一元二次方程的根的判别式.docx
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一元二次方程的根的判别式.docx
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一元二次方程的根的判别式
∴
解得m≤
且m≠2。
∵m是非负整数。
∴m=0或m=1。
当m=0时,原方程为2x2-3x-2=0
解这个方程得:
x1=2,x2=-
。
当m=1时,原方程为x2-x-3=0。
解这个方程,得:
x=
x1=
,x2=
。
例4证明:
当a、b、c为实数,且b=a+c时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。
分析:
要证明一元二次方程有实数根,只需证明它的判别式大于或等于零。
证明∵⊿=b2-4ac,又b=a+c,a≠0。
∴⊿=(a+c)2-4ac=(a-c)2。
∵(a-c)2≥0
∴⊿=b2-4ac≥0。
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。
例5已知方程x2+2x-n+1=0没有实数根,求证:
方程x2+nx+2n-1=0必有两个不相等的实数根。
分析:
由已知方程x2+2x-n+1=0没有实数根,可得到一个关于n的关系式,再以此为基础证明方程x2+nx+2n-1=0的根的判别式⊿=b2-4ac>0,问题即可得解。
证明:
∵方程x2+2x-n+1=0没有实数根,
∴22-4(-n+1)<0,
即n<0。
∵方程x2+nx+2n-1=0的判别式⊿=n2-4(2n-1)=n2-8n+4,且n<0,
∴n2>0,-8n>0,
∴n2-8n+4>0。
∴⊿=n2-4(2n-1)>0。
∴方程x2+nx+2n-1=0必有两个不相等的实数根。
例6已知关于x的方程(m+2)x2-2(m-1)x+m+1=0有两个不相等的实数根,并且一次项系数不小于零,试求m的取值范围。
分析:
由已知条件可知m的取值范围应同时满足:
①二次项系数不等于零,②⊿=b2-4ac>0,③一次项系数不小于零这三个条件,因而可列出不等式组求解。
解:
根据已知条件,可得:
解这个不等式组,得:
∴m<-
且m≠-2。
例7当m是什么整数时,关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。
分析:
因为两个一元二次方程的根都是整数,所以两个方程都有实数根,可先求出使两个方程都有实数根的m的值,然后从中筛选出使两个方程的根都是整数的整数m的值。
解:
∵一元二次方程mx2-4x+4=0有实数根,
∴m≠0且⊿=b2-4ac=16-16m≥0
∴m≤1且m≠0①
∵方程x2-4mx+4m2-4m-5=0有实数根,
∴⊿=b2-4ac=16m2-4(4m2-4m-5)≥0。
∴m≥-
②
由①、②得-
≤m≤1,且m≠0。
∴m的整数解为-1或1。
当m=-1时,方程mx2-4x+4=0的根不是整数,不符合题意,舍去。
当m=1时,方程mx2-4x+4=0的根为x1=x2=2,
方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的根为x3=5,x4=-1。
∴当m=1时,方程mx2-4x+4=0与方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。
说明:
求方程的特殊解的问题,可先求出方程的通解,然后再根据题目对解的特殊要求筛选出特殊解。
四、自我测试
1.填空:
(1)方程(m+1)x2-mx+m=0有相等的实数根,则m的值是_____;
(2)关于x的方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,则k的最小整数值是_____;
(3)方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判别式的值是9,则m=_____;
(4)若关于x的一元二次方程kx2-(2k-1)x+k=0有实根,则k的取值范围是_____,若方程无实根,则k的取值范围是_____。
2.选择题(四选一):
(1)下到方程中,有两个不相等的实数根的是()
(A)x2+x+2=0 (B)x2-2x+1=0
(C)x2+1=0 (D)x2+x=0
(2)方程(x-1)(x-2)=k2一定()
(A)有两个相等的实数根(B)没有实数根
(C)有两个不相等的实数根(D)以上三种情况均有可能
(3)关于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根,则k的取值范围是()
(A)k>-
(B)k≥-
且k≠0
(C)k=-
(D)k>-
且k≠0
3.方程(m-1)x2+16x+10=0有两个不相等实根,求m的取值范围。
4.方程kx2-10kx+15k+2=0有两个相等的实数根,求k的值及方程的根。
5.若方程(m-4)x2-2mx+2m+5=0的根的判别式的值是40,求m的值。
6.一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,求k的最小整数值。
7.已知一元二次方程x2+3x+a=0有整数根,a是非负整数,求方程的整数根。
参考答案
五、答案
1.
(1)m1=0,m2=-
;
(2)2;
(3)2,-1; (4)k≤
且k≠0,k>
。
2.
(1)D
(2)C(3)B
3.m<
且m≠1
4.k=
,x1=x2=5
5.⊿=〔-2m〕2-4(m-4)(2m+5)=-4m2+12m+80=40
∴m1=5,m2=-2
6.k=2
7.∵方程有整数根,
∴⊿=9-4a≥0,
∴a≤
。
∴a是非负整数,
∴a=0,1,2。
当a=0时,x2+3x=0,
∴x1=0,x2=-3。
当a=1时,x2+3x+1=0,
∴x=
,不是整数根。
当a=2时,x2+3x+2=0,
∴x1=-1,x2=-2。
∴所求的整数根为0,-1,-2,-3。
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