第五章弯曲应力知识讲解.docx
- 文档编号:25795334
- 上传时间:2023-06-14
- 格式:DOCX
- 页数:60
- 大小:493.70KB
第五章弯曲应力知识讲解.docx
《第五章弯曲应力知识讲解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第五章弯曲应力知识讲解.docx(60页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第五章弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力
第五章弯曲应力
内容提要
一、梁的正应力
I、纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲:
梁横截面上的剪力为零,弯矩为常量,这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲:
梁横截面上同时有剪力和弯矩,且弯矩为横截面位置x的函数,这种弯曲称
为横力弯曲。
U、纯弯曲梁正应力的分析方法:
1.观察表面变形情况,作出平面假设,由此导出变形的几何方程;
2.在线弹性范围内,利用胡克定律,得到正应力的分布规律;
3.由静力学关系得出正应力公式。
川、中性层和中性轴
中性层:
梁变形时,其中间有一层纵向线段的长度不变,这一层称为中性层。
中性轴:
中性层和横截面的交线称为中性轴,梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的,在线弹性范围内,中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率,平面弯曲时中性层的曲率为
(5-1)
1Mx
xElz
(5-1)式表
式中:
x为变形后中性层的曲率半径,Mx为弯矩,Elz为梁的弯曲刚度示梁弯曲变形的程度。
W、梁的正应力公式
1.横截面上任一点的正应力为
(5-2)
My
I
正应力的大小与该点到中性轴z的距离y成正比,试中M和y均取其绝对值,可根据梁的变形情况判断是拉应力或压应力。
2.横截面上的最大正应力,为
Mymax(5-3)
max
1z
Wz丄(5-4)
ymax
Wz为弯曲截面系数,对于矩形、圆形和弯环截面等,Wz的公式应熟记。
3.弯曲正应力公式的适用范围:
1)在线弹性范围内p,在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时,平面假设成立,公式为精确公式。
横力弯曲时,平面假设不成立,公式
为近似公式,当梁的跨高比-5时,误差2%。
h
V、梁的正应力强度条件
拉、压强度相等的等截面梁
Mmax
max
Wz
(5-5)
强度条件应为
式中,为料的许用正应力。
当梁内t,maxc,max,且材料的tc时,
c,max
t,maxt?
切、提高梁正应力强度的措施
1)设法降低最大弯矩值,而提高横截面的弯曲截面系数。
可使梁的最大正应力降低,从而提高梁的承载能力。
2)对于tc的梁,应使横截面的中性轴偏于受拉一侧,最好使
t,max
,使t,max和c,max同时达到其许用应力
c,max
3)采用等强度梁或变截面梁,使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近
许用应力。
二、梁的切应力
梁的切应力公式的分析方法是,首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设,再根据微段的平衡条件导出切应力公式。
横截面形状态不同,对切应力在横截面分布规律的假设不同,必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。
I、矩形截面梁
[|\MdMx
M"煬初x.d>
丄y「
y
(a)
yT
hb
max
假设切应力的方向平行于剪力Fs,
其大小沿宽度
b均匀分布(图b),由图a中带阴影
线部分微段的平衡条件,得
(5-6)
FsSzX
bj
式中,Fs为横截面上的剪力,b为横截面的宽度,
Iz
bh3
12,
S;为横截面上距中性轴为
的横向线以下(或以上)的部分面积bJy对中性轴z的静面矩,其值为
s;
y2,可见切应力沿横截面高度
h按抛物线规律变化,
h2处,
y0(中性轴处)时,
max,其值为
3Fs
max
2bh
3Fs
2A
(5-7)
U、工字形截面梁
1.腹板上的切应力
切应力的分布假设同矩形截面梁,由微段(图5-2b)的平衡条件,得
(5-8)
FsSX"dlT
式中,Fs为横截面上的剪力,d为腹板的宽度,Iz为整个工字形截面对中性轴的惯性矩,
S;为距中性轴z为y的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z的静面矩
11h
S:
丄bh-d-y2,可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2,d),
222
在腹板和翼缘交界处min,在中性轴处max,其值为
max
dI
(5-9)
式中,Sz,max为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z的静面矩,计算min时,S:
为下(或上)翼缘的面积对中性轴z的静面矩。
型钢时lz;Sz,max为型钢表中的lx;Sx
腹板的主要功能之一是抗剪切,腹板承受铅垂剪力的约95%~97%
2.翼缘上的切应力
翼缘上的水平切应力沿其厚度均匀分布,由图c所示微段的平衡条件得
FsSx
Iz
(5-10)
式中,为翼缘的厚度,Fs和Iz的意义和(5-8)式相同,S:
为距翼缘端部为的部分翼缘面积对中性轴z的静面矩,S;h,0--,可见i沿翼缘宽度
2222
按线性规律变化(图5-2,d)。
3.切应力流
根据剪力Fs的指向确定腹板上切应力的指向,按顺流方向确定翼缘上的切应力方向,
例如:
设Fs的方向向下,上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹
板,经由腹板,再分成两股流入下翼缘两端。
根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆
的切应力方向。
川、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力
F
z
max
max
C
C
y
(a)
y(d)
U
max
对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁,其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为
(5-8)和(5-10)式,切应力的分布规律及切应力流如图所示。
W、圆截面梁及薄壁圆环截面梁
图5-4a所示圆截面梁,其最大切应力在中性轴
处,其方向与剪力Fs平行,其值为
max
(5-11)
式中,a4d2。
图5-4,b所示薄壁圆环截面梁,其最大在中性轴处,
其方向与剪力
Fs平行,其值为
Fs
max2(5-12)
A
式中,A2Ro。
V、切应力强度条件
对于等直梁,横截面的最大切应力发生在最大剪力Fmax所在的横截面上,一般位于该
该截面的中性轴处,中性轴处的正应力为零,即max所在的点为纯剪切应力状态,剪切强
度条件为
max
FS
s,max乙max
bl
(5-13)
式中,Sz,max为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积;b为横截面在中性轴处的宽度,
lz为横截面对中性轴电惯性矩。
梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件,通常梁的强度由正应力强度条件起
控制,当梁的跨度较小,荷载离支座较近时,切应力强度条件也可能为梁强度的控制条件。
三、非对称截面梁的平面弯曲,开口薄壁截面的弯曲中心
I、非对称截面梁平面弯曲
的条件
梁的横截面没有纵向对
称轴时,只要荷载作用在梁
的形心主惯性平面xy内(横向
力沿形心主轴),或荷载作用面和梁的形心主惯性平面平行(横向力平行于形心主轴),荷载和梁的挠曲线位于同一平面内(图5-5a)或荷载的作用面和挠曲面平行(图5-5b)。
梁产生
平面弯曲。
当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时,梁产生斜弯曲(图5-5c)
U、开口薄壁截面的弯曲中心A
1.弯曲中心:
横力弯曲时,横截面上由切应力所组成的合力(剪力)的作用点,称为弯
曲中心,简称为弯心,用A表示。
当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形,不产生扭转变形。
若横向力不通过弯心,梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。
2.几种常见开口薄壁截面弯曲中心的位置
y}(b)
图56
b
A*
C
y
b2h2
e
4lz
(c)
(e)
图5-6a,b中,弯心A和形心C重合;图5-6c中,弯心A位于对称轴z上;图5-6d,e中,弯心A位于两狭长矩形中心线的交点处。
3.弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关,是截面的几何性质,与横向力的大小及材料的性能无关。
例5-1一铸铁梁如图a所示,已知材料拉伸时的强度极限为b.t150MPa,压缩时
的强度极限为b.c630MPa。
试求梁的安全因数。
解:
梁的弯矩图如图b所示。
20C
1图
JJ
L40
10
10
Z
53.3
160
146.7
(c)
以横截面的下底边为参考轴,形心C的y坐标y1为
2016040212010160
y1
160
40
210160
53.3mm
Y2
200
53.3146.7mm
横截面对形轴z的惯性矩为
3
Iz型空53.3
202
160
12
3
4021016012053.3210160
12
29.012106mm
B、C截面上正应力的分布规律如图
c所示,最大拉应力发生在B的上边缘或C截面的下
边缘,由于MbY2McY1,所以最大拉应发生B截面的上边缘。
t,max
MBy2
bjz150106Pa29.012106m4得口MBy28103Nm146.7103m
式中,nt为拉应力达到强度极限时的安全因数
最大压应力显然发生在C截面的上边缘,
McY2
b,c
Iz
c,max
得旦630乌血29.01210:
亦10.4
Mcy212103Nm146.7103m
式中,nc为压应力达到强度极限时的安全因数
由于nc>nt,可见该题的强度由拉应力强度条件控制,梁的安全因数为
nnt3.7
例5-2横截面如图所示的铸铁简支梁,材料的许用拉应力为[t]=30MPa,许用压应
力[c]=90MPa,试确定截面尺寸值。
解:
设形心C距截面下底边的距
F80kN
离为yi
A
1mC1m
h—4*
yi
22
6816
22
812162
于是
2
22
8
2图
3
8Z
3
22
3
y210
截面对中性轴
z的惯性矩为
Iz
83
12
82
12
2
1621814
C截面的弯矩为
Mmax
40kN
1m
40kN
t,max
Mmax
Ty1
40
3
10Nm
589.3Nm
1814
30
106Pa
c,max
Mmax
T"y2
o
3
4010Nm
1814
22
3
1620.6Nm90
106Pa
由于
2,所以取27mm。
讨论:
由以上计算结果可见该题的强度是由拉应力强度条件控制的,
即拉应力先达
到危险状态,也可以用以下方法判断拉应力先达到危险状态。
c90c,max
3,一i30t,max
22昱Z.*8
3
可知,t,max选达到危险状态,只需按拉应力强度条件确定
即可
例5-3一平顶凉台如图a所示,其长度I6m,顶面荷载集度f2000Pa,由间距s1m的木次梁AB支持。
木梁的许用弯曲正应力10MPa,木次梁为bxh的矩形截
面,且h2b。
试求:
⑴在木次梁用料最经济的情况下,确定主梁位置x值;
(2)选择木次梁的尺寸。
解:
1.次梁的计算简图如图b所示,四根次梁中以中间两根所受的荷载最大,以此为强度计算的依据,中间次梁的荷载集度为
qfs2000Pa1m2000Nm2kN.m
A次梁主梁
主梁/
次梁
」1I]I门JI1门A0Bh
丄2I—h
(a)
A
B
(b)~2Tqx2
e;
D
C
qIx$8(c)
2.求次梁用料最经济时,主梁位置x
用叠加法作出次梁的弯矩图如c所示,当MD
MC时,次梁用料最经济。
丄qlx2!
qx2丄qx2
842
5x22lx
l20
24201
10
1.74m
3.选择b和h
当x1.74m时
max
1
Mmaxqx
2
Mmax6Mmax
Wzb2b2
12kN.m
2
3Mmax
2t
1.74m3.03kN.m
.3M33.03103Nm
b3—max3|60.0769m=76.9mm
2Y210106Pa
h2b276.9mm154mm
讨论:
上面分析次梁用料最经济时,利用了MdMC,MD为梁的最大弯矩的近似
值,得到主梁位置x1.74m也是近似的,实际上最大正弯矩应位于剪力等于零的横截面处,若用实际的最大弯矩等于MC,得到的主梁位置x1.76m,可见二者误差甚小,但
用第二种方法计算时,计算工作量较大
例5-4起重机大梁由两根25a工字组成如图
a所示,起重机自重W50kN,起重机
起吊的重量为P10kN。
梁材料的许用应力
170MPa,
100MPa,单根25a号工
33
字钢的Wz401.8810mm,d8mm,
Iz,Sz
215.8mm,设全部荷载平均分配在两根
梁。
试校核梁的正应和切应力强度。
例54图
II
B
(e)
CDe
8kN58kN-
解:
1.求起重机的支反力
起重机的受力图如图b所示
MD0得
10kN
Me0得
FD50kN
2.校核梁的正应力
梁的受力图如图c所示,
由于荷载是移动的,必须确定最不利位置,梁在集中力
Fc和
Fd作用下,其最大弯矩必在
C或D截面处,设C轮距支座A的距离为X,梁的支反力为
Fa506x(kN),FB106x(kN)
C截面的弯矩为
MeFax
50
2
6xx50x6x
由虬0,得
dx
5012x
即x4.17m
Mc,max
50
2
4.1764.17104.2kNm
D截面的弯矩为
MdFB10
2xFB8
2
106x8x8038x6x
由叫0
dx
,得
3812x
0即x3.17m
MD,max
80383.1763.172140.2kNm
由于MD,max
Mc,max,
所以最不利位置为
x3.17m,梁的弯矩图如图d所示。
max
max稍大于
,但其误差<5%,所以梁满足正应力强度条件。
3.校核切应力
当两个集中力移动至使Fd紧靠B支座x8m时,为剪力的最不利位置,即x
8m时
由
(1)和⑵式,得Fa2KN,FB58KN,梁的剪力图如图e所示。
max
3
2dIzSz28103m215.8103*m佩8佩聊卩*
Fs,max
梁满足切应力强度条件。
讨论:
梁在两个移动的集中力作用下,最大弯矩部是发生集中力作用点处,最大剪
力总是发生在集中力位于支座附近处的情形。
例5-5图所示吊车梁由36a号工字钢在其中间区段焊上两块100mm16mm的矩形钢
板制成。
电葫芦重W12kN,
起吊的重物的重量为P50kN,
材料的许用应力为
■IK■■■!
■■1I■“,■=.i■■II■“■BBjB■■IKI■
CD0-pO
100
160MPa,100MPa。
1.校核梁的正应力强度;
2.求加强板的长度li;
3.校核梁的切应力强度。
l
li
10.5m
(a)
1
+d
360
z
16
B
P
例55图
10
解:
由于梁上受移动荷载作用,必须确定荷载的最不利位置,在进行正应力强度校
核时,集中力应位于跨度的中间截面处;求加强板长度h时,集中力应位于C(或D)截面
处;进行切应力强度校核时集中力应在紧靠支座处。
1.校核正应力
梁上受到的移动的集中力为
FWP12kN50kN62kN
设F力位梁的跨度中央截面处,该截面的弯矩为
11
MmaxFl62kN10.5m162.75kNm
44
36a号工字钢的Iz157.6106mm4,考虑加强板时整个截面的惯性矩为
Iz157.6106mm4
2^
188210016mm4
270.77106mm4
跨中截面的最大正应力为
max
maxymax
162.75103N196103m
270.7710610-12m4
117.8106Pa=117.8MPa<
2.求加强板长度li
设集中力F位于C(或D)截面处,
lxlx
由MB0,得FA62(kN);MxFAx62xkNm
36a号工字钢的Wz875103mm3,梁在C截面处的许用弯矩为
MW4160106Pa875106m3140kNm
令MxM,即
lx
62x=140
l
2
x10.5x23.70
解得x3.28m
加强板的长度为
hl2x10.523.283.94m
3.校核梁的切应力
当集中力F紧靠支座时,最大剪力为
Fs,max62kN
36a号工字钢的d10mm,.S307mm,梁的最大切应力为
max
s,max
dIzSz
3
6210N
33
1010m30710m
20.2MPa
梁的正应力和切应力强度条件均满足,该梁是安全的。
例5-6T形截面外伸梁,受移动荷载F作用,支座A为滚轴支承(活动铰支座)。
支座B为用销钉连接两块支承板(固定铰支座),如图a所示。
已知:
F25kN,T形截面对形心轴z的惯性矩Iz13.67106mm4,销钉的直径d20mm,许用切应力100MPa。
1.求梁的最大拉应力t,max和最大压应力c,max;2.求梁的最大切应力;3.校核销钉的剪切
强度。
解:
1.求t,max和
c,max°
F力位于C截面和D截面时,
梁的剪力图和弯矩图分别如图b、C、d、e所示,t,max位
于C截面的下边缘,
t,max
25103Nm85103m
155.4MPa
13.67106m4
由于Ma%McY2,所以c,max发生在A截面的下边缘,
c,max
20103Nm85103m
124.4MPa
13.67106m4
(a)
DA0
0.8m
2m
C
55
y2
2m
B支座
100
25kN
(d)
I
5kN
40
yi
3
(b)
S1
12.5kN
(c)
12.5kN
(b)y
(e)
20kNm
:
©
25kNm
2.求梁的最大切应力。
由剪力图可见,当F力位于D时,Fs,max
25kN,
最大切应力为,
FsmaxSzmax
max
dIz
25103N185
103m
40103m85103m
40104m13.67106m4
66.1MPa
3.校核销钉的切应力强度
当F力位于B支座处时,
销钉受力最大,
其剪切为FsF2°
F
As
F22F
225103N
239.8MPa
32
20103m
销钉满足切应力强度条件。
例5-7箱形截面悬臂梁由四块木板胶合而成如图所示。
已知横截面对中性的惯性矩
10MPa,许用顺纹切应力
Iz478.8106mm4;材料为红松,其许用弯曲正应力
1.1MPa;胶合缝的许用切应力
胶0.35MPa。
试校核梁的强度,并画出危险截面
上切应力的分布规律以及切应力流的指向
F18kN
(a)
max
解:
1.校核梁的正应力强度
MmaxFl
181.5
27kN
m
Mmaxymax
3
2710Nm
17810
3
m
6
10.010Pa=10MPa=
max
1z
478.8
64
10m
2.校核顺纹切应力强度
Sz,max
168mm100mm20mm
178mm
178mm50mm
63
1.92010mm
max
FsS
zmax
dl
18103N1.920103m3
364
25010m478.810m
6
0.7210Pa0.72MPa<
3.校核胶合缝的切应力强度
上水平板和两块竖直板有两条胶合缝,求其切应力
1的公式中,S;为上水平板对中性
轴z的静面矩,因为有两胶合缝,其宽d为250100mm
0.34106Pa0.34MPa<胶
FsS;18103N152103m300103m20103m
dIz100103m478.8106m4
下水平板和两块竖直板也有两条胶合缝,下水平板的dx微段的分离体如图b所示,可
见求胶合缝的切应2的公式中,Sz为下水平板对中性轴z的静面矩,因为有两条胶合缝,其宽度为22040mm。
3333
FS1810N16810m10010m2010m6
2—z3640.3210Pa0.32MPa<胶
Iz4010m478.810m
可见,梁满足正应力、顺纹切应力及胶合缝处的切应力强度。
4.横截面上切应力的分布规律及切应力流的方向如图c所示,上、下水平板中点处的水平
切应力为零,可从分离体的平衡条件或水平切应力是反对称分布的,可以得到该结论。
例5-8矩形截面悬臂梁,受均布荷载q作用(图a),沿梁的中性层截出其下半部分(图
b),试求:
1.图b中顶面上的切应力x及其由x组合的水平力Fx;
2.研究下半部分梁(图b)的平衡条件,并导出梁的挤压应力y的公式
q
—x~|1B
dx
(c)
(b)
・12
(d)
解:
1.求图b中顶面上的x及Fx
梁的x横截面上的剪力及切应力分别为
Fsxqx
*
FsSz
qxh12
2Iz2
max
3qx
2bh
x
Jx逢
切应力x形成的合力为
由切应力互等定理,得图b顶面上的切应力为
(1)
⑵
⑶
⑷
0
2
2bh
4h
2.研究下半部分梁(图b)的平衡条件,
并导出
y的公式。
B截面处的最大压应力为
1.2ql6
Mmax
2
3ql
max
Wz
bh2
bh2
由B截面处的压应力组合的合力为
Fx-
1bh
max
1
3q|2
2
1bhq|
2
2
2
bh2
4h
2
Fx的作用线距中性层的距离为2
hh
—。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第五 弯曲应力 知识 讲解
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)