中考数学专题中考数学总复习《第20讲特殊的平行四边形》同步讲练.docx

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中考数学专题中考数学总复习《第20讲特殊的平行四边形》同步讲练

第20讲　特殊的平行四边形

一、选择题

1．（2017·兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝（　B　）

A．5B．4C．3.5D．3

2．（2017·上海）已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（　C　）

A．∠BAC＝∠DCAB．∠BAC＝∠DAC

C．∠BAC＝∠ABDD．∠BAC＝∠ADB

3．（2017·益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（　C　）

A．对角线互相平分

B．对角线互相垂直

C．对角线相等

D．既是轴对称图形又是中心对称图形

4．（2017·海南）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是（　C　）

A．14B．16C．18D．20

第4题图　　　第5题图

5．（2017·聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　D　）

A．AB＝ACB．AD＝BD

C．BE⊥ACD．BE平分∠ABC

6．（2017·绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（　C　）

A．7°B．21°C．23°D．24°

7．（2017·黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　A　）

A．60°B．67.5°C．75°D．54°

第6题图第7题图

二、填空题

8．（2017·菏泽）菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24cm，则菱形的面积为　18

　cm2.

9．（2017·孝感）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为　

　.

第9题图　第10题图

10．（2017·六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝　75　度．

11．（2017·兰州）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：

①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是　①③④　.

12．（2017·哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为　

　.

三、解答题

13．（2017·安顺）如图，DB∥AC，且DB＝

AC，E是AC的中点．

（1）求证：

BC＝DE；

（2）连接AD，BE，若要使四边形DBEA是矩形，则应给△ABC添加什么条件，为什么？

（1）证明：

∵E是AC的中点，

∴EC＝AE＝

AC.

∵DB＝

AC，

∴DB＝EC.

又∵DB∥EC，

∴四边形DBCE是平行四边形，

∴BC＝DE.

（2）解：

添加AB＝BC（或∠A＝∠C）．

理由如下：

如解图所示．

由

（1）知DB＝AE，DB∥AE，

∴四边形DBEA是平行四边形．

∵BC＝DE，AB＝BC，

∴AB＝DE.

∴平行四边形DBEA是矩形．

14．（2017·北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.

（1）求证：

四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．

（1）证明：

∵AD＝2BC，E为AD的中点，

∴DE＝BC.

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE为平行四边形．

∵∠ABD＝90°，AE＝DE，

∴BE＝DE，

∴四边形BCDE为菱形；

（2）解：

如解图所示．

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，

∴AB＝BC＝1.

∵AD＝2BC＝2，

∠ABD＝90°，

∴sin∠ADB＝

＝

，

∴∠ADB＝30°，

∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，∠ACD＝90°.

在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，

由勾股定理得AC＝

＝

＝

.

15．（2017·陕西）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE交于点G.求证：

AG＝CG.

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADF＝∠CDE＝90°，AD＝CD.

∵AE＝CF，

∴DE＝DF，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴∠DAF＝∠DCE.

在△AGE和△CGF中，

∴△AGE≌△CGF（AAS），

∴AG＝CG.

16．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且AF＝DF.

（1）求证：

四边形ADCE是平行四边形；

（2）当AB，AC之间满足__________时，四边形ADCE是矩形；

（3）当AB，AC之间满足__________时，四边形ADCE是正方形．

（1）证明：

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD.

∵AE∥BC，

∴∠AEF＝∠DBF，

在△AFE和△DFB中，

∴△AFE≌△DFB（AAS），

∴AE＝DB，

∴AE＝CD.

∵AE∥BC，即AE∥CD，

∴四边形ADCE是平行四边形；

（2）解：

AB＝AC；

【提示】∵四边形ADCE是矩形，∴∠ADC＝90°.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，易证△ADB≌△ADC（SAS），∴AB＝AC.

（3）解：

AB⊥AC，AB＝AC.

【提示】∵四边形ADCE是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∠ACD＝45°.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，易证△ADB≌△ADC（SAS），∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACD＝45°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.

17．（2017·青岛）已知：

如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.

（1）求证：

△BCE≌△DCF；

（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？

请说明理由．

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD.

∵点E，F分别为AB，AD的中点，

∴AE＝BE＝DF＝AF.

在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）解：

当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．

理由如下：

∵E，O分别是AB，AC的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE∥BC.

又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF，

同理可证OF∥AE，

∴四边形AEOF是平行四边形．

由

（1）可得AE＝AF，

∴平行四边形AEOF为菱形．

∵AB⊥BC，∴∠BAD＝90°，

∴菱形AEOF是正方形．

一、选择题

1．（2017·绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2

，∠AEO＝120°，则FC的长度为（　A　）

A．1B．2C.

D.

第1题图　　第2题图

2．（2017·河北）求证：

菱形的两条对角线互相垂直．

已知：

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.

求证：

AC⊥BD.

以下是排乱的证明过程：

①又BO＝DO；

②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；

③∵四边形ABCD是菱形；

④∴AB＝AD.

证明步骤正确的顺序是（　B　）

A．③→②→①→④B．③→④→①→②

C．①→②→④→③D．①→④→③→②

3．（2017·苏州）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为（　A　）

A．28

B．24

C．32

D．32

－8

第3题图　第4题图

4．（2017·泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：

①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC.其中正确结论的个数为（　D　）

A．1B．2C．3D．4

5．（2017·广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：

①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF.其中正确的是（　C　）

A．①③B．②③

C．①④D．②④

二、填空题

6．（2017·怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为　（10

－10）　cm.

三、解答题

7．（2017·广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．

（1）求证：

AD⊥BF；

（2）若BF＝BC，求∠ADC的度数．

（1）证明：

连接DB，DF，如解图所示．

∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA.

在△BAD与△FAD中，

∴△BAD≌△FAD（ASA），

∴DB＝DF，

∴点D在线段BF的垂直平分线上．

∵AB＝AF，

∴点A在线段BF的垂直平分线上，

∴AD是线段BF的垂直平分线，

∴AD⊥BF；

（2）解：

设AD⊥BF于点H，过点D作DG⊥BC于点G，如解图所示，则四

边形BGDH是矩形．

∴DG＝BH＝

BF.

∵BF＝BC，BC＝CD，

∴DG＝

CD.

在Rt△CDG中，∵∠CGD＝90°，DG＝

CD，

∴∠C＝30°.

∵BC∥AD，

∴∠ADC＝180°－∠C＝150°.

8．如图，正方形ABCD的边长为4cm，两动点P，Q分别同时从D，A出发，以1cm/s的速度各自沿着DA，AB边向A，B运动（不与端点D，A，B重合）．试解答下列各题：

（1）当P出发__________s时，△PDO为等腰三角形；

（2）①当P，Q出发__________s时，四边形PDOQ为平行四边形；

②当P，Q出发__________s时，四边形APOQ为正方形．

解：

（1）2或2

；

【提示】　设当P出发ts时，△PDO为等腰三角形，有PD＝PO，OP＝

OD，DP＝DO三种情况．当PD＝PO时，∵四边形ABCD是正方形，∴AO

＝DO，∠ADB＝45°，∴∠POD＝45°，∠DPO＝90°，即OP⊥AD，∴DP

＝AP＝

AD＝2，∴t＝

＝2；当OP＝OD时，此时点P与点A重合，不符

合题意，此种情况不存在；当DP＝DO时，在Rt△ABD中，BD＝

＝4

，∴DP＝DO＝

BD＝2

，∴t＝

＝2

；

（2）①2；

【提示】　设当P，Q出发ts时，四边形PDOQ为平行四边形．∵四边形

ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BAO＝45°，点O是BD的中点．∵四

边形PDOQ为平行四边形，∴OQ∥PD，∴∠AQO＝90°，∴△AQO是等腰

直角三角形，∴AQ＝OQ.∵OQ∥AD，点O是BD的中点，∴AQ＝OQ＝

AD

＝2，∴t＝

＝2；

②2.

【提示】　设当P，Q出发ts时，四边形APOQ为正方形．∵四边形APOQ

为正方形，∴AP＝AQ.∵DP＝AQ，∴DP＝AP＝

AD＝2，∴t＝

＝2.