隐函数求导公式的证明精选6篇.docx

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隐函数求导公式的证明精选6篇

隐函数求导公式的证明（精选6篇）

以下是网友分享的关于隐函数求导公式的证明的资料6篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一：

反三角函数求导公式的证明一

一、反函数的导数

设x

在间Ix假定x=ϕ（y）在Iy内单调、可导，而且ϕ’（y）≠0，则反函数y=f（x）=ϕ（y）是直接函数，y=f（x）是它的反函数，={x|x=ϕ（y）,y∈Iy}内也是单调、可导的，而且f‘（x）=1ϕ’（y）证明：

∀x∈Ixx，给

于是x以增量x（x≠0,x+x∈Ix）由y=因直接函数xf（x）在Ix上的单调性可知y=f（x+x）-f（x）≠0xy1=xy=ϕ（y）在Iy上单调、可导，故它是连续的，且反函数y=f（x）在Ix上也是连续的，

当x→0时，必有y→01∆y11即：

f‘（x）==lim=x→0∆xx→0yϕ’（y）ϕ’（y）

xlim

【例1】试证明下列基本导数公式

（1）（arcsinx）’=

（2）（arctanx）’=11+x2（3）（logax）’=1xlna

证1、设x=siny为直接函数，y=arcsinx是它的反函数函数x=siny在Iy=（-

有（arcsinx）’==（-1,1）上，ππ,）上单调、可导，且x‘=cosy≠022因此，在Ix1cosy注意到，当y∈（-ππ,）时，cosy>

0，cosy==22

因此，

（arcsinx）’=

证2设x

1,）则y=arctanx,Ix=（-∞,+∞）x=tany在Iy上单调、可导且x‘=>0故222cosy111（arctanx）’==cos2y==（tany）’1+tan2y1+x2=tany，Iy=（-ππ

证3（logax）’=11=（ay）’aylna

类似地，我们可以证明下列导数公式：

（arccosx）’=（arctanx）’=-11+x2（lnx）’=1x

二、复合函数的求导法则

如果u=ϕ（x）在点x0可导，而y=f（u）在点u0=ϕ（x0）可导，则复合函数y=f[ϕ（x）]在点x0可导，且导数为dy=f‘（u0）∙ϕ’（x0）dxx=x0

证明：

因u→∞lim=f‘（u0），由极限与无穷小的关系，有y=f‘（u0）u+αu（当u→0时，α→0）

用x

由u≠0去除上式两边得：

dyuu=f‘（u0）∙+αdxxx,=ϕ（x）在x0的可导性有：

x→0⇔u→0limα=limα=0

x→∞u→∞

∆y∆u∆u∆u∆u=lim[f‘（u0）∙+α]=f‘（u0）∙lim+limα∙limx→∞∆xx→∞x→0∆xx→0x→0∆x∆x∆xlimdy=f‘（u0）∙ϕ’（x0）dxx=x0

上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：

若u=ϕ（x）在开区间Ix可导，y=f（u）在开区间Iu可导，且∀x∈Ix时，对应的

dydydu=∙

（2）u∈Iu，则复合函数u=f[ϕ（x）]在Ix内可导，且dxdudx

y=f{φ[ϕ（x）]}，求

引入中间变量，设v

变量关系是【例2】dydx=φ（x）,u=ϕ（v），于是y=f（u）y-u-v-x，由锁链规则有：

dydydudv=∙∙dxdudvdx

【例3】求y=sin2x的导数dy。

dx

解：

设u=2x，则y=sinu，u=2x：

dydydu=∙=（sinu）’∙（2x）’=2cos2xdxdudx

【例4】设y=lntgxdy，求。

2dx

y‘=11∙=2sinxtgcos2

22∙

u11【例5】证明幂函数的导数公式（x）’=uxu-1，（u为实数）。

1=uxu-1x证明：

设y=xu=eulnxy‘=eulnx（ulnx）’=eulnx∙u∙

篇二：

反三角函数求导公式的证明

反三角函数求导公式的证明

§2.3反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数

I

设x=ϕ（y）是直接函数，y=f（x）是它的反函数，假定x=ϕ（y）在y内单调、可

I={x|x=ϕ（y）,y∈Iy}

导，而且ϕ’（y）≠0，则反函数y=f（x）在间x内也是单调、可

导的，而且

f‘（x）=

1

ϕ’（y）

（1）

（∆x≠0,x+∆x∈Ix）证明：

∀x∈Ix，给x以增量∆x

由y=f（x）在Ix上的单调性可知

∆y=f（x+∆x）-f（x）≠0

∆y∆x

=

1

∆y因直接函数x=ϕ（y）在Iy上单调、可导，故它是连续的，∆x

于是

且反函数y=f（x）在Ix上也是连续的，当∆x→0时，必有∆y→0

∆y∆x

1∆x∆y

1

∆x→0

lim=lim

∆y→0

=

ϕ’（y）

f‘（x）=

1

即：

ϕ’（y）

【例1】试证明下列基本导数公式

1-x

（2）.（arctgx）‘=（3）.（loga

x

2

（1）.（arcsinx）‘=

1

）‘=

1+x

1xlna

2

证1、设x=siny为直接函数，y=arcsinx是它的反函数

函数x=siny在

Iy=（-

ππ

）

22上单调、可导，且x‘

=cosy≠0

因此，在Ix=（-1,1）上，有

1cosy

（arcsinx）‘=

注意到，当

y∈（-

ππ

）

22时，cosy>0，cosy=

-sin

2

y=-x

2

（arcsinx）‘=

1-x

2

因此，

证2设x=tgy，

Iy=（-

ππ

22

则y=arctgx，Ix=（-∞,+∞）

1cos

2

x=tgy在Iy上单调、可导且

x‘=

y

>0

1

（arctgx）‘=

1（tgy）‘

=cos

2

y=

11+tgy

2

=

故

（loga）‘=

x

1+x

2

1（a）‘

y

=

1alna

y

=

1xlna

证3

类似地，我们可以证明下列导数公式：

（arccosx）‘=-（arcctgx）‘=-（lnx）‘=

1x

1

1-x1+x

2

2

二、复合函数的求导法则

如果u=ϕ（x）在点x0可导，而y=f（u）在点u0=ϕ（x0）可导，则复合函数

y=f[ϕ（x）]在点x0可导，且导数为

dydx

x=x0

=f‘（u0）⋅ϕ’（x0）

证明：

因

∆u→0

lim

∆y∆x

=f‘（u0）

，由极限与无穷小的关系，有

∆y=f‘（u0）∆u+α⋅∆u（当∆u→0时,α→0）

用∆x≠0去除上式两边得：

∆y∆x

∆u∆x

∆u∆x

=f‘（u0）⋅

+α⋅

x由u=ϕ（x）在0的可导性有：

limα=limα=0

∆u→0

∆x→0⇔∆u→0，∆x→0lim

∆y∆x

=lim[f‘（u0）⋅

∆x→0

∆u∆x∆u∆x

∆x→0

+α⋅

∆u

]

∆x

∆u∆x

=f‘（u0）⋅lim

∆x→0

+limα⋅lim

∆x→0

∆x→0

=f‘（u0）⋅ϕ’（x0）

dy

即

dx

=f‘（u0）⋅ϕ’（x0）

x=x0

上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：

若u=ϕ（x）在开区间Ix可导，y=f（u）在开区间Iu可导，且∀x∈Ix时，对应的u∈Iu，则复合函数y=f[ϕ（x）]在Ix内可导，且

dydx

dydu

du

dx

（2）

=⋅

复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：

弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。

dy

【例2】y=f{ϕ[φ（x）]}，求dx

引入中间变量，设v=φ（x），u=ϕ（v），于是y=f（u）变量关系是y-u-v-x，由锁链规则有：

dy

dydudv=⋅⋅dxdudvdx

（2）、用锁链规则求导的关键

引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。

还应注意：

求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。

dy

【例3】求y=sin2x的导数dx。

解：

设u=2x，则y=sinu，u=2x，由锁链规则有：

dydx

=

dydu⋅=（sinu）‘⋅（2x）‘=（cosu）⋅2=2cos2xdudx

x

dy

y=lntg

【例4】设

2，求dx。

dy

=dydu

⋅dudv⋅dvdx

=1u⋅

1cos

2

由锁链规则有

=

1tgx2⋅

1cos

2

dx

12

v

⋅

12

（基本初等函数求

x2

⋅

导）（消中间变量）

=

1sinx

由上例，不难发现复合函数求导窍门

中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。

然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。

请看下面的演示过程：

dydx

=（lntg

x2

）‘=

1tg12

x2

⋅（tg

x2

）‘=

1tg1x2

⋅

1cos

2

x⋅（）‘x22

1

=

1tg

x2

⋅

1cos

2

x2

⋅⋅（x）‘=

tg

x2

⋅cos

2

x2

=⋅2

sinx

μ-1

（x）‘=μ⋅x【例5】证明幂函数的导数公式

μ

，（μ为实数）。

证明：

设y=x

μ

=e

μ⋅lnx

y‘=e

μlnx

⋅（μlnx）‘=e

μlnx

⋅μ⋅

1x

=μ⋅x

μ-1

篇三：

反三角函数求导公式证明

§2.3反函数的导数，复合函数的求导法则

一、反函数的导数

I设x=ϕ（y）是直接函数，y=f（x）是它的反函数，假定x=ϕ（y）在y内单调、可导，而且ϕ’（y）≠0，则反函数y=f（x）在间

Ix={x|x=ϕ（y）,y∈Iy}

f‘（x）=

证明：

∀x内也是单调、可导的，而且1ϕ’（y）

（1）∈Ix，给x以增量∆x（∆x≠0,x+∆x∈Ix）

由y=f（x）在Ix上的单调性可知

∆y=f（x+∆x）-f（x）≠0

∆y1=∆x∆xI∆y因直接函数x=ϕ（y）在Iy上单调、可导，故它是连续的，且反函数y=f（x）在x上也是连续的，当∆x→0时，于是

必有∆y→0

∆y11=lim=∆x→0∆x∆y→0∆x1ϕ’（y）f‘（x）=∆yϕ’（y）即：

lim

【例1】试证明下列基本导数公式-x2

1

（2）.（arctgx）‘=1+x2

1（3）.（logax）‘=xlna

证1、设x=siny为直接函数，y=arcsinx是它的反函数

（1）.（arcsinx）‘=1

Iy=（-,x=siny22上单调、可导，且x‘函数在

因此，在ππ=cosy≠0Ix=（-1,1）上，有1

cosy（arcsinx）‘=

y∈（-22cosy=-siny=-xcosy>022时，注意到，当，ππ

（arcsinx）‘=

因此，1-x2

证2设x=则tgy，Iy=（-2,2）y=arctgx，Ix=（-∞,+∞）

x‘=1>02cosyππx=tgy在Iy上单调、可导且

（arctgx）‘=

故

111=cos2y==（tgy）‘1+tg2y1+x2

（logax）‘=

证3111==（ay）‘aylnaxlna

类似地，我们可以证明下列导数公式：

（arccosx）‘=-1

-x2

1（arcctgx）‘=-1+x2

1（lnx）‘=x

二、复合函数的求导法则

u=ϕ（x0）可导，则复合函数y=f[ϕ（x）]在点x0可导，且导数为如果u=ϕ（x）在点x0可导，而y=f（u）在点0

dy=f‘（u0）⋅ϕ’（x0）dxx=x0

lim∆y=f‘（u0）∆u→0∆x证明：

因，由极限与无穷小的关系，有

∆y=f‘（u0）∆u+α⋅∆u（当∆u→0时,α→0）

用∆x≠0去除上式两边得：

∆y∆u∆u=f‘（u0）⋅+α⋅∆x∆x∆x

由u=ϕ（x）在x0的可导性有：

∆x→0⇔∆u→0，∆x→0

limlimα=limα=0∆u→0∆y∆u∆u=lim[f‘（u0）⋅+α⋅]∆x→0∆x∆x→0∆x∆x

∆u∆u=f‘（u0）⋅lim+limα⋅lim∆x→0∆x∆x→0∆x→0∆x

=f‘（u0）⋅ϕ’（x0）dy=f‘（u0）⋅ϕ’（x0）dxx=x0即

上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：

I若u=ϕ（x）在开区间x可导，y=f（u）在开区间Iu可导，且∀x∈Ix时，对应的u∈Iu，则复合函数y=f[ϕ（x）]在Ix内可导，且

dydydu=⋅dxdudx

（2）

复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：

弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。

【例2】y=dyf{ϕ[φ（x）]}，求dx

=φ（x），u=ϕ（v），于是y=f（u）引入中间变量，设v

变量关系是y-u-v-x，由锁链规则有：

dydydudv=⋅⋅dxdudvdx

（2）、用锁链规则求导的关键

引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。

还应注意：

求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。

dy

【例3】求y=sin2x的导数dx。

解：

设u=2x，则y=sinu，u=2x，由锁链规则有：

dy

dx=dydu

du⋅dx=（sinu）‘⋅（2x）‘=（cosu）⋅2=2cos2x

y=lntgxdy

【例4】设2，求dx。

dydydudv1=1⋅1⋅1

由锁链规则有dx=du⋅dv⋅dx=u⋅1

cos2v⋅1

2tgx2（基本初等函数求导）2cosx2

2

由上例，不难发现复合函数求导窍门

中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。

然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。

请看下面的演示过程：

dyx1x

dx=（lntg2）‘=1⋅1⋅x

tg⋅（tg2）‘=2tg2cos2

（2）‘

2

=1⋅1⋅1⋅（x）‘1

tgxx=1

2cos2x2=x

2tg2⋅cos2⋅2sinx

2

【例5】证明幂函数的导数公式（xμ）‘=μ⋅xμ-1，（μ为实数）。

证明：

设y=xμ=eμ⋅lnx

y‘=eμlnx⋅（μlnx）‘=eμlnx⋅μ⋅1=μ⋅xμ-1

x

=1消中间变量）sinx（

篇四：

指数函数exp（x）的求导证明

在高中时，指数函数e的导数为其本身，我觉得这个性质非常奇妙，可书上只有一个等式，并没有给出证明，我那时候百思不得其解。

上大学后，书上也没有明确给出其严格的证明。

下面是我的证明方法，当然要用到极限的概念。

首先，自然对数的定义为：

x

e=lim（1+x）x→01x

则

11ln（1+x）⎡⎤1=lne=ln⎢lim（1+x）x⎥=limln（1+x）x=limx→0x→0x→0x⎣⎦

注意到上式中的最后一个式子，令ln（1+x）=t

则有x=e-1，且当x→0时，t→0，所以t

limln（1+x）⎛t⎫=limt⎪=1x→0t→0x⎝e-1⎭

最后，根据导数的定义，即有

ex+∆x-exexe∆x-1e∆x-1xe=lim=lim=elim=ex∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆x∆xx（）（）

得证。

篇五：

内容提要一隐函数求导公式

习题课（§8.5--§8.8）

一、内容提要

1．隐函数求导公式

2．空间曲线的切线与法平面

3．曲面的切平面与法线

4．方向导数及其计算公式

5．梯度及其坐标表达式

6．二元函数极值的定义

7．二元函数取得极值的必要条件和充分条件

8．拉格朗日乘数法

二、例题分析

例1．求球面与椭球面交线上对应于x=1的点处的切线方程和法平面方程。

解：

方程组两边对x求导得：

解之得y′=2x,z′=-（2xy+x）/z

当x=1时，代入原方程组解出切点坐标（1，，1）及（1，，-1），所以，对应切点（1，，1）处的切线方程为：

法平面方程为：

x+2y-2z=0

同理可得，对应切点（1，，-1）处的切线方程为：

法平面方程为：

x+2y+2z=0

例2计算，其中是常矢，是矢径，且*>0

解：

设={}={x,y,z}

则*+

grad{*+,,}=

方法二：

利用grad（u+v）=gradu+gradv及gradf（u）=f′（u）*gradu

又grad（*）=

所以

例3设数量场u（x,y,z）=，

求

（1）使其梯度为零矢量的点：

（2）在点（2,0,1）处沿哪一个方向的变化率最大，并求出此最大变化率；

（3）使其梯度垂直oz轴的点。

解：

（1）由gradu={2x+y+3,4y+x-2,6z-6}=,得所求点为（-2，1，1）

（2）grad和在点（2，0，1）处沿{7，0，0}方向变化率最大，最大变化率为7

（3）由轴，得gradu*=0

即，故z=1上的点均为所求这点。

例4研究函数是否有极值

解：

得驻点（1，0）

，（1，0）不是极值点，此函数无极值

例5试用二元函数求极值的方法，求抛物线到x-y=2之间的最短距离

解：

设（x,）为抛物线一点，（m,m-2）为直线上一点z==

得驻点

若不限制二元函数，可用求下列条件极值的方法。

引进辅助函数：

F（x,y,m,n）=

解之得：

三、课堂练习：

1．在螺旋线x=2cos,y=sin,z=（0≤≤2）上求若干点使以这些点为切点的切线平行于平面

2．求曲面平行于x+4y+6z=0的切平面和法线方程

3．设在xoy平面内各点的电动势，试求在P（2,4）处沿轴成30的方向的电动势的变化率。

4．将数a（a>0）分为三份，使其连乘积为最大，试问应如何分法？

5．设曲面方程F（z-ax,z-by）=0，其中F（u,v）具有连续的一阶导数，且

（1）试证：

（2）试问曲面F（z-ax,z-by）=0上任意点处的法线向量，切平面与常向量分别有怎样的关系？

6．计算gradf（r）其中r为可微函数

7．求函数，求

8．求函数在点处沿椭球面的外法线方向上的方向导数。

9．设函数x=x（u,v）和y=y（u,v）由方程组xy=uv

x-y=u/v

所确定，求及

10．求曲线在点（3，4，5）处的切线方程。

篇六：

三角函数的求导公式

三角函数的求导公式是什么？

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悬赏点数109个回答

crystalzjyu2009-03-2814:

18:

39

三角函数的求导公式是什么？

回答回答

skoou2009-03-2814:

18:

48

（sinX）'=cosX;（cosX）'=-sinX;（lnX）'=1/X;（logaX）'=1/Xlogae                                                                              .....