Simulink中连续与离散模型的区别.doc
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Simulink中连续与离散模型的区别
matlab/simulink/simpowersystem中连续vs离散!
本文中的一些具体数学推导见下面链接:
计算机仿真技术
1.连续系统vs离散系统
连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的,从数学建模的角度来看,可以分为连续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。
其实在simpowersystem的库中基本所有模型都属于连续系统,因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。
离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上,而且往往是随机的,比如说某一路口一天的人流量,对离散模型的计算机仿真没有实际意义,只有统计学上的意义,所以在simpowersystem中是没有模型属于离散系统的。
但是在选取模型,以及仿真算法的选择时,常常提到的discretemodel、discretesolver、discretesimulatetype等等中的离散到底是指什么呢?
其实它是指时间上的离散,也就是指离散时间模型。
下文中提到的连续就是指时间上的连续,连续模型就是指连续时间模型。
离散就是指时间上的离散,离散模型就是指离散时间模型,而在物理世界中他们都同属于连续系统。
为什么要将一个连续模型离散化呢?
主要是是从系统的数学模型来考虑的,前者是用微分方程来建模的,而后者是用差分方程来建模的,并且差分方程更适合计算机计算,并且前者的仿真算法(simulationsolver)用的是数值积分的方法,而后者则是采用差分方程的状态更新离散算法。
在simpowersystem库中,对某些物理器件,既给出的它的连续模型,也给出了它的离散模型,例如:
离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime,如何从数学建模的角度将一个连续模型离散化,后面会有介绍。
在simpowersystem中常用powergui这个工具来将系统中的连续模型离散以便采用discrete算法便于计算机计算。
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2.连续模型的数学建模vs离散模型的数学建模
Note:
这里的连续和离散都是指时间上的连续和离散,无关乎现实世界的连续系统和离散系统。
所谓数学建模就是用什么样的数学语言来描述模型,
连续系统的数学模型通常可以用以下几种形式表示:
微分方程、传递函数、状态空间表达式,这三中形式是可以相互转换的,其中又以状态空间表达式最有利于计算机计算。
①微分方程:
一个连续系统可以表示成高阶微分方程,即
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②传递函数
上式两边取拉普拉斯变换,假设y及u的各阶导数(包括零阶)的初值均为零,则有
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于是便得微分方程的传递函数描述形式如下:
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③状态空间表达式
线性定常系统的状态空间表达式包括下列两个矩阵方程:
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(7-1)
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(7-2)
式(7-1)由n个一阶微分方程组成,称为状态方程;式(7-2)由l个线性代方程组称为输出方程
因此获得如下的状态方程与输出方程(令a0=1):
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离散模型假定一个系统的输入量、输出量及其内部状态量是时间的离散函数,即为一个时间序列:
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,其中T为离散时间间隔,其实T也就是上文中的sampletime。
Note:
再强调一次,这里的离散模型是指离散时间模型,与现实世界中的离散事件模型没有任何关系,在simpowersystem中所讲的离散都是指时间上的离散,与我们在信号中学的那个离散概念没有关系。
离散时间模型有差分方程、离散传递函数、权序列、离散状态空间模型等形式。
①差分方程
差分方程的一般表达式为:
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同样差分方程可以转换成后面那些表达形式。
3.连续模型的离散化
正如7.1.连续系统vs离散系统中截图所示的那样,如何由一个连续模型得到它的离散模型,(RMS®discreteRMSvalue),以及powergui是通过什么方法将连续模型离散化的,即simulator是如何将微分方程转换成差分方程的。
假设连续系统的状态方程为
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现在人为地在系统的输入及输出端加上采样开关,同时为了使输入信号复员为原来的信号,在输入端还要加一个保持器,如图所示。
现假定它为零阶保持器,即假定输入向量的所有分量在任意两个依次相连的采样瞬时为常值,比如,对第n个采样周期u(t)=u(nt),其中T为采样间隔。
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由采样定理可知,当采样频率ws和信号最大频率wmax满足ws>2wmax的条件时,可由采样后的信号唯一地确定原始信号。
把采样后的离散信号通过一个低通滤波器,即可实现信号的重构。
值得注意的是,图所示的采样器和保持器实际上是不存在的,而是为了将式离散化而虚构的。
下面对上式进行求解,对方程式两边进行拉普拉斯变换,得
即
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通过一系列的拉斯反变换和卷积,最终得到其差分方程(具体过程不用关心)
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统称为系统的离散系数矩阵。
在转换过程中引入了一个重要参数T,即采样间隔,也就是采样时间,不管是powergui还是其他离散模型,只要涉及到离散,都必然会涉及到sample time,如下图
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那么sampletime一般取多大呢,一直满足采样定理即可,即信号的采样频率大于信号本身最大频率的2倍即可。
4.simulator连续模型的仿真算法(simulatesolver,也可译成仿真解算器)和步长的概念。
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连续系统的计算机仿真算法是数值积分法,即计算机用数值积分来解微分方程,从而得到其近似解。
具体方法如下
①欧拉法和改进的欧拉法:
现有微分方程如下:
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上式右端的积分,计算机是无法求出的,其几何意义为曲线f(t,y)在区间(ti,ti+1)上的面积。
当(ti,ti+1)充分小时,可用矩形面积来近似代替:
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其中h即为积分步长。
Note:
在simulator仿真计算时,h实际为仿真时间间隔。
因此可得下式:
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因此只要知道当前状态和步长,便可得到下一状态。
其几何意义如下:
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分析其误差特性:
由泰勒展式可得:
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可知其截断误差
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是和步长h2成正比的,因此计算机在计算时,若要使近似积分精度更高,就要减小步长,但会增加截断误差。
②改进的欧拉法(预测—校正法)
对积分公式(3.1.2)式利用梯形面积公式计算其右端积分,得到
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将上式写成递推差分格式为:
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2013-9-1418:
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从上式可以看出,在计算yn+1中,需要知道fn+1,而fn+1=f(tn+1,fn+1)又依赖于yn+1本身。
因此要首先利用欧拉法计算每一个预估的ypn+1,以此值代入原方程式计算fpn+1,最后利用下式求修正后的ypn+1。
所以改进的欧拉法可描述为
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