高考预测】
-、选择题
1.如图,在正三棱柱ABC-AiBiCi中,已知AB=1,D在BBi上,且BD=1,若AD与侧面AAiCCi所成的角为,贝U的值为
()
A.-
3
4V10
C.arctan
4
2.直线a与平面成角,a是平面的斜线,b是平面内与a异面的任意直线,则a与b所成的角()
A.最小值,最大值
B.最小值
,最大值一
2
C.最小值,无最大值
D.无最小值,最大值
3.在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成
的另一平面所成的角为()
A.30B.45C.60
4.如图,直平行六面体ABCD-AiBiCiDi的棱长均为2,
BAD60,则对角线AiC与侧面DCCiDi所成的角的正弦值为()
45角,则此直线与二面角
D.90
A.
B-13
D.
3
4
C
Ci
5.已知在ABC中,AB=9,AC=15,
BAC120,它所在平面外一点P到ABC三顶
点的距离都是14,那么点P到平面ABC的距离为()
A.13B.11C.9
6.如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点,则点B到平面AMN的距离是()
9
A.-
2
65
C.
5
B..3
D.2
7•将QMN
60,边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ
折成60的二面角,则
MP与NQ间的距离等于(
3
aD.a
2
3
A.a
2
&二面角I
的平面角为120,在内,ABI于B,AB=2,在内,CDI于D,
CD=3,BD=1,M是棱I上的一个动点,则AM+CM的最小值为()
A.2、5B.22C.26D.26
9.空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q
在线段CD上,则P与Q的最短距离为()
12
A.aB.aC.
22
10.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为a,现有一张正方形包装纸将其完全包
住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为()
11.已知长方体ABCD-AiBiCiDi中,AiA=AB=2,若棱AB上存在点P,使D1PPC,则
棱AD的长的取值范围是(
A.0,i
B.
C.0,2
D.
「2
i2.将正方形角一定不等于
A.
ABCD沿对角线
)
30
D.90
AC折起,使点
B.45
D在平面ABC外,则DB
C.
60
二、填空题
i.如图,正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为i,E是AiBi的中点,
则下列四个命题:
1
E到平面ABCiDi的距离是一;
2
直线BC与平面ABCiDi所成角等于45;
空间四边形ABCDi在正方体六个面内的射影围成
1
面积最小值为一;
2
BE与CDi所成的角为
arcsin
i0
与平面ABC所成的
2.
如图,在四棱柱ABCD---AiBiCiDi中,P是AiCi
上的动点,E为CD上的动点,四边形ABCD满
足时,体积Vaeb恒为定值(写上
你认为正确的一个答案即可)
3.边长为i的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD折起,使得折后二面角B-AD-C为60°,则点A到
BC的距离为,点D到平面ABC的距离
为.
4.在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳,
AM、BN、AB的长度为60cm,在MN处挂长为60cm的木条,MN平行于横梁,木条的中点为O,若木条绕过O的铅垂线旋转60°,则木条比原来升高了
5•多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的•如图正
方体的一个顶点A在平面内•其余顶点在的同侧,
正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是
i、2和4.P是正方体其余四个顶点中的一个,则P到平面的距离可能是:
①3;②4;③5;④6;⑤7.
以上结论正确的为.
(写出所有正确结论的编号)
6.如图,棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔
(不计小孔直径)01、02、03它们分别是所在面的中心•如果恰当放置
容器,容器存水的最大容积是m3
三、解答题
1.在正三棱柱ABC—AiBiCi中,底面边长为
又CM丄ACi;
(1)求证:
CM丄CiD;
(2)求AAi的长.
1
a,D为BC为中点^在BB1上,且BM=-B1M,
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是矩形且AD=2,
AB=PA=.2,PA丄底面ABCD,E是AD的中点,F在PC上.
(1)求F在何处时,EF丄平面PBC;
(2)在
(1)的条件下,EF是不是PC与AD的公垂线段•若是,求出公垂线段的长度;若不是,说明理由;
(3)在
(1)的条件下,求直线BD与平面BEF所成的角•
3.如图,四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB=.3.
(1)求证BCSC;
(2)
求面ASD与面BSC所成二面角的大小;
4.在直角梯形ABCD中,D=BAD=90,AD=DC=1AB=a,(如图一)将厶ADC沿AC折起,
2
使D到D.记面ACD为,面ABC为.面BCD为.
(1)若二面角AC为直二面角(如图二),求二面角BC的大小;
2)若二面角AC为60(如图三),求三棱锥DABC的体积.
图一
图二
图三
段EF的中点.
5.
如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,ABi2,AF=1,M是线
(1)求证AM//平面BDE;
(2)求二面角ADFB的大小;
3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与
BC所成的角是60.
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