概率论与数理统计练习题集及答案.docx
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概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案
一、选择题:
1某人射击三次,以A表示事件“第i次击中目标”,则事件“三次
中至多击中目标一次”的正确表示为()
(A)A1a2a3(B)AA2A民AA
(C)AiA2A3AiA2A3AiA2A3(D)A|A2A3
2.掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为()
(A)話(B)善(C)3(D)密
36363636
3.
设随机事件A与B互不相容,且P(A)0,P(B)■0,则()
(D)P(AB)=1
5.下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是(
fY(y)为()
(A)2fx(—2y)
(B)fxG_2)
(C)—-fx(-舟)
(D)1fxG|)
7.已知二维随机向量(X,Y)的分布及边缘分布如表
Y
X
X
y1y2乂
Pi
X1
a1/8b
c,且X与丫相互独立,则h=()
X2
18de
f
Y
Pj
16gh
1311
(A)1(B)3(C)1(D)1
8843
&设随机变量X~U[1,5],随机变量Y~N(2,4),且X与丫相互独立,贝卩E(2XY-Y)=()
(A)3(B)6(C)10(D)12
9.设X与丫为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若
EXY二EXEY,则下列结论不正确的是()
(A)X与Y相互独立(B)X与Y不相关(C)cov(X,Y)=0
(D)D(XY)二DXDY
答案:
1.B2.A3.D4.A5.B6.D
7.D8.C9.A
1.某人射击三次,以Ai表示事件“第i次击中目标”,则事件“三次
中恰好击中目标一次”的正确表示为(C)
(A)A1a2A3(B)AA2AAsAA
(D)AA2A
(C)AA2AsAAAsAA2人
2.将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为(A)
(A爹(B)星(C马(D)Z
42c2A4!
3.设随机事件A与B互不相容,且P(A)0,P(B).0,则(D)
(A)P(A|B)二P(A)
(B)P(AB)=P(A)P(B)(C)P(A|B)=P(A)
P(B)
(D)P(A|B)=0
4.随机变量X的概率密度为f(x)=」
2x
0
:
其^a),则EX=(A)
(A)2(B)1(C)8
33
(D)16
3
5.随机变量X的分布函数F(gAo"X)e:
;0,则A=(B)
(A)0(B)1(C)2(D)3
6.已知随机变量X的概率密度为fX(x),令Y=-3X,则Y的概率密度fY(y)为(D)
(A)3fx(,y)(B)fx(-彳)(C)一1fx(-舟)(D)1fx(-舟)
33333
7.已知二维随机向量(X,Y)的分布及边缘分布如表
Y
X
X
yiy2ya
Pi
:
i
a1/8b
c,且X与Y相互独立,则e=(B)
:
2
1.8de
f
Y
Pj
16gh
(A)8(B)4(C)3(D)1
(A)-14
(B)13
(C)40
(D)41
松分布,则D(X-2Y1).(C)
9.设(X,Y)为二维随机向量,则X与丫不相关的充分必要条件是(D)
(A)X与丫相互独立(B)E(XY)二EXEY(C)DXY二DXDY
(D)EXY二EXEY
一、填空题
1.设A,B是两个随机事件,P(A)=0.5,P(AB)=0.8,
(1)若A与B
互不相容,则P(B)=;
(2)若A与B相互独立,则
P(B)=——
2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球(不放回).已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为.
3.设离散型随机变量X的概率分布为P「X二k;=3ak,k=1,2,…,则常数a二.
4.设随机变量X的分布函数为
r0,x7
F(x)=[ax2,0_x_2
1,x>2
贝帰数a=,P{VX:
:
:
3}=.
5.设随机变量X的概率分布为
X
-1
0
1
P
0.
3
0.5
0.2
贝SE(3X23)=.
4
6.如果随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,且E(X)=3,D(X)二芒,
3
贝Ha=,b=
7.设随机变量X,Y相互独立,且都服从参数为0.6的0-1分布,则
P{X=Y}=.
8.设X,Y是两个随机变量,E(X)=2,E(X2)=20,E(Y)=3,
E(Y2)=34,*=0.5,则D(X-Y)=.
答案:
1113
1.0.3,0.62.丄3.丄4.-,5.
3444
4.56.1,5
1.设A,B是两个随机事件,
P(A)=0.3,P(AB)=P(AB),贝卩
7.0.528.21
P(B)=.—
2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率
依次为0.8,0.7,0.6,则密码能译出的概率为.
k
3.设随机变量X的概率分布为P{X二k}二一,k=1,2,3,4,5,则
15
3V11
P{X}=.—
23
|0,x7
4.设随机变量X的分布函数为F(x)二sinx,0U,则
I2
In
1,x-
L2
..兀
P{X6八
1
5.设随机变量X服从[1,3]上的均匀分布,则丄的数学期望
X
为.
6.设随机变量Xi,X2相互独立,其概率分布分别为
X1
1
2
X2
1
2
P
1
2
P
1
2
3
3
3
3
贝ypg二X2}=.
7.设X,丫是两个随机变量,X~N(0,32),Y~N(1,42),X与Y相
互独立,则X•Y~—
8.设随机变量Xi,X2相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,则
D(3Xi-X2)=
9.设随机变量X和Y的相关系数为0.5,E(X)=E(Y)7,
E(X2)=E(Y2)=2,贝HE(XY)2=
答案:
1.0.7
2.0.976
3.
1
4.0.5
5.
丄1门3
2
3
6.5
9
7.
N(1,52)
8.
5
6
9.6
二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地
选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.
(1)求取到的是白球的
概率;
(2)若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.
解:
设事件A表示该球取自第i个箱子(i=1,2,3),事件B表示取
到白球.
31
P(B)=EP(A)P(B|AJ=衬
i討3
P(AJP(B|A?
)/看4
P(B)「召「11
三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是0.2.在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元;若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元;
若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损0.5万元.求该厂一
天可获取的平均利润.
设随机变量X表示该厂一天所获的利润(万元),则X可能取
2,1,-0.5,且
P{X=2}=0.8^0.512,
P{X=1}=C3汉0.2江0.82=0.384,
P{X—0.5}=1-0.512-0.384=0.104.
所以E(X)=20.51210.384(-0.5)0.104=1.356(万元)
由fx(x)fY(y)二f(x,y)知随机变量X,Y相互独立.
五、设随机变量X的密度函数为fx(X)「
「2
着。
其它1,求随机变量
'4xv0兰xwlOwv兰1
四、设随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=」V,廿二V.0,其匕
(1)求P{X:
:
Y};
(2)求X,Y的边缘密度,并判断X与丫的独立性.
解:
讼n04xydy=2x,
fx(x)=_f(x,y)dy二0''
其它
Y=2X1的密度函数.
y-1y-1
”Fx(T)
解法一:
Y的分布函数为
Fy(v)二P{Y乞y}二P{2X1空y}二P{X乞
两边对y求导,得
解法二:
因为y=2x・1是0沁叮上单调连续函数,所以
注:
x=h(y)=F为y=2x1的反函数。
二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为2:
3:
5.已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为3%,4%,2%.现从三人生产的零件中任取一个.
(1)求该零件是次品的概率;
(2)若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.
解:
设事件A!
A2,A3分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件
B表示取到的零件是次品.
(1)—3%?
4%—2%=0.028;
3
P(B)二送P(A)P(B|AJ=
i4
P(A|B)二
101010
P(AB)_P(A)P(B|A)_0.23%卫
P(B)P(B)0.02814
三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6.现从中任取2
个球,用X表示取到的两个球的最大编号.
(1)求随机变量X的概率分布;
(2)求EX.
解:
X可能取2,3,4,5,6,且
所以X的概率分布表为
X
2
3
4
5
6
P
1/15
2/15
1/5
4/15
1/3
x0兰xE10^V兰2
四、设随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=」’廿二
、0,其匕
(1)求P{XY乞1};
(2)求X,Y的边缘密度,并判断X与丫的独立性.
(3)
解:
由fx(x)fY(y)二f(x,y)知随机变量X,Y相互独立.
fY(y)二fX(h(y))|
dh(y)
dy
丄,0^h(y)二》1乞3,即一1 93 0,其它 五、设随机变量X服从区间[0,3]上的均匀分布,求随机变量Y=3X-1的密度函数. 口/3,0兰xw3 解法一: 由题意知fX(x)=」廿宀.Y的分布函数为 、0,其它 V+1V+1 FY(y)=P{丫乞y}=P{3X-仁y}=P{X空—}=FxC一),33 两边对y求导,得 解法二: 因为V=3x—1是0沁乞3上单调连续函数,所以 注: x=h(y)=以为y=3x-1的反函数。 3 ^三、 已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为0.05,一个次品被误判为合格品的概率是 0.04.求: (1)任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率; (2)—个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率. 解: 设Ai二“确实为合格品”,A二“确实为次品”,B二“判为合 格品” (1)P(B)二P(A)P(B|AJP(A2)P(B|A2) 二0.90.950.10.04=0.859 P(A,)P(B|A) (2)P(A|B)110.9953 P(B) 四、 (1)边缘密度函数fx(x)和fy(y); (2)判断X与丫是否相互独立,并说明理由; P{XY: : : 1}. f(x,y)二 』2ye 0 -x xRO’Ocy"求: 其他,求: 四、 (1)边缘密度函数fx(x)和fY(y); (2)判断X与丫是否相互独立,并说明理由; (3)P{X: : Y}• •1 解: (1) fx(x)=J: f(x,y)dy="2代詢 -He Jf(x,y)dx=」 02ye」dx 0£y£1一. 0 其他— 0: : : y: : : 1 其他 fY(y) 0 0 (2)「f(x,y)=fx(x)fY(y).X与丫独立 11 (3)P{XcY}=0[2ye」dxdy=4e,一1 、单项选择题 1.对任何二事件A和B,有P(A—B)= C.P(B/A)=1 D. P(A/B)=P(A) 3.甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为(C)(甲乙至少有一个击中) 0.85 4.设随机变量X的概率分布为 X 1 2 3 4 P 1/6 a 1/4 b 12 a,b= 1215 则a, b可以是( D )(归一性). A. 11a,b=— B. 15C a,bC. 64 1212 1, 1 a,b ——— 4 3 5.设函数f(x"005' a_x_b D. 是某连续型随机变量 X的概率密度, 则区间[a,b]可以是( B)(归一性). A.[0,1]B. [0,2]C.[0,.2] D. 其它 [1,2] 7.设随机变量X服从二项分布B(n,p),则有(D)(期望和方差的性质). D.n二12,p二0.4 9. 设随机变量XUN(1,4),则下式中不成立的是(B) P{X<1}-0.5 (方差的计算公式) 3 11.设随机变量X的密度函数为仁羽二严“°*》1,且ex=Q则.°,其它 (A)(归一性和数学期望的定义). 12.设随机变量X服从参数为0.2的指数分布, 则下列各项中正确的 D. B.a--1,b=1 是(A) C.E(X)=0.2,D(X)=4D. E(X)=2,D(X)=0.25 13.设(X,Y)为二维连续型随机变量,则X与丫不相关的充分必要条件是(D). A.X与丫相互独立B.E(XY^E(X)E(Y) C.E(XY)二E(X)E(Y)D.(X,Y)LN(叫』2打,扛,0) 二、填空题 1.已知P(A)=0.6,P(A-B)=0.3,且A与B独立,贝SP(B)=05. 2.设代B是两个事件,P(A)=0.5,P(A_.B)=0.8,当A,B互不相容时, P(B)= 0.3;当A,B相互独立时,P(B)=3. 5 3.设在试验中事件A发生的概率为p,现进行n次重复独立试验,那么事件A至少发生一-次的概率为1一(1—p)n. 4.一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2 次才抽得次品的概率P=—. 45 5.随机变量X的分布函数F(x)是事件P(X^x)的概率. 6.若随机变量X~n(72)(匚0),则X的密度函数为 7.设随机变量X服从参数二=2的指数分布,则X的密度函数f(x)=_ ;分布函数F(x)=. 8.已知随机变量X只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为 -,-,-,则c=2(归一性). 2c3c6c 9.设随机变量X的概率密度函数为f(x)二’O: : : 1,贝y,=_j_ 10,其它— (归一性). 10.设随机变量X〜N(2,c2),且P{2: : : X: : : 3}=0.3,则P{X: : : 1=_ 0.2 P{2: : : X: : : 3}=P{匕二2} CJCJCT =心(丄)一: : 」(0)=0.3,又: : 」(0)=0.5,.: : 」(-)=0.8, x—21—2年1丰1 P{X: : 1}P{}=「()=1一.: 」(_)=0.2 aacra 11.设随机变量X〜N(1,4),©(0.5)=0.6915,©(1.5)=0.9332, 则P{|X|>2}=0.3753. P{|X|>2}=1-P{|X|乞2}=1-P{-2辽X乞2} —2—1X—12—1X—1 =1-P{}=1-P{-1.50.5} 2222 =1-(: 」(0.5)-门(-1.5)),又: : 」(一1.5)=1-「(1.5)=1-0.9332=0.0668 .P{|X|>2}=1一(门(0.5)-门(一1.5)) =1-(0.6915-0.0668)=0.3753 12.设随机变量X~N(s,二12),Y~N(「2,二;),且X与Y相互独立,则X+Y~N(叫」2,二;V)分布. 13.设随机变量X的数学期望EX和方差DX0都存在,令 Y=,则EY=0: DY=1. .DX 14.若X服从区间[0,2]上的均匀分布,则E(X2)=4/3. 15.若X〜B(4,0.5),贝yD(2-3X)二9 2 17.设随机变量X的概率密度f(x)二3x,°: 工, I0,其它 E(X)二,D(X)二. 18.设随机变量X与Y相互独立,DX=1,DY=3,则 D(3X-2Y1D(3X)D(Y)D)人)=21Y 二、计算题 1.设随机变量X与Y独立,X~N(1,1),Y~N(2,22),且*=0.2,求随机变量函数Z=2X—3Y的数学期望与方差. 四、证明题 1.设随机变量X服从标准正态分布,即X〜N(0,1),Y=X2,证明: fY(y)=-;ye 0, _y 一2 y0 y_o Y的密度函数为 五、综合题 1.设二维随机变量(X,Y)的联合密度为 厂2 6xy, 0: : x: 1,0: : y: : 1其它 求: (1)关于X,Y的边缘密度函数; (2)判断X,丫是否独立; (3)求P{XY}. Welcome! ! ! 欢迎您的下载, 资料仅供参考!
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